Tema 6 Contrastes de independencia y homogeneidad
Una de las aplicaciones más usadas del test de bondad de ajuste es contrastar si dos maneras de clasificar \(n\) objetos son independientes o no.
Veamos un ejemplo ilustrativo:
Ejemplo
En un estudio de una vacuna de hepatitis participan 1083 voluntarios. De éstos, se eligen aleatoriamente 549 y son vacunados. Los otros, 534, no son vacunados. Después de un cierto tiempo, se observa que 70 de los 534 no vacunados han contraído la hepatitis, mientras que sólo 11 de los 549 vacunados la han contraído.
Esquematicemos los resultados en lo que se llama una tabla de contingencia:
| ¿Enfermó?/¿Vacunado? | Sí | No | Total |
|---|---|---|---|
| Sí | 11 | 70 | 81 |
| No | 538 | 464 | 1002 |
| Total | 549 | 534 | 1083 |
¿Es el hecho de contraer hepatitis independiente de haber sido vacunado contra la dolencia?
En este ejemplo, contrastar si la manera de clasificar a los voluntarios entre vacunados y no vacunados y la manera de clasificarlos entre enfermos por hepatitis y no enfermos es equivalente a contrastar si la vacuna es efectiva contra la hepatitis.
Decir que la vacuna no es efectiva sería equivalente a decir que vacunar a un individuo es independiente de que contraiga la hepatitis.
6.1 Tablas de contingencia
La situación en general sería la siguiente:
Tenemos \(n\) individuos y los clasificamos según dos criterios: \(X\) e \(Y\). Sean \(x_1,\ldots, x_I\) los distintos niveles del criterio \(X\) e \(y_1,\ldots, y_J\), los distintos niveles del criterio \(Y\).
En el ejemplo anterior \(I=J=2\), \(X\) sería el criterio de clasificación por vacunación con \(x_1:\)“vacunados” y \(x_2:\)“no vacunados” e \(Y\) sería el criterio de clasificación por contracción de la hepatitis con \(y_1:\)“enfermo de hepatitis” e \(y_2:\)“no enfermo de hepatitis”.
Definimos \(n_{ij}\) como el número de individuos clasificados en el nivel \(x_i\) según el criterio \(X\) y clasificados en el nivel \(y_j\) según el criterio \(Y\). A partir de dichos valores construimos la denominada tabla de contingencia:
| \(X/Y\) | \(y_1\) | \(\ldots\) | \(y_j\) | \(\ldots\) | \(y_J\) | \(n_{i \bullet}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1\) | \(n_{11}\) | \(\ldots\) | \(n_{1j}\) | \(\ldots\) | \(n_{1J}\) | \(n_{1\bullet}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_i\) | \(n_{i1}\) | \(\ldots\) | \(n_{ij}\) | \(\ldots\) | \(n_{iJ}\) | \(n_{i \bullet}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_I\) | \(n_{I1}\) | \(\ldots\) | \(n_{Ij}\) | \(\ldots\) | \(n_{IJ}\) | \(n_{I \bullet}\) |
| \(n_{\bullet j}\) | \(n_{\bullet 1}\) | \(\ldots\) | \(n_{\bullet j}\) | \(\ldots\) | \(n_{\bullet J}\) | \(n\) |
En la tabla anterior, \(n_{i\bullet}\) sería el número total de individuos clasificados en el nivel \(x_i\) según el criterio \(X\) y \(n_{\bullet j}\), el número total de individuos clasificados en el nivel \(y_j\) según el criterio \(Y\).
El contraste que nos planteamos es el siguiente: \[ \left. \begin{array}{ll} H_0: \mbox{ Los criterios de clasificación $X$ e $Y$ son independientes,}\\ H_1: \mbox{ Los criterios de clasificación $X$ y $Y$ no son independientes.} \end{array} \right\} \] Para poder realizar el contraste anterior, lo plantearemos como un contraste de bondad de ajuste.
6.2 Contraste de independencia como un contraste de bondad de ajuste
Para poder modelar el contraste de independencia como un contraste de bondad de ajuste, en primer lugar necesitamos definir una variable “modelo”.
A partir de nuestros datos empíricos, contrastaremos si dichos datos siguen la variable “modelo” usando el test de la \(\chi^2\) de bondad de ajuste.
Nuestra variable “modelo” será una variable aleatoria discreta bidimensional \((X,Y)\) con dominio \(\{(x_1,y_1),\ldots,(x_I,y_J)\}\), o, si se quiere \(\{(x_i,y_j)\ |\ i=1,\ldots, I, \ j=1,\ldots,J\}\). Sería una variable con \(I\cdot J\) valores.
Para calcular la función de probabilidad de la variable \((X,Y)\), hay que suponer que la hipótesis nula \(H_0\) es cierta o que los criterios \(X\) e \(Y\) son independientes. Por tanto:
\[ P((X,Y)=(x_i,y_j))=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)=\frac{n_{i\bullet}}{n}\cdot \frac{n_{\bullet j}}{n}=\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n^2}, \] \(i=1,\ldots, I\), \(j=1,\ldots,J\).
Los valores \(n_{ij}\) serían los valores empíricos con los que hay que contrastar si siguen la distribución de la variable \((X,Y)\).
6.3 Test \(\chi^2\) de independencia
Una vez planteado el contraste de independencia como una contraste de bondad de ajuste, recordemos que el test \(\chi^2\) asociado al contraste es: \[ \chi^2=\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{\left( n_{ij}-n\cdot P((X,Y)=(x_i,y_j))\right)^2 }{n\cdot P((X,Y)=(x_i,y_j))} =\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{\left( n_{ij}-\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\right)^2 }{\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}}, \] donde las frecuencias \(n_{ij}\) serían las frecuencias observadas y las frecuencias \(\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\) serían las frecuencias esperadas.
Recordemos que si \(n\) es grande y cada frecuencia esperada \(\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\) es \(\geq 5\), este estadístico sigue aproximadamente una ley \(\chi^2\) con \((I-1) \cdot (J -1)\) grados de libertad.
6.4 Test \(\chi^2\) de independencia
¿Por qué los grados de libertad del estadístico de contraste son \((I-1)\cdot (J-1)\)?
La razón es la siguiente: recordemos que al realizar un test de bondad de ajuste, los grados de libertad del estadístico \(\chi^2\) era: \(g.l.=\mbox{número de clases}-\mbox{número de parámetros estimados}-1.\)
Fijémonos que en el contraste de independencia hemos estimado \(I+J-2\) parámetros que corresponden a las medias de las variables \(X\) e \(Y\): \(\frac{n_{i\bullet}}{n}\) y \(\frac{n_{\bullet j}}{n}\), \(i=1,\ldots, I\), \(j=1,\ldots,J\).
En nuestro caso, nos queda:
\[ g.l. =I\cdot J-(I+J-2)-1=(I-1)\cdot (J-1). \]
Como siempre, sea \(\chi_0\) el valor que toma el estadístico de contraste. El p-valor del contraste es: \[ p=P(\chi_{(I-1) \cdot (J -1)}^2\geq \chi_0), \] con el significado usual:
- si \(p<0.05\), concluimos que tenemos evidencias suficientes para rechazar la independencia de los criterios,
- si \(p>0.1\), concluimos que no tenemos evidencias suficientes para rechazar la independencia de los criterios y,
- si \(0.05\leq p\leq 0.1\), estamos en la zona de penumbra. Necesitamos más datos para tomar una decisión clara.
Ejemplo del estudio de la vacuna de hepatitis
Recordemos que la tabla de contingencia de dicho estudio era:| ¿Enfermó?/¿Vacunado? | Sí | No | Total |
|---|---|---|---|
| Sí | 11 | 70 | 81 |
| No | 538 | 464 | 1002 |
| Total | 549 | 534 | 1083 |
A continuación, calculemos la tabla de las frecuencias esperadas \(\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\) a partir de las sumas de las filas y las columnas anteriores:
| ¿Enfermó?/¿Vacunado? | Sí | No | Total |
|---|---|---|---|
| Sí | \(\frac{81\cdot 549}{1083}=41.061\) | \(\frac{81\cdot 534}{1083}=39.939\) | 81 |
| No | \(\frac{1002\cdot 549}{1083}=507.939\) | \(\frac{1002\cdot 534}{1083}=494.061\) | 1002 |
| Total | 549 | 534 | 1083 |
El valor del estadístico de contraste será: \[ \begin{array}{rl} \chi_0 = &\frac{(11-41.061)^2}{41.061}+ \frac{(70-39.939)^2}{39.939}\\ & + \frac{(538-507.939)^2}{507.939}+\frac{(464-494.061)^2}{494.061}=48.242. \end{array} \] El p-valor del contraste será: \[ p=P(\chi^2_1 > 48.242) = 0. \] Como el p-valor es muy pequeño, de hecho despreciable, concluimos que tenemos suficientes evidencias para rechazar que la vacuna y la hepatitis son independientes. O sea, vacunarse afecta al hecho de contraer la enfermedad.
Ejemplo: Lobas
Un investigador quiere saber si el número de crías por loba es independiente de la zona donde viva. Para ello, considera 3 zonas (\(X\)): \(X_1=\)“Norte”, \(X_2=\)“Centro” y \(X_3=\)“Sur”.
Clasifica los números de crías (\(Y\)) en \(Y_1=\)" Dos o menos“, \(Y_2=\)” Entre tres y cinco“, \(Y_3=\)”Entre seis y ocho" y \(Y_4=\)“Nueve o más”.
Queremos hacer el contraste: \[ \left. \begin{array}{ll} H_0: \mbox{ El número de crías por loba es independiente de la zona,}\\ H_1: \mbox{ El número de crías por loba no es independiente de la zona.} \end{array} \right\} \]
Toma una muestra de 200 lobas y obtiene la tabla siguiente:| \(X/Y\) | \(Y_1\) | \(Y_2\) | \(Y_3\) | \(Y_4\) | \(n_{i\bullet}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(X_1\) | 5 | 8 | 15 | 22 | 50 |
| \(X_2\) | 20 | 26 | 46 | 8 | 100 |
| \(X_3\) | 15 | 10 | 15 | 10 | 50 |
| \(n_{\bullet j}\) | 40 | 44 | 76 | 40 | 200 |
| \(X/Y\) | \(Y_1\) | \(Y_2\) | \(Y_3\) | \(Y_4\) | \(n_{i\bullet}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(X_1\) | 10 | 11 | 19 | 10 | 50 |
| \(X_2\) | 20 | 22 | 38 | 20 | 100 |
| \(X_3\) | 10 | 11 | 19 | 10 | 50 |
| \(n_{\bullet j}\) | 40 | 44 | 76 | 40 | 200 |
El valor del estadístico de contraste será: \[ \begin{array}{rl} \chi_0 = & \frac{(5-10)^2}{10}+\frac{(8-11)^2}{11}+\frac{(15-19)^2}{19}+\frac{(22-10)^2}{10}+ \frac{(20-20)^2}{20}+\frac{(26-22)^2}{22}\\ & +\frac{(46-38)^2}{38}+\frac{(8-20)^2}{20}+\frac{(15-10)^2}{10}+\frac{(10-11)^2}{11}+\frac{(15-19)^2}{19}+\frac{(10-10)^2}{10} \\ = &31.605. \end{array} \] El p-valor del contraste vale: \[ p=P(\chi^2_{6} > 31.605) =0. \] Como el p-valor es muy pequeño, de hecho despreciable, concluimos que tenemos suficientes evidencias para rechazar que el número de crías y la zona donde viven las lobas son independientes.
6.5 Contraste de independencia en R
Para realizar un contraste de independencia en R hay que usar la función chisq.test(tabla.contingencia,correct) con los parámetros siguientes:
tabla.contingencia: es la tabla de las frecuencias empíricas.correct: es un parámetro lógico. Si su valor esFALSE, hará los cálculos como hemos explicado. Si su valor esTRUE, aplica la corrección a la continuidad sólo para tablas de contingencia \(2\times 2\). (Ver https://es.wikipedia.org/wiki/Correcci%C3%B3n_de_Yates)
6.6 Contraste de independencia en R
Ejemplo del estudio de la vacuna de hepatitis
Para realizar el contraste de independencia en R hacemos lo siguiente:
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: matrix(c(11, 538, 70, 464), 2, 2)
## X-squared = 48, df = 1, p-value = 0.000000000004Observamos que obtenemos los mismos valores que en los cálculos hechos a mano.
6.6.1 Ejemplo
Ejemplo del estudio del número de crías de una loba y la zona donde vive
En este ejemplo, para realizar el contraste en R, basta hacer:
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: matrix(c(5, 20, 15, 8, 26, 10, 15, 46, 15, 22, 8, 10), 3, 4)
## X-squared = 32, df = 6, p-value = 0.00002En este caso, también se obtienen los mismos valores que en los cálculos realizados anteriormente.
6.7 Contraste de independencia en R
Ejemplo: WorldPhones
La tabla de datos WorldPhones de R nos da el número de teléfonos (en miles de unidades) que había en distintas regiones del mundo en los años 1951, 1956, 1957, 1958, 1959, 1960 y 1961:
## N.Amer Europe Asia S.Amer Oceania Africa Mid.Amer
## 1951 45939 21574 2876 1815 1646 89 555
## 1956 60423 29990 4708 2568 2366 1411 733
## 1957 64721 32510 5230 2695 2526 1546 773
## 1958 68484 35218 6662 2845 2691 1663 836
## 1959 71799 37598 6856 3000 2868 1769 911
## 1960 76036 40341 8220 3145 3054 1905 1008
## 1961 79831 43173 9053 3338 3224 2005 1076Como puede observarse, las regiones son: Norte América, Europa, Asia, Sudamérica, Oceanía, África y América Central.
Vamos a contrastar si el año es independiente de la región para el hecho de tener teléfono o no.
Para hallar las distribuciones marginales de las variables “Año” y “Región” hemos de usar la función addmargins:
## N.Amer Europe Asia S.Amer Oceania Africa Mid.Amer Sum
## 1951 45939 21574 2876 1815 1646 89 555 74494
## 1956 60423 29990 4708 2568 2366 1411 733 102199
## 1957 64721 32510 5230 2695 2526 1546 773 110001
## 1958 68484 35218 6662 2845 2691 1663 836 118399
## 1959 71799 37598 6856 3000 2868 1769 911 124801
## 1960 76036 40341 8220 3145 3054 1905 1008 133709
## 1961 79831 43173 9053 3338 3224 2005 1076 141700
## Sum 467233 240404 43605 19406 18375 10388 5892 805303La tabla de frecuencias esperadas sería:
## N.Amer Europe Asia S.Amer Oceania Africa Mid.Amer
## [1,] 43221 22238 4034 1795 1700 960.9 545.0
## [2,] 59295 30509 5534 2463 2332 1318.3 747.7
## [3,] 63822 32838 5956 2651 2510 1419.0 804.8
## [4,] 68695 35345 6411 2853 2702 1527.3 866.3
## [5,] 72409 37256 6758 3007 2848 1609.9 913.1
## [6,] 77577 39916 7240 3222 3051 1724.8 978.3
## [7,] 82214 42301 7673 3415 3233 1827.9 1036.7Para realizar el contraste, usamos tal como hemos indicado la función
chisq.test:
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: WorldPhones
## X-squared = 2194, df = 36, p-value <0.0000000000000002Vemos que el p-valor es depreciable. Concluimos que tenemos evidencias suficientes para rechazar que el año y la zona son independientes respecte del hecho de tener teléfono o no.
6.7.1 Caso en que las frecuencias esperadas son inferiores a 5
Si algunas frecuencias absolutas esperadas son inferiores a 5, la aproximación del p-valor por una distribución \(\chi^2\) podría no ser adecuada.
Si se da esta situación, lo mejor es recurrir a simular el p-valor usando el parámetro simulate.p.value=TRUE.
Veamos un ejemplo en el que se da esta situación:
6.7.2 Ejemplo
Consideremos la tabla de datos iris. Nos planteamos si la especie de la flor es independiente de la longitud del pétalo.
En primer lugar, hallamos la tabla de contingencia de las dos variables (especie y longitud del pétalo), agrupando en cuatro clases la variable continua “Longitud del pétalo”:
##
## setosa versicolor virginica
## (0.994,2.48] 50 0 0
## (2.48,3.95] 0 11 0
## (3.95,5.43] 0 39 22
## (5.43,6.91] 0 0 28Calculemos a continuación la tabla de frecuencias esperadas:
(tabla.frec.esperadas = rowSums(tabla.contingencia)%*%t(colSums(tabla.contingencia))
/sum(tabla.contingencia))## setosa versicolor virginica
## [1,] 16.667 16.667 16.667
## [2,] 3.667 3.667 3.667
## [3,] 20.333 20.333 20.333
## [4,] 9.333 9.333 9.333¡Uy! Observamos que hay frecuencias esperadas menores que 5.
Veamos que pasa si usamos la función chisq.test:
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tabla.contingencia
## X-squared = 216, df = 6, p-value <0.0000000000000002R nos avisa que la aproximación puede ser incorrecta debido al hecho de que tenemos frecuencias esperadas menores que 5.
Para resolver este inconveniente, simularemos el valor del p-valor reiniciando la semilla a NULL:
##
## Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 5000
## replicates)
##
## data: tabla.contingencia
## X-squared = 216, df = NA, p-value = 0.0002El parámetro B indica el número de replicaciones que hemos de realizar en nuestra simulación.
Observamos que el p-valor es pequeño. Por tanto, concluimos que tenemos evidencias suficientes para rechazar que la longitud del pétalo y la especie sean independientes.
6.7.3 Diseño experimental en el contraste de independencia
En un contraste de independencia se toma una muestra transversal de la población, es decir, se selecciona al azar una cierta cantidad de individuos de la población, se observan las dos variables sobre cada uno de ellos, y se contrasta si las probabilidades conjuntas son iguales al producto de las probabilidades marginales de cada variable.
En el ejemplo de la vacuna y la hepatitis, seleccionamos una muestra de 1083 individuos de toda la población, y los clasificamos en 4 subgrupos: los que han sido vacunados y han contraído la enfermedad (ha habido 11), los que no han sido vacunados y han contraído la enfermedad (ha habido 70), los que han sido vacunados y no han contraído la enfermedad (ha habido 538) y, por último, los que no han sido vacunados y no han contraído la enfermedad (ha habido 534).
6.8 Contrastes de homogeneidad
En un contraste de homogeneidad, tenemos dos variables discretas \(X\) e \(Y\) y nos planteamos si la distribución de la variable \(Y\) depende de los valores de la variable \(X\).
El contraste planteado es el siguiente: \[ \left. \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ La distribución de la variable condicional $Y|X=x$} \\ & \mbox{es la misma para cualquier valor de $x$ del dominio de la variable $X$,}\\ H_1: & \mbox{ La distribución de la variable condicional $Y|X=x$} \\ & \mbox{no es la misma para cualquier valor de $x$.} \end{array} \right\} \]
6.8.1 Tablas de contingencia
Para realizar un contraste de homogeneidad, tenemos al igual que en el contraste de independencia \(n\) individuos clasificados según la variables \(X\) e \(Y\).
Recordemos que \(x_1,\ldots, x_I\) los distintos valores de la variable \(X\) e \(y_1,\ldots, y_J\), los distintos valores de la variable \(Y\).
Recordemos también que \(n_{ij}\) es el número de individuos clasificados en valor \(x_i\) según la variable \(X\) y clasificados en el valor \(y_j\) según la variable \(Y\). A partir de dichos valores construimos lo que hemos definido como la tabla de contingencia:
| \(X/Y\) | \(y_1\) | \(\ldots\) | \(y_j\) | \(\ldots\) | \(y_J\) | \(n_{i \bullet}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1\) | \(n_{11}\) | \(\ldots\) | \(n_{1j}\) | \(\ldots\) | \(n_{1J}\) | \(n_{1\bullet}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_i\) | \(n_{i1}\) | \(\ldots\) | \(n_{ij}\) | \(\ldots\) | \(n_{iJ}\) | \(n_{i \bullet}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_I\) | \(n_{I1}\) | \(\ldots\) | \(n_{Ij}\) | \(\ldots\) | \(n_{IJ}\) | \(n_{I \bullet}\) |
| \(n_{\bullet j}\) | \(n_{\bullet 1}\) | \(\ldots\) | \(n_{\bullet j}\) | \(\ldots\) | \(n_{\bullet J}\) | \(n\) |
En la tabla anterior, \(n_{i\bullet}\) sería el número total de individuos clasificados en el nivel \(x_i\) según el criterio \(X\) y \(n_{\bullet j}\), el número total de individuos clasificados en el nivel \(y_j\) según el criterio \(Y\).
6.8.2 Contraste de homogeneidad como un contraste de bondad de ajuste
Para poder modelar el contraste de homogeneidad como un contraste de bondad de ajuste, en primer lugar necesitamos definir una variable “modelo”.
La fila \(i\)-ésima de la tabla de contingencia anterior representa la tabla de frecuencias empíricas de la variable \(Y|X=x_i\):
| \(Y|X=x_i\) | \(y_1\) | \(\ldots\) | \(y_j\) | \(\ldots\) | \(y_J\) | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n_{i1}\) | \(\ldots\) | \(n_{ij}\) | \(\ldots\) | \(n_{iJ}\) | \(n_{i \bullet}\) |
Si la hipótesis nula es cierta, o, si la distribución de la variable condicionada \(Y|X=x_i\) es la misma para cualquier \(x_i\), significa que la distribución de cada fila “coincidirá” con la distribución de la última fila de la tabla de contingencia:
| \(Y|X=x\) | \(y_1\) | \(\ldots\) | \(y_j\) | \(\ldots\) | \(y_J\) | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n_{\bullet 1}\) | \(\ldots\) | \(n_{\bullet j}\) | \(\ldots\) | \(n_{\bullet J}\) | \(n\) |
Dicha variable será nuestra variable “modelo”. Nuestro problema será, pues, chequear si la distribución de las frecuencias empíricas (fila \(i\)-ésima de la tabla de contingencia) coincide con la distribución de las frecuencias teóricas (última fila de la tabla de contingencia). ¿Pero cómo podemos compararlas si, en principio tendrán tamaño diferente?
Antes de poder aplicar toda la maquinaría del contraste \(\chi^2\) de bondad de ajuste, necesitamos que la suma de las frecuencias empíricas coincida con la suma de las frecuencias teóricas.
La suma de las frecuencias empíricas vale \(n_{i\bullet}\) y la suma de las frecuencias teóricas, \(n\).
Para “forzar” que las dos sumas sean iguales, multiplicaremos las frecuencias teóricas por \(\frac{n_{i\cdot}}{n}\). Así, la tabla de frecuencias teóricas quedará:
| \(Y|X=x\) | \(y_1\) | \(\ldots\) | \(y_j\) | \(\ldots\) | \(y_J\) | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet 1}}{n}\) | \(\ldots\) | \(\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet j}}{n}\) | \(\ldots\) | \(\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet J}}{n}\) | \(n_{i\bullet}\) |
Si aplicamos el test \(\chi^2\) de bondad de ajuste, tenemos que el estadístico de contraste será: \[ \chi^2_i = \sum_{j=1}^{J} \frac{(\mbox{frec. empíricas}-\mbox{frec. teóricas})^2}{\mbox{frec. teóricas}} =\sum_{j=1}^{J} \frac{\left(n_{ij}-\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet j}}{n}\right)^2}{\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet J}}{n}}. \] Ahora bien, tenemos en total \(i\) filas. Por tanto, tenemos que sumar el estadístico anterior para todas las filas: \[ \chi^2 =\sum_{i=1}^I\chi^2_i =\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{J} \frac{\left(n_{ij}-\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet j}}{n}\right)^2}{\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet J}}{n}}. \]
Observemos que nos queda la misma expresión que el estadístico de contraste que en el contraste de independencia.
Por tanto, desde el punto de vista de cómputo o de cálculo, realizar un contraste de independencia o de homogeneidad sería lo mismo.
Ahora bien, desde el punto de vista de diseño de experimentos, no.
Recordemos que en un contraste de independencia se toma una muestra transversal de la población. En cambio, en un contraste de homogeneidad se escoge una de las variables (para todo el estudio realizado, sería la variable \(X\)) y para cada uno de sus posibles valores se toma una muestra aleatoria, de tamaño prefijado, de individuos con ese valor para esa variable; su unión forma una muestra estratificada en el sentido que hemos visto en la sección de Muestreo.
Ejemplo del estudio del número de crías de una loba y la zona donde vive
Recordemos que la tabla de contingencia en este ejemplo era:| \(X/Y\) | \(Y_1\) | \(Y_2\) | \(Y_3\) | \(Y_4\) | \(n_{i\bullet}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(X_1\) | 5 | 8 | 15 | 22 | 50 |
| \(X_2\) | 20 | 26 | 46 | 8 | 100 |
| \(X_3\) | 15 | 10 | 15 | 10 | 50 |
| \(n_{\bullet j}\) | 40 | 44 | 76 | 40 | 200 |
Recordemos que la variable \(X\) representaba la zona donde vive la loba y la variable \(Y\), el número de crías.
Los valores de \(X\) eran: \(X_1=\)“Norte”, \(X_2=\)“Centro” y \(X_3=\)“Sur”.
Los valores de \(Y\) eran: \(Y_1=\)" Dos o menos“, \(Y_2=\)” Entre tres y cinco“, \(Y_3=\)”Entre seis y ocho" y \(Y_4=\)“Nueve o más”.
El contraste de homogeneidad consiste en este caso en testear si la distribución de la variable \(Y\), número de crías, es la misma para los tres valores de la variable \(X\).
Para que dicho estudio tenga sentido (desde el punto de vista de la homogeneidad), tendremos que estratificar primero la población de las lobas según los valores de la variable \(X\). Tendremos que elegir un número prefijado de lobas que vivan en el norte, un número prefijado de lobas que vivan en el centro y un número prefijado de lobas que vivan en el sur.
Según los datos de la tabla anterior, se eligen aleatoriamente 50 lobas que viven en el norte, 100 lobas que viven en el centro y 50 lobas que viven en el sur. Fijaos que estos tres números se fijan antes de realizar los tres muestreos, cosa que no pasaba en el contraste de independencia. En dicho contraste, se fijaba un sólo número que sería el número total de lobas a clasificar.
El contraste realizado en R era el siguiente:
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: matrix(c(5, 20, 15, 8, 26, 10, 15, 46, 15, 22, 8, 10), 3, 4)
## X-squared = 32, df = 6, p-value = 0.00002Como el p-valor es muy pequeño, concluimos que tenemos indicios suficientes para rechazar que la distribución del número de crías de las lobas es la misma para las tres zonas donde viven.
6.8.3 Guía rápida
tablecalcula tablas de contingencia de frecuencias absolutas.prop.tablecalcula tablas de contingencia de frecuencias relativas.addmarginssirve para añadir a unatableuna fila o una columna obtenidas aplicando una función a todas las columnas o a todas las filas de la tabla, respectivamente. Sus parámetros principales son:margin: igualado a1, se aplica la función por columnas, añadiendo una nueva fila; igualado a2, se aplica la función por filas, añadiendo una nueva columna; igualado ac(1,2), que es su valor por defecto, hace ambas cosas.FUN: la función que se aplica a las filas o columnas; su valor por defecto essum.
colSumscalcula un vector con las sumas de las columnas de una matriz o una tabla.rowSumscalcula un vector con las sumas de las filas de una matriz o una tabla.chisq.testsirve para realizar tests \(\chi^2\) de independencia y homogeneidad. El resultado es unalistformada, entre otros, por los objetos siguientes:statistic(el valor del estadístico \(X^2\)),parameter(los grados de libertad) yp.value(el p-valor). Sus parámetros principales en el contexto de esta lección son:simulate.p.value: igualado aTRUE, calcula el p-valor mediante simulaciones.B: en este último caso, permite especificar el número de simulaciones.