Prerequisitos: Teoría de conjuntos y combinatoria

Para aprender cálculo de probabilidades son necesarios conocimientos de:

1. Cálculo: derivadas, integrales, límites, sumas de series…
2. Geometría básica y Álgebra Lineal : rectas, hiperplanos, volúmenes… Matrices, valores propios…
3. Teoría de Conjuntos y Combinatoria.

Por experiencia sabemos que la mayoría de estudiantes tienen más conocimientos de Cálculo, Geometría y Matrices. Sin embargo, muchos tienen una falta de conocimientos en Teoría básica de Conjuntos y Combinatoria (Matemática Discreta).

0.1 Teoría de conjuntos

Definición de conjunto

La definición de conjunto es una idea o noción primitiva. Es decir, es una idea básica del pensamiento humano: un conjunto es una colección de objetos (números, imágenes, jugadores de fútbol, palabras, colores…).

La Teoría de Conjuntos básica es simple y natural y es la que necesitamos para este curso. Por otro lado, la Teoría de Conjuntos matemática es más compleja y presenta varias paradojas como la paradoja de Russell.

La idea o noción práctica de conjunto es la de una colección de objetos de un cierto tipo.

Estas colecciones o conjuntos se pueden definir por:

• Compresión: reuniendo los objetos que cumplen una propiedad \(p\)
• Extensión: dando una lista exhaustiva de los miembros del conjunto

0.1.1 Conjuntos básicos

Los conjuntos suelen tener un conjunto madre como por ejemplo

• \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}\); los números naturales.
• \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\); los números enteros.
• \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\ \Big|\ p,q\in \mathbb{Z} \mbox{ y } q \not= 0\right\}\); los números racionales.
• \(\mathbb{R}=\{\mbox{Todos los puntos de una recta}\}\); los números reales.
• \(\mathbb{C}= \left\{a+b\cdot i\ \big|\ a,b\in \mathbb{R}\right\}\); los números complejos.
• Alfabeto = \(\{a,b,c,\ldots, A,B,C,\ldots\}\)
• Palabras = \(\{paz, guerra, amor, probabilidad,\ldots\}\)

Recordemos que \(i\) es la unidad imaginaria que satisface \(i = +\sqrt{-1}\).

0.1.2 Características y propiedades básicas de los conjuntos

• A cada objeto \(x\) de \(\Omega\) lo llamaremos elemento del conjunto \(\Omega\) y diremos que \(x\) pertenece a \(\Omega\). Lo denotaremos por \(x\in \Omega\).
• Un conjunto de un elemento, por ejemplo \(\{1\}\), recibe el nombre de conjunto elemental (o singleton del inglés).
• Sean \(A\) y \(B\) conjuntos, diremos que \(A\) es igual a \(B\) si todos los elementos \(A\) están en \(B\) y todos los elementos de \(B\) están en \(A\). Por ejemplo, \(A=\{1,2,3\}\) es igual a \(B=\{3,1,2\}\).
• Si \(A\) es un conjunto tal que si \(x\in A\) entonces \(x\in B\), diremos que \(A\) es un subconjunto de o que está contenido en \(B\). Lo denotaremos por \(A\subseteq B.\)
• El conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío y se denota por el símbolo \(\emptyset\).
• Dado \(A\) un conjunto cualquiera, obviamente \(\emptyset\subseteq A.\)

Tomemos como conjunto base \(\Omega=\{1,2,3\}\)

• \(\Omega\) es un conjunto de cardinal 3, se denota por \(\#(\Omega)=3\) o por \(|\Omega|=3\)
• El conjunto \(\Omega\) tiene \(2^3=8\) subconjuntos.
  • El vacio \(\emptyset\) y los elementales \(\{1\},\{2\},\{3\}\).
  • Los subconjuntos de dos elementos: \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\).
  • El conjunto total de tres elementos \(\Omega=\{1,2,3\}.\)

Dado un conjunto \(\Omega\) podemos construir el conjunto de todas sus partes (todos sus subconjuntos) al que denotamos por \(\mathcal{P}(\Omega)\). También se denomina de forma directa partes de \(\Omega\).

Cardinal de las partes de un conjunto

El cardinal de las partes de un conjunto es \(\#(\mathcal{P}(\Omega))=2^{\#(\Omega)}.\)

Por ejemplo \(\#\left(\mathcal{P}(\{1,2,3\})\right)=2^{\#(\{1,2,3\})}=2^3=8.\)

Efectivamente,

\[\mathcal{P}(\{1,2,3\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.\]

Dado un subconjunto \(A\) de \(\Omega\) podemos construir la función característica de \(A\) \[\chi_A:\Omega \to \{0,1\}\]

donde dado un \(\omega\in \Omega\)

\[ \chi_A(\omega)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si }\omega \in A\\ 0 & \mbox{si }\omega \not\in A \end{array} \right. \]

0.1.3 Operaciones con conjuntos

Intersección.

Sea \(\Omega\) un conjunto y \(A\) y \(B\) dos subconjuntos de \(\Omega\).

El conjunto intersección de \(A\) y \(B\) es el formado por todos los elementos que pertenecen a \(A\) y \(B\). Se denota por \(A\cap B\).

Más formalmente

\[ A\cap B=\left\{x\in\Omega \ \big|\ x\in A \mbox{ y } x\in B\right\}. \]

Unión.

El conjunto unión de \(A\) y \(B\) es el formado por todos los elementos que pertenecen a \(A\) o que pertenecen a \(B\). Se denota por \(A\cup B\).

Más formalmente

\[ A\cup B=\left\{x\in\Omega\ \big|\ x\in A \mbox{ o } x\in B\right\}. \]

Diferencia.

El conjunto diferencia de \(A\) y \(B\) es el formado por todos los elementos que pertenecen a \(A\) y no pertenecen a \(B\). Se denota por \(A-B=A-(A\cap B)\).

Más formalmente

\[ A- B=\left\{x\in\Omega \ \big|\ x\in A \mbox{ y } x\notin B\right\}. \]

Complementario

El complementario de un subconjunto \(A\) de \(\Omega\) es \(\Omega-A\) y se denota por \(A^c\) o \(\bar{A}\).

Más formalmente

\[ A^c=\left\{x\in\Omega \ \big|\ x\not\in A\right\}. \]

0.1.4 Más propiedades y definiciones

Sea \(\Omega\) un conjunto y \(A\), \(B\), \(C\) tres subconjuntos de \(\Omega\)

• Se dice que dos conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos si \(A\cap B=\emptyset.\)
• \(\Omega^c=\emptyset\).
• \(\emptyset^c=\Omega\).
• \(A\cup B=B \cup A\) , \(A\cap B=B\cap A\) (propiedad conmutativa).
• \((A\cup B) \cup C = A \cup( B \cup C)\) , \((A\cap B) \cap C = A \cap( B \cap C)\) (propiedad asociativa).
• \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B) \cap (A\cup C)\) , \(A\cap (B\cup C)=(A\cap B) \cup (A\cap C)\) (propiedad distributiva).
• \(\left(A^c\right)^c=A\) (doble complementario).
• \(\left(A\cup B\right)^c=A^c \cap B^c\), \(\left(A\cap B\right)^c=A^c \cup B^c\) (leyes de De Morgan).

0.1.5 Con R, ejemplos

Con R, los conjuntos de pueden definir como vectores

(Omega = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10))

 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

(A = c(1,2,3,4,5))

[1] 1 2 3 4 5

(B = c(1,4,5))

[1] 1 4 5

(C = c(4,6,7,8))

[1] 4 6 7 8

\(A\cap B\)

intersect(A,B)

[1] 1 4 5

\(A\cup B\)

union(A,B)

[1] 1 2 3 4 5

\(B-C\)

setdiff(B,C)

[1] 1 5

\(A^c=\Omega-A\)

setdiff(Omega,A)

[1]  6  7  8  9 10

0.1.6 Con Python, ejemplos

Omega = set([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10])
Omega

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = set([1,2,3,4,5])
A

{1, 2, 3, 4, 5}

B = set([1,4,5])
B

{1, 4, 5}

C = set([4,6,7,8])
C

{8, 4, 6, 7}

A & B   ## intersección (&: and/y)

{1, 4, 5}

A | B   ## unión (|: or/o)

{1, 2, 3, 4, 5}

A - C   ## diferencia 

{1, 2, 3, 5}

Omega-C ## complementario

{1, 2, 3, 5, 9, 10}

0.2 Combinatoria

La combinatoria es una rama de la Matemática Discreta que, entre otras cosas, cuenta distintas configuraciones de objetos de un conjunto.

Por ejemplo, si tenemos un equipo de baloncesto con 7 jugadores ¿cuántos equipos de 5 jugadores distintos podemos formar?

0.2.1 Combinaciones

Número combinatorio o número binomial

Nos da el número de subconjuntos de tamaño \(k\) de un conjunto de tamaño \(n\). Este número es

\[ C_n^k={n\choose k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \]

Recordemos que \[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n \]

En nuestro caso con 7 jugadores, \(n=7\), el número de equipos distintos de \(k=5\) es

\[ \begin{array}{rl} C_7^5&={7\choose 5} = \frac{7!}{5!\cdot (7-5)!}=\frac{7!}{5!\cdot 2!} \\ &=\frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 1\cdot 2}=\frac{6\cdot 7}{2}=\frac{42}{2}=21. \end{array} \]

Podemos formar 21 equipos distintos.

Exercise 0.1 Ejercicio

Carga el paquete gtools de R e investiga la función combinations(n, r, v, set, repeats.allowed) para calcular todas las combinaciones anteriores.

0.2.2 Combinaciones con repetición

En combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.

El número \(CR_n^k\) de multiconjuntos con \(k\) elementos escogidos de un conjunto con \(n\) elementos satisface:

• Es igual al número de combinaciones con repetición de \(k\) elementos escogidos de un conjunto con \(n\) elementos.
• Es igual al número de formas de repartir \(k\) objetos en \(n\) grupos.

\[CR_n^k = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}.\]

Example 0.1 Ejemplo

Vamos a imaginar que vamos a repartir 12 caramelos entre Antonio, Beatriz, Carlos y Dionisio (que representaremos como A, B, C, D). Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 4 caramelos a Antonio, 3 a Beatriz, 2 a Carlos y 3 a Dionisio. Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como ‘AAAABBBCCDDD’.

Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Antonio, ninguno a Beatriz y Carlos, y los 11 restantes se los damos a Dionisio. Esta repartición la representamos como ‘ADDDDDDDDDDD’.

Recíprocamente, cualquier serie de 12 letras A, B, C, D se corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie ‘AAAABBBBBDDD’ corresponde a: Dar 4 caramelos a Antonio, 5 caramelos a Beatriz, ninguno a Carlos y 3 a Dionisio.

De esta forma, el número de formas de repartir los caramelos es:

\[CR_{4}^{12} = \binom{4+12-1}{4}\]

0.2.3 Variaciones.

Variaciones

Con los números \(\{1,2,3\}\) ¿cuántos números de dos cifras distintas podemos formar sin repetir ninguna cifra?

Los podemos escribir

\[12,13,21,23,31,32\]

Luego hay seis casos.

0.2.4 Variaciones (sin repetición).

Denotaremos las variaciones (sin repetición) de \(k\) elementos (de orden \(k\)) de un conjunto de \(n\) elementos por \(V^n_k\) su valor es

\[ V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdots n. \]

En nuestro ejemplo con \(n=3\) dígitos podemos escribir las siguientes variaciones de orden \(k=2\)

\[ V^{k=2}_{n=3}=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{1}=6. \]

Exercise 0.2 Ejercicio

Carga el paquete gtools de R e investiga la función permutations(n, r, v, set, repeats.allowed) para calcular todas las variaciones anteriores.

Variaciones con repetición

¿Y repitiendo algún dígito?

\[VR_n^k=n^k\]

Efectivamente, en nuestro caso

\[11,12,13,21,22,23,31,32,33\]

\[ VR^{k=2}_{n=3}=n^k. \]

0.2.5 Permutaciones

Las permutaciones de un conjunto de cardinal \(n\) son todas las variaciones de orden máximo, \(n\). Las denotamos y valen:

\[ P_n=V_n^n=n! \]

Por ejemplo, todos los números que se pueden escribir ordenando todos los dígitos \(\{1,2,3\}\) sin repetir ninguno.

library(combinat)
for(permutacion in permn(3)) print(permutacion)

[1] 1 2 3
[1] 1 3 2
[1] 3 1 2
[1] 3 2 1
[1] 2 3 1
[1] 2 1 3

Efectivamente, \[ P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3. \]

Exercise 0.3 Ejercicio

Carga el paquete combinat de R e investiga la funcion permn para calcular todas las permutaciones anteriores.

Exercise 0.4 Ejercicio

Investiga el paquete itertools y la función comb de scipy.misc de Python e investiga sus funciones para todas las formas de contar que hemos visto en este tema.

Exercise 0.5 Ejercicio

La función gamma de Euler cobrará mucha importancia en el curso de estadística. Comprueba que la función gamma(x+1) da el mismo valor que la función factorial(x) en R para todo \(x = \{1,2,3\cdots,10\}\).

0.2.6 Números multinomiales. Permutaciones con repetición.

Consideremos un conjunto de elementos \(\{a_1, a_2, \ldots, a_k\}\).

Entoces, si cada uno de los objetos \(a_i\) de un conjunto, aparece repetido \(n_i\) veces para cada \(i\) desde 1 hasta \(k\), entonces el número de permutaciones con elementos repetidos es:

\[PR_n^{n_1,n_2,\ldots,n_k} = {{n}\choose {n_1\quad n_2 \quad\ldots \quad n_k}}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots \cdot n_k!},\] donde \(n=n_1+n_2+\cdots+n_k\).

Example 0.2 Ejemplo

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra PROBABILIDAD?

El conjunto de letras de la palabra considerada es el siguiente: \(\{A, B, D, I, L, O, P, R\}\) con las repeticiones siguientes: las letras A, B, D, e I, aparecen 2 veces cada una; y las letras L, O, P, R una vez cada una de ellas.

Por tanto, utilizando la fórmula anterior, tenemos que el número de palabras (permutaciones con elementos repetidos) que podemos formar es

\[PR^{2,2,2,2,1,1,1,1}_{12} = \frac{12!}{(2!)^4(1!)^4} = 29937600.\]

0.3 Para acabar

0.3.1 Principios básicos para contar cardinales de conjuntos

El principio de la suma

Sean \(A_1, A_2,\ldots, A_n\) conjuntos disjuntos dos a dos, es decir \(A_i\cap A_j=\emptyset\) para todo \(i\not= j\), \(i,j=1,2,\ldots n\). Entonces

\[\#(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n \#(A_i).\]

Principio de unión exclusión

Consideremos dos conjuntos cualesquiera \(A_1, A_2\), entonces el cardinal de su unión es

\[\#(A_1\cup A_2)=\#(A_1)+\#(A_2)-\#(A_1\cap A_2).\]

El principio del producto

Sean \(A_1,A_2,\ldots A_n\)

\[ \begin{array}{ll} \#(A_1\times A_2\times \cdots A_n)=&\#\left(\{(a_1,a_2,\ldots a_n)| a_i\in A_i, i=1,2,\ldots n\}\right)\\ &=\prod_{i=1}^n \#(A_i). \end{array} \]

0.4 Otros aspectos a tener en cuenta

Evidentemente, nos hemos dejado muchas otras propiedades básicas de Teoría de Conjuntos y de Combinatoria como:

• Propiedades de los números combinatorios.
• Binomio de Newton.
• Multinomio de Newton.

Si nos son necesarias las volveremos a repetir a lo largo del curso o bien daremos enlaces para que las podáis estudiar en paralelo.

Exercise 0.6 Nota

Puedes repasar todos esos conceptos con ejercicios y más en el Curso de estadística descriptiva con R y Python en Frogames Formación con María Santos y Juan Gabriel Gomila.