Una v.a. continua \(X\) tiene una distribución uniforme sobre el intervalo real \((a,b)\) ,con \(a<b\), si su función de densidad es

\[ f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac1{b-a}, & \mbox{si } a<x<b,\\ 0, & \mbox{en cualquier otro caso.} \end{array} \right. \]

Su función de distribución es

\[ F_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \mbox{si } x\leq a,\\ \frac{x-a}{b-a}, & \mbox{si } a<x<b,\\ 1, & \mbox{si } b\leq x. \end{array} \right. \]

Efectivamente:

• Si \(x\leq a\), entonces \[F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt= \int_{-\infty}^{x} 0\cdot dt.\]
• Si \(a<x<b\) entonces ,

\[ \begin{array}{rl} F_X(x)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt= \int_{-\infty}^{a} 0\cdot dt+\int_{a}^{x} \frac1{b-a} \cdot dt\\ &= \displaystyle 0 +\left.\frac{t}{b-a}\right]_{t=a}^{t=x}= \frac{x}{b-a}-\frac{a}{b-a}=\frac{x-a}{b-a}. \end{array} \]

• Por último si \(x\geq b\) entonces,

\[ \begin{array}{rl} F_X(x)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t) dt=\int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} dt= \left. \frac{t}{b-a} \right]_{t=a}^{t=b} \\&=\displaystyle \frac{b}{b-a}-\frac{a}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1. \end{array} \]

Denotaremos a la v.a. \(X\) uniforme en el intervalo \((a,b)\) por \(U(a,b)\).

Calculemos la esperanza de \(X\)

\[ \begin{array}{rl} E(X)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_X(x) dx =\int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} dx = \left.\frac{x^2}{2\cdot (b-a)}\right]_{x=a}^{x=b}\\ &=\displaystyle \frac{b^2}{2\cdot (b-a)}-\frac{a^2}{2\cdot (b-a)} = \frac{b^2-a^2}{2\cdot (b-a)} \\ & =\displaystyle\frac{(b+a)\cdot (b-a)}{2\cdot (b-a)}= \frac{b+a}{2}. \end{array} \]

De cara a calcular su varianza, calculemos primero la esperanza de \(X^2\):

\[ \begin{array}{rl} E(X^2)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_X(x) dx=\int_{a}^{b} x^2 \frac1{b-a} dx =\left.\frac{x^3}{3\cdot (b-a)}\right]_{x=a}^{x=b} \\ &=\displaystyle\frac{b^3-a^3}{3\cdot (b-a)}=\frac{b^2+ab+a^2}{3}. \end{array} \]

Calculemos \(Var(X)\). \[ \begin{array}{rl} Var(X)&=\displaystyle E(X^2)-(E(X))^2=\frac{b^2+ab+a^2}3-\left(\frac{b+a}2\right)^2\\&=\displaystyle \frac{b^2+ab+a^2}{3}-\frac{b^2+2ab+a^2}{4}\\ &=\displaystyle \frac{4\cdot (b^2+ab+a^2)-3\cdot (b^2+2ab+a^2)}{4\cdot 3} \\ &=\displaystyle \frac{b^2-2ab+a^2}{12}= \frac{(b-a)^2}{12}. \end{array} \]

El código en R para dibujar la función de densidad y la función de distribución de una distribución \(U(0,1)\) es el siguiente:

par(mfrow=c(1,2))
a=0;b=1
curve(dunif(x,a,b),xlim=c(a-0.25,b+0.25),ylim=c(0,max(1/(b-a)+0.05,0.1)),
      col="blue",main=paste0("Función densidad  U(",a,",",b,")"),
      ylab=paste0("dunif(x,",a,", ",b,")")
      )
curve(punif(x,a,b),xlim=c(a-1,b+1),ylim=c(0,1.1),
      col="blue",main=paste0("Función de distribución U(",a,",",b,")"),
      ylab=paste0("punif(x,",a,", ",b,")",cex.axis=0.8)
      )
par(mfrow=c(1,1))

Si \(X\) sigue una distribución \(U(a,b)\) entonces \(Z=\frac{X-a}{b-a}\) sigue una distribución \(U(0,1)\).

Sea \(X\) una v.a \(U(a,b)\)

Si \(scale\not=0\) y \(loc\) son dos constantes reales entonces

• si \(scale>0\), \(T=scale\cdot X+loc\) sigue una ley \(U(scale\cdot a +loc,scale\cdot b +loc)\)
  
• si \(scale<0\), \(T=scale\cdot X+loc\) sigue una ley \(U(scale\cdot b +loc,scale\cdot a +loc)\)

Sea \(X\) una \(v.a.\) \(U(a,b)\). Las funciones dunif(x,a,b) y punif(x,a,b) calculan la función de densidad y de distribución de \(X\) en el valor \(X\). Por ejemplo, para \(a=-1\), \(b=1\) y \(x=0.5\), los valores \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\) valen:

dunif(x=0.5, min=-1,max=1)

[1] 0.5

punif(q=0.5,min=-1,max=1)

[1] 0.75

La función runif(n,a,b) calcula un muestra de observaciones de tamaño \(n\) que sigan la distribución \(U(a,b)\):

runif(n=5,min=-1,max=1)

[1]  0.57881041  0.35149209  0.02775478 -0.77393315  0.54174231

Por defecto, el valor de los parámetros a y b son 0 y 1, respectivamente:

dunif(x=0.5)

[1] 1

punif(q=0.5)

[1] 0.5

runif(n=5)

[1] 0.6657760 0.2788621 0.2866181 0.1895627 0.6019269

Sea \(X\) una \(v.a.\) \(U(-1,1)\). Tomando como “base” la v.a. \(U(0,1)\), los parámetros \(loc\) y \(scale\) valen: \(loc=-1\) y \(scale=2,\) ya que como hemos visto \(X=2*U(0,1)-1=U(-1,1)\).

En python, hay que usar dichos parámetros para calcular la función de densidad y de distribución:

from scipy.stats import uniform
uniform.pdf(0.5,loc=-1,scale=2)

0.5

uniform.ppf(0.5,loc=-1,scale=2)

0.0

Para generar una muestra de valores aleatorios, hay que usar la función uniform.rvs:

uniform.rvs(size=30,loc=-1,scale=2)

array([-0.57740555, -0.66155462, -0.14735034, -0.1338145 , -0.70799429,
       -0.76422997, -0.18022966,  0.38904802, -0.97606076, -0.65283055,
        0.85824122,  0.47907356, -0.15076041, -0.75990232,  0.62288045,
        0.81990857, -0.52970855,  0.6119947 , -0.37412069, -0.13794952,
        0.81435093, -0.10841814,  0.32259814, -0.29465654,  0.13584076,
        0.80704586,  0.59129044,  0.28355088, -0.52092476,  0.09122931])

Los valores de los parámetros por defecto son loc=0, scale=1:

uniform.pdf(0.5)

1.0

uniform.ppf(0.5)

0.5

uniform.rvs(size=5)

array([0.99228421, 0.54948763, 0.01635299, 0.67766559, 0.32632039])

Si \(X\) es una v.a. con dominio \(D_X\) y \(0<p<1\) llamaremos cuantil de orden \(p\) al menor valor perteneciente al dominio \(x_p\in D_X\) tal que

\[P(X\leq x_p)\geq p.\]

En R, cada distribución \(X\) tiene la función qX(p,...) que devuelve precisamente el cuantil \(x_p\) tal que \(P(X\leq x_p)\geq p.\)

Dada una variable aleatoria \(X\), si existe la inversa de la función de distribución de \(X\), \(F_X^{-1}\), el cuantil de orden \(p\) sería el valor que tiene la función \(F_X^{-1}\) en \(p\): \(x_p=F^{-1}(p)\).

En caso de no existir la inversa, dado \(p\), definimos el conjunto \(A_p\) como:

\[ A_p =\{x\in\mathbb{R},\ |\ F_X(x)\geq p\}. \]

Entonces el cuantil \(p\) es el mínimo del conjunto \(A_p\) considerando sólo valores del dominio de la variable: \(x_p =\displaystyle\min_{x\in D_X}(A_p)\). Este mínimo siempre existirá y nos da una fórmula explícita para calcular los cuantiles de cualquier variable aleatoria.

Por ejemplo, el valor de \(P_X(0.5)\) sería:

ddado(1.5,n=6)

[1] 0

y los valores de \(P_X(i)\) para \(i=1,\ldots 10\) sería:

ddado(1:10,n=6)

 [1] 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.1666667 0.0000000
 [8] 0.0000000 0.0000000 0.0000000

Supongamos que tenemos un proceso Poisson con parámetro \(\lambda\) en una unidad de tiempo.

Dado un tiempo \(t\), definimos \(N_{t}\) como el número de eventos en el intervalo de tiempo \((0,t]\). La distribución de \(N(t)\) es una \(Po(\lambda\cdot t)\). Consideremos la v.a. \(T\) como el tiempo transcurrido entre dos eventos Poisson consecutivos.

Sea \(t>0\), entonces

\[ \begin{array}{rl} P(T>t)&=P(\mbox{Cero eventos en el intervalo}(0,t])\\ &=P(N_{t}=0)= \frac{(\lambda t)^0}{0!} e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}. \end{array} \]

Tomando complementarios, la función de distribución de \(T\) será: \[ F_{T}(t)= P(T\leq t)=1-P(T>t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{ si } t\leq 0,\\ 1-e^{-\lambda t},& \mbox{ si } t>0,\end{array}\right. \]

Para hallar la función de densidad de \(T\), basta derivar la expresión anterior: \[ f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \cdot e^{-\lambda t}, & \mbox{ si } t>0,\\ 0, & \mbox{ si } t\leq 0. \end{array}\right. \]

Llamaremos a la variable \(T\) exponencial de parámetro \(\lambda\) y la denotaremos por \(Exp(\lambda)\).

Sea \(X\) una v.a. \(Exp(\lambda)\) entonces

\[P(X>s+t\big|X>s)=P(X>t)\mbox{ para todo } s,t\in \mathbb{R}\]

La función de densidad, de distribución y la generación aleatoria de valores de una exponencial, se pueden obtener en R con:

dexp(0.001,rate=3)## alerta no es una probailidad es una densidad y puede ser >1

[1] 2.991013

pexp(0.5,rate=3) ##P(X<0.5)

[1] 0.7768698

rexp(10,3)## diez tiempos de una exponencial

 [1] 0.5069426 0.4497573 0.2876943 0.5514840 1.0552252 0.3168070 0.2488148
 [8] 0.2377065 0.2974863 0.2121646

Y en python con:

from scipy.stats import expon
expon.pdf(0.0001,scale= 1./3)

2.9991001349865014

expon.cdf(0.5,scale= 1./3) 

0.7768698398515702

expon.rvs(scale=1./3,size=10)

array([0.27238386, 1.46348269, 0.22048545, 0.14458971, 0.18901634,
       0.17625803, 0.42814061, 0.13063973, 0.13908107, 0.16852951])

lambda=10
par(mfrow=c(1,2))
curve(dexp(x,rate=lambda),xlim=c(-0.05,round(qexp(0.99,rate=lambda,2),2)+0.25),
      ylim=c(0,dexp(0,lambda)+0.1),col="blue",
      main=paste0("Función densidad Exp(",lambda,")"),
      ylab=paste0("dexp(x,rate=",lambda,")"))
curve(pexp(x,rate=lambda),xlim=c(-0.05,qexp(0.999,10)),ylim=c(0,1.1),col="blue",
      main=paste0("Función de distribución Exp(",lambda,")"),
      ylab=paste0("pexp(x,rate=",lambda,")"))
par(mfrow=c(1,1))

Una de las variables aleatorias continua más populares es la llamada distribución normal o Gaussiana .

Distribución normal o de Gauss Diremos que una v.a. \(X\) sigue una ley normal de parámetros \(\mu\) y \(\sigma\) y la denotaremos por \(N(\mu,\sigma)\) si tiene por función de densidad:

\[ f_{X}(x)=\frac1{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \] para todo \(x\in \mathbb{R}.\)

La gráfica de esta función de densidad es conocida como campana de Gauss.

La v.a. normal con \(\mu=0\) y \(\sigma=1\) recibe el nombre de normal estándar y se suele denotar por la letra \(Z\) normal \(N(0,1)\).

curve(dnorm(x),main="Función de densidad de una normal estándar",xlim=c(-3.9,3.9))

Propiedades de la función de densidad de la distribución normal

Sea \(X\) una v.a. \(N(\mu,\sigma)\) y sea \(f_{X}\) su función de densidad. Entonces:

• La función \(f_{X}\) verifica todas las propiedades de las funciones de densidad: \(f_X(x)>0\), para todo \(x\in\mathbb{R}\) y \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,dx=1\).
• La función \(f_X(x)\) es simétrica respecto de la recta \(x=\mu\): \(f_{X}(\mu-x)=f_{X}(\mu+x)\), para todo \(x\in\mathbb{R}\).
• \(f_{X}\) tiene un único máximo absoluto en \(x=\mu\) que vale \(f_X(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\).

• Si \(F_{X}\) es la función de distribución de \(X\), entonces \(F_{X}(\mu+x)=1-F_{X}(\mu-x)\), para todo \(x\in\mathbb{R}\).
• En particular si \(Z\) es una \(N(0,1)\) entonces \(F_{Z}(-x)=1-F_{Z}(x)\), para todo \(x\in\mathbb{R}\).
• \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) es una v.a. \(N(0,1)\) y \(X=\sigma\cdot Z+\mu\) es una \(N(\mu,\sigma)\) donde \(Z\) es la normal estándar.

Su función de distribución es, como sabemos :

\[ F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} {1\over{\sqrt{2\cdot \pi\cdot\sigma^2}}} e^{-{1\over 2}{\left({t-\mu}\over{\sigma}\right)}^2} dt. \]

La función \(F(x)\) no tiene ninguna expresión algebraica “decente”. Es por esta razón, y por comodidad, que esta función está tabulada o hay que calcularla usando un software estadístico.

Las funciones que calculan la función de densidad y de distribución de una variable \(N(\mu,\sigma)\) en un valor x son dnorm(x,mean=mu,sd=sigma) y pnorm(x,mean=mu,sd=sigma), respectivamente. Por ejemplo, para una variable \(X\sim N(\mu=1,\sigma=2)\) la función de densidad \(f_X(2)\) se puede calcular de la forma siguiente:

dnorm(2,mean=1,sd=2)

[1] 0.1760327

y la función de distribución \(F_X(2) = P(X\leq 2)\) de la forma siguiente:

pnorm(2,mean=1,sd=2) 

[1] 0.6914625

El cuantil \(x_{0.95}\) es el valor que cumple \(P(X\leq x_{0.95})=0.95\) como

qnorm(0.95,mean=1,sd=2)

[1] 4.289707

Y la generación aleatoria de valores según \(X\) como

rnorm(n=5,mean=1,sd=2)

[1]  2.19858942  0.03274072 -0.59125322 -0.88202614  1.95160505

De forma la forma habitual importaremos norm de scipy.stas los parámetros son loc y scale la media \(\mu\) y la desviación estándar \(\sigma\).

from scipy.stats import norm

Por ejemplo para una \(X\sim N(\mu=1,\sigma=2)\), la función de densidad \(f_X(2)\):

norm.pdf(2,loc=1,scale=2)

0.17603266338214976

y la función de distribución \(F_X(2) = P(X\leq 2)\):

norm.cdf(2,loc=1,scale=2)

0.6914624612740131

El cuantil \(x_{0.95}\) es el valor que cumple \(P(X\leq x_{0.95})=0.95\) como

norm.ppf(0.95,loc=1,scale=2)

4.289707253902945

Y la generación aleatoria de valores según \(X\) como

norm.rvs(loc=1,scale=2,size=5)

array([-0.95807589, -1.30513318, -0.87260262,  1.13926893,  1.65554422])

La función de densidad de la distribución normal tiene las siguientes propiedades:

• La función \(f_X\) es continua.
• \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot \sigma^2}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} dx =1.\) (propiedad de todas las densidades).
• \(f(\mu+x)=f(\mu-x)\).
• \(F(\mu-x)=1-F(\mu+x)\).

• \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\) es decir tiene asíntota horizontal a derecha e izquierda.
• \(f\) es estrictamente creciente si \(x<\mu\) y decreciente si \(x>\mu\).
• Alcanza el máximo en \(x=\mu\) y en este punto vale \(f(\mu)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\)
• Tiene dos puntos de inflexión en \(x=\mu+\sigma\) y en \(x=\mu-\sigma\).

Propiedad: transformación lineal la distribución normal

Sea \(X\) una variable \(N(\mu,\sigma)\) entonces la variable \(Y=a X+b\) con \(a\not=0,b\in\mathbb{R}\) tiene distribución \(N(a\mu+b, |a| \sigma)\)

En particular si \(X\) sigue una \(N(\mu,\sigma)\), tomando \(a=\frac1{\sigma}\) y \(b= \frac{-\mu}{\sigma}\) obtenemos la tipificación o estandarización de la v.a.

\[Z={{X-\mu}\over {\sigma}}\] se distribuye \(N(0,1)\), es decir \(E(X)=0\) y \(Var(X)=1\).

Esta propiedad es muy útil, ya que utilizándola sólo necesitaremos tabular la \(N(0,1)\).

Si \(Z\) sigue una distribución \(N(0,1)\) diremos que \(Z\) sigue una distribución normal estándar.

Por lo tanto podemos calcular cualquier distribución normal desde la distribución normal estándar:

\[ F_X(x)=F_Z \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). \]

Sea \(Z\) una \(N(0,1)\).

En este caso, \(\mu=0\) y \(\sigma=1\). Podemos escribir algunas de las propiedades vistas para una distribución normal cualquiera de la forma siguiente:

• La propiedad \(f_X(\mu-x)=f_X(\mu+x)\) se traduce a \(f_Z(-x)=f_Z(x)\)
• La propiedad \(F_X(\mu-x)=1-F_X(\mu+x)\) se traduce a \(F_Z(-x)=1-F(x).\)
• Dado \(\delta>0\), \[ P(-\delta\leq Z \leq \delta)=F_{Z}(\delta)-F_{Z}(-\delta)=F_Z(\delta)-(1-F_Z(\delta))= 2\cdot F_Z(\delta)-1. \]

Para hallar la probabilidad de que \(X\) esté en un intervalo \((a,b)\) cualquiera, podemos usar la función de distribución de \(Z\) de la siguiente manera: \[ \begin{array}{ll} P(a<X<b)&=P\left(\frac{a-\mu}{\sigma}<\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{b-\mu}{\sigma}\right)= \\ &=P\left(\frac{a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=F_{Z}\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)- F_{Z}\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right). \end{array} \]

Para el caso particular en que el intervalo esté centrado en la media \(\mu\), o sea existe un valor \(\delta>0\) tal que \((a,b)=(\mu-\delta,\mu+\delta)\), obtenemos: \[ P\left(\mu-\delta\leq X \leq\mu+\delta\right)=2\cdot F_Z\left(\frac{\delta}{\sigma}\right)-1. \]

En los temas que siguen veremos como, bajo determinadas condiciones,

• la distribución normal puede aproximar la distribución binomial,
• la distribución normal puede aproximar la distribución Poisson
• la distribución normal es la distribución límite de la media aritmética de una muestra de variables aleatorias.