• Hasta ahora nuestros sucesos han sido de varios tipos: \(\{C,+\}\) en la moneda, nombres de periódicos, ángulos en una ruleta, número de veces que sale cara en el lanzamiento de una moneda etc.
• Necesitamos estandarizar de alguna manera todos estos sucesos. Una solución es asignar a cada suceso un cierto conjunto de números reales, es decir, convertir todos los sucesos en sucesos de números reales para trabajar con ellos de forma unificada.
• Para conseguirlo utilizaremos unas funciones que transformen los elementos del espacio muestral en números; esta funciones son las variables aleatorias.

Comenzaremos dando una definición poco rigurosa, pero suficiente, de variable aleatoria.

Variable Aleatoria (definición práctica)

Una variable aleatoria (v.a.) es una aplicación que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio

• Normalmente representaremos las v.a. por letras mayúsculas \(X,Y,Z\ldots\)
• Los valores que “toman” las v.a. los representaremos por letras minúsculas (las mismas en principio) \(x,y,z\ldots\)

Hay dos tipos fundamentales de variables aleatorias, las discretas y las continuas.

Damos a continuación una definición informal.

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

• Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad numerable de valores con probabilidad positiva.
• Las variables aleatorias continuas toman valores en intervalos.
• También existen las variables aleatorias mixtas; con una parte discreta y otra continua.

• Pasamos ahora a describir el comportamiento de la v.a. Para ello utilizaremos distintas funciones que nos darán algunas probabilidades de la variable aleatoria.
• En el caso discreto estas funciones son la de probabilidad, y la función de distribución o de probabilidad acumulada.
• En el caso discreto la función de probabilidad es la que nos da las probabilidades de los sucesos elementales de la v.a. que definimos a continuación.

Función de Probabilidad

La función de probabilidad (probability mass function o incluso abusando de notación probability density function) de una variable aleatoria discreta \(X\) a la que denotaremos por \(P_{X}(x)\) está definida por

\[P_{X}(x)=P(X=x),\]

es decir la probabilidad de que \(X\) tome el valor \(x\).

Dominio de una variable aleatoria discreta

El conjunto \[D_X=\{ x\in\mathbb{R} \mid P_X(x)>0\}\] recibe el nombre de dominio de la v.a. y son los valores posibles de esta variable.

En el caso discreto lo más habitual es que \(X(\Omega)=D_X\).

Propiedades básicas de la función de probabilidad

Sea \(X\) una v.a. discreta \(X:\Omega:\to\mathbb{R}\) con dominio \(D_X\). Su función de probabilidad \(P_{X}\) verifica las siguientes propiedades:

• \(0\leq P_{X}(x)\leq 1\) para todo \(x\in\mathbb{R},\)
• \(\sum\limits_{x\in D_X} P_{X}(x)=1.\)

Distribución de Probabilidad

La función de distribución de probabilidad (acumulada) de la v.a. \(X\) (de cualquier tipo; discreta o continua) \(F_{X}(x)\) representa la probabilidad de que \(X\) tome un menor o igual que \(x\), es decir,

\[F_{X}(x)=P(X\leq x).\]

Esta función también se denomina función de distribución de probabilidad o simplemente función de distribución de una v.a., y en inglés cumulative distribution function por lo que se abrevia con el acrónimo cdf.

Propiedades de la Función de Distribución

Sea \(X\) una v.a. y \(F_{X}\) su función de distribución:

1. \(P(X>x)=1-P(X\leq x)=1-F_{X}(x).\)
2. Sea a y b tales que \(a<b\), \(P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F_{X}(b)-F_{X}(a).\)

Propiedades de la Función de Distribución

Sea \(F_{X}\) la función de distribución de una v.a. \(X\) entonces:

• \(0\leq F_{X}(x)\leq 1\).
• La función \(F_{X}\) es no decreciente.
• La función \(F_{X}\) es continua por la derecha.
• Si denotamos por \(F_X(x_0^{-})=\displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} F(x)\), entonces se cumple que \(P(X< x_0)=F_X(x_0^{-})\) y que \(P(X=x_0)=F_X(x_0)-F_X(x_0^{-})\).

Propiedades de la Función de Distribución

• Se cumple que \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} F_{X}(x)=1\); \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}F_{X}(x)=0\).
• Toda función \(F\) verificando las propiedades anteriores es función de distribución de alguna v.a. \(X\).

En las propiedades anteriores no se pueden cambiar en general las desigualdades de estrictas o no estrictas.

Veamos que propiedades tenemos cuando se cambian estas desigualdades.

Dada una \(F_{X}\) una función de distribución de la v.a. \(X\) y denotamos por \[F_{X}(x_0^{-})=\displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} F_{X}(x),\],

entonces se cumplen las siguientes igualdades…

Propiedades

• \(P(X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})\).
• \(P(a< X< b)=F_{X}(b^{-})-F_{X}(a)\).
• \(P(a\leq X< b)=F_{X}(b^{-})-F_{X}(a^{-})\).
• \(P(X<a)=F_{X}(a^{-})\),
• \(P(a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a^{-})\).
• \(P(X\geq a)=1-F_{X}(a^{-})\).

Más propiedades de la función de distribución

• Si \(F_X\) es continua en \(x\) se tiene que \(P(X=x)=0\). Así que si la v.a. es continua \(P(X\leq a)=P(X< a)+P(X=a)=P(X<a)\) y propiedades similares.
• Sea \(X\) una variable aleatoria discreta que con dominio \(D_X\) y que tiene por función de probabilidad \(P_{X}(x)\) entonces su función de distribución \(F_{X}(x_0)\) es \[F_{X}(x_0)=\sum_{x\leq x_0} P_{X}(x),\] donde \(\sum\limits_{x\leq x_0}\) indica que sumamos todos los \(x \in D_X\) tales que \(x\leq x_0.\)

Propiedad

Sea \(X\) una variable con función de distribución \(F_{X}\) entonces:

• \(0\leq F_{X}(x)\leq 1\) para todo \(x\),
• Si \(x<x'\), entonces \[F_{X}(x)\leq F_{X}(x').\] Es una función creciente,es decir, no necesariamente estrictamente creciente.
• \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}F_{X}(x)=0\) y \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}F_{X}(x)=1.\)
• Es continua por la derecha \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_0)\).

• Al igual que en la estadística descriptiva se utilizan distintas medidas para resumir los valores centrales y para medir la dispersión de una muestra, podemos definir las correspondiente medidas para variables aleatorias.

• A estas medidas se les suele añadir el adjetivo poblacionales mientras que a las que provienen de la muestra se las adjetiva como muestrales.

Por ejemplo podemos buscar un valor que resuma toda la variable. Este valor es el que “esperamos” que se resuma la v.a. o esperamos que las realizaciones de la v.a. queden cerca de él. Demos su definición formal.

Esperanza de una variable aleatoria discreta

El valor esperado o esperanza (expected value en inglés) \(E(X)\) de una v.a. discreta \(X\), se define como

\[ E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} x\cdot P_{X}(x). \]

En ocasiones se denomina media (mean en inglés, mitjana en catalán) poblacional o simplemente media y muy frecuentemente se la denota \(\mu_{X}=E(X)\) o simplemente \(\mu=E(X)\).

Esperanzas de funciones de variables aleatorias discretas

Sea \(X\) una v.a. discreta con función de probabilidad \(P_{X}\) y de distribución \(F_{X}\). Entonces el valor esperado de una función \(g(x)\) es:

\[E(g(X))=\sum_{x}g(x) \cdot P_{X}(x).\]

Propiedades

• \(E(k)=k\) para cualquier constante \(k\).
• Si \(a\leq X\leq b\) entonces \(a\leq E(X)\leq b\).
• Si \(X\) es una v.a. discreta que toma valores enteros no negativos entonces \(E(X)=\sum_{x=0}^{+\infty}(1- F_X(x)).\)

Series geométricas

• Una progresión geométrica de razón \(r\) es una sucesión de la forma
  \[ r^0, r^1,\ldots,r^n,\ldots. \]
• La serie geométrica es la suma de todos los valores de la progresión geométrica \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} r^k\).
• Las sumas parciales desde el término \(n_0\) al \(n\) de una progresión geométrica valen \[ \sum_{k=n_0}^n r^k=\frac{r^{n_0}- r^n r}{1-r}. \]

Propiedades

• Si \(|r|<1\) la serie geométrica es convergente y \[\sum_{k=0}^{+\infty } r^k=\frac1{1-r}\].
• En el caso en que se comience en \(n_0\) se tiene que \[\sum_{k=n_0}^{+\infty} r^k=\frac{r^{n_0}}{1-r}.\]

Propiedades

• Si \(|r|<1\) también son convergentes las derivadas, respecto de \(r\), de la serie geométrica y convergen a la derivada correspondiente. Así tenemos que

\[ \begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{+\infty} r^k\right)'= & \sum_{k=1}^{+\infty}k r^{k-1}; \qquad \left(\frac1{1-r}\right)'=\frac1{(1-r)^2}\\ \left(\sum_{k=0}^{+\infty} r^k\right)^{''}=&\sum_{k=2}^{+\infty}k (k-1) r^{k-2} ;\qquad \left(\frac1{1-r}\right)^{''}=\frac2{(1-r)^3} \end{eqnarray*}. \]

Momentos de orden \(m\)

Llamaremos momento de orden \(m\) respecto al punto \(C\) a \[E\left((X-C)^m\right).\]

• Cuando \(C=0\) los momentos reciben el nombre de momentos respecto al origen.
• Cuando \(C=E(X)\) reciben el nombre de momentos centrales o respecto de la media. Luego la esperanza es el momento de orden \(1\) respecto al origen. Estos momentos son la versión poblacional de los momentos que vimos en el curso de estadística descriptiva, recibiendo estos último el nombre de momentos muestrales.

• Hemos descrito el comportamiento aleatorio de una v.a. discreta mediante sus funciones de probabilidad \(P_{X}\) y de distribución \(F_{X}\).
• También tenemos un valor central; el valor esperado \(E(X)\).
• Como medida básica nos queda definir una medida de lo lejos que están los datos del valor central \(E(X)\) una de estas medidas es la varianza de \(X\).

Varianza

Sea \(X\) una v.a. Llamaremos varianza de \(X\) a

\[Var(X)=E((X-E(X))^2).\]

Por lo tanto, la varianza es el momento central de orden \(2\).

De forma frecuente se utiliza la notación \[\sigma_{X}^2=Var(X).\]

A la raíz cuadrada positiva de la varianza \[\sigma_{X}=+\sqrt{Var(X)}.\]

se la denomina desviación típica o estándar de \(X\).

Propiedad

• Si \(X\) es una v.a. discreta con función de probabilidad \(P_X\) su varianza es \[\sigma_{X}^2=Var(X)=E((X-E(X))^2)=\sum_{x}(x-E(X))^2\cdot P_{X}(x).\]
• Sea \(X\) una v.a. \[Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\sum_{x} x^2\cdot P_{X}(X)-(E(X))^2\]

Propiedades de la varianza

• \(Var(X)\geq 0\).
• \(Var(cte)=E(cte^2)-(E(cte))^2= cte^2 - cte^2=0\).
• El mínimo de \(E((X-C)^2)\) se alcanza cuando \(C=E(X)\) y es \(Var(X)\). Esta propiedad es una de las que hace útil a la varianza como medida de dispersión.

Transformación lineal

Un cambio de variable lineal o transformación lineal de una v.a. \(X\) es otra v.a. \(Y= a+ b\cdot X\) donde \(a,b\in\mathbb{R}\).

Esperanza de una transformación lineal

Sea \(X\) una v.a. con \(E(X)=\mu_{X}\) y \(Var(X)=\sigma_{X}^2\) y \(a,b\in\mathbb{R}\). Entonces si \(Y=a+b\cdot X\):

• \(E(Y)=E(a + b X)=a+ b E(X)= a + b \cdot \mu_{X}\).
• \(Var(Y)=Var(a+bX)=b^2 Var(X)= b^2\cdot \sigma_{X}^2\)-
• \(\sigma_{Y}=\sqrt{Var(Y)}=\sqrt{b^2 Var(X)}=|b| \cdot \sigma_{X}\)-

• Como ya hemos dicho las variables aleatorias continuas toman valores en intervalos o áreas.
• Lo más habitual es que estas variables tengan función de distribución continua y derivable (salvo a los más en una cantidad finita o numerable de puntos:-)).
• En lo que sigue supondremos que la función de distribución de variables aleatorias continuas cumplen estas propiedades.
• Notemos que si \(X\) es una v.a. con función de distribución continua se tiene que \(P(X=x_0)=F_X(x_0)-F(x_0^{-})=0\). Por lo que no tiene sentido definir función de probabilidad.

• En general tendremos que \(P(X<x_0)=P(X\leq x_0)\).
• Por otra parte podemos utilizar una regla parecida del cociente entre casos favorables y casos posibles de Laplace pero en este caso el conteo se hace por la medida de los casos posibles partida por la medida de los casos favorables.
• Veamos un ejemplo de v.a. continua, que ampliaremos en el tema siguiente, en el que se utilizan todos estos conceptos.

En las variables continuas los sucesos del tipo \(\{X\leq x \}\) y \(\{X< x \}\) tendrán la misma probabilidad, y otros tipos de sucesos similares también, algunas de estas propiedades se explicitan en la siguiente proposición.

Propiedades

Dada una v.a. continua \(X\) se tiene que:

• \(P(X\leq b)=P(X<b)\).
• \(P(X<b)=P(X<a)+P(a<X<b)\).
• \(P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a)\).

Las propiedades anteriores y combinaciones de ellas se pueden escribir utilizando la función de distribución de \(X\):

Propiedades de la Función de Distribución

Dada una variable aleatoria continua se tiene que:

• \(F_{X}(b)=F_{X}(a)+P(a<X<b)\).
• \(P(a<X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)\).
• \(P(a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)\).

Función de densidad

Una función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) es una función de densidad sobre \(\mathbb{R}\) si cumple que

• \(f_{X}(x)\geq 0\) para todo \(x \in\mathbb{R}.\)
• \(f\) es continua salvo a lo más en una cantidad finita de puntos sobre cada intervalo acotado de \(\mathbb{R}\).
• \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx=1.\)

Función de distribución de una variable aleatoria

Sea \(X\) una v.a. con función de distribución \(F_X\). Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) una función de densidad tal que

\[F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt.\mbox{ para todo } x\in\mathbb{R},\]

Entonces \(X\) es una variable aleatoria continua y \(f_X\) es la densidad de la v.a. \(X\).

El conjunto \(D_X=\{x\in\mathbb{R}| f_x(x)>0\}\) recibe el nombre de soporte o dominio de la variable aleatoria continua y se interpreta como su conjunto de resultados posibles.

La función de densidad nos permite calcular diversas probabilidades.

Propiedades de la función de densidad

• Sea \(X\) una v.a. continua con función de distribución \(F_X\) y de densidad \(f_X\), entonces \[\begin{eqnarray*} P(a< X< b) &=& P(a<X\leq b)= P(a\leq X< b)=\\ & & P(a\leq X\leq b)= \displaystyle\int_{a}^b f_X(x) dx. \end{eqnarray*} \]
• Si \(A\) es un subconjunto adecuado de \(\mathbb{R}\) entonces \[P(X\in A)=\displaystyle\int_{A} f(x) dx=\displaystyle\int_{A\cap D_X} f(x) dx. \]

Propiedades de la función de densidad

Sea \(X\) una v.a. continua con función de distribución \(F_X\) y de densidad \(f_X\), entonces:

• Si \(f_x\) es continua en un punto \(x\), \(F_X\) es derivable en ese punto y \(F_X'(x)=f_X(x).\)
• \(P(X=x)=0\) para todo \(x\in\mathbb{R}.\)

Su función de densidad por su lado es: \[ f_{X}(x)=F_{X}'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x\leq 0\\ \frac12 & \mbox{si } 0<x\leq 2\\ 0 & \mbox{si } 2\leq x \end{array}\right. \]

Efectivamente

• \(f_{X}(x)\geq 0,\) y tiene un conjunto finito de discontinuidades: en \(0\) y en \(2\)
• \(F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f_X(t) dt,\) para todo \(x\in \mathbb{R}\) (Ejercicio: resolverlo gráficamente.)
• \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)dx= \int_0^2\frac12dx=\left[\frac{x}2\right]_0^2 =\frac22-\frac02=1.\)

Los mismos comentarios y definiciones que se dieron en la sección correspondiente del tema de estadística descriptiva son aplicables aquí.

Así que sólo daremos las definiciones, la forma de cálculo y algunos ejemplos.

En lo que sigue, salvo que diagamos lo contrario, \(X\) es una v.a. continua con función de densidad \(f_{X}(x)\)

Esperanza v.a. continuas

• Su esperanza es: \[E(X)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_{X}(x)dx.\]
• Si \(g(x)\) es una función de la variable \(X\) entonces: \[E(g(X))=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x)dx.\]

Varianza v.a. continuas

• Su varianza es: \[ Var(X)=\sigma_{X}^2=E((X-\mu_{X})^2)= \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu_{X})^2 \cdot f_{X}(x)dx. \]
• Su desviación típica es: \[\sigma_{X}=+\sqrt{\sigma_{X}^2}.\]

Propiedades

• \(\sigma_{X}^2\geq 0\).
• \(Var(cte)=E(cte^2)-(E(cte))^2= cte^2 - cte^2=0\).
• \(\displaystyle Var(x)=E(X^2)-\mu_{X}^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\cdot f_{X}(x)dx - \mu_{X}^2.\)
• El mínimo de \(E((X-C)^2)\) se alcanza cuando \(C=E(X)\) y es \(Var(X)\).

Proposición

Sea \(X\) una v.a. continua con \(E(X)=\mu_{X}\) y \(Var(X)=\sigma_{X}^2\) sea \(Y=a+b X\), donde \(a,b\in\mathbb{R}\), es una nueva v.a. continua obtenida mediante una transformación lineal de \(X\). Se verifican las mismas propiedades que en el caso discreto:

• \(E(Y)=E(a+b\cdot X)=a+b\cdot E(X)\).
• \(Var(Y)=Var(a+b\cdot X)=b^2 \cdot Var(X)\).
• \(\sigma_{Y}=|b|\cdot \sigma_{X}\).
• \(Z=\frac{X-\mu_{X}}{\sigma_{X}}\) es una transformación lineal de \(X\) de forma que \[E(Z)=0 \mbox{ y } Var(Z)=1\]

Muchas variables aleatorias son funciones de otras v.a. En lo que sigue resumiremos diversas técnicas para dada una v.a. \(X\) y una transformación \(Y=h(X)\) encontrar \(F_{Y}\) a partir de \(F_{X}\).

Transformaciones de v.a. discretas

Sea \(X\) una v.a. discreta con \(X(\Omega)=\{x_1,x_2,\ldots,x_{n},..\}\) y sea \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) una aplicación. Entonces \(Y=h(X)\) es también una v.a. discreta. Además si \(P_X\) y \(F_{X}\) son las funciones de probabilidad y de distribución de \(X\) entonces

• \(\displaystyle P_{Y}(y)=\sum_{x_{i}|h(x_{i})=y}P_X(x_{i}).\)
• \(\displaystyle F_{Y}(y)=\sum_{x_{i}|h(x_{i})\leq y} P_X(x_{i}).\)

Desafortunadamente para variables no discretas el resultado no es tan sencillo como el anterior, pues la transformación de, por ejemplo, una v.a. continua puede ser continua, discreta, mixta,\(\ldots\)

Transformación de v.a. continuas en continuas

Sea \(X\) una v.a. continua cuya función de densidad es \(f_{X}\). Sea \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), una aplicación estrictamente monótona y derivable, por lo tanto \(h'(x)\not=0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\). Sea \(Y=h(X)\) la transformación de \(X\) por \(h\). Entonces \(Y\) es una v.a. continua con función de densidad

\[f_{Y}(y)=\left.\frac{f_{X}(x)} {\left|h'(x)\right|}\right|_{x=h^{-1}(y)}\]

Densidad de una transformación de una v.a. continua

Sea \(X\) una v.a. continua cuya función de densidad es \(f_{X}\). Sea \[h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\] una aplicación, no necesariamente monótona tal que :

• sea derivable con derivada no nula
• la ecuación \(h(x)=y\) tiene un número finito de soluciones \(x_1,x_2,..,x_{n}\)

entonces:

\[ \displaystyle f_{Y}(y)=\left.\sum_{k=1}^{n} \frac{f_{X}(x)} {\left|h'(x)\right|}\right|_{x=x_{k}}. \]

Cuando no podamos aplicar las propiedades anteriores intentaremos calcular primero la función de distribución de la transformación y luego su densidad.

Notemos que en general si \(Y=g(X)\) es una v.a. transformación de la v.a. \(X\) entonces

\[ F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y). \]

Por ejemplo, si \(g\) es estrictamente creciente y continua,

\[ F_{Y}(y)=P(g(X)\leq y)=P(X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y)), \]

y si \(g\) es estrictamente decreciente y continua, \[ F_{Y}(y)=P(g(X)\leq y)=P(X\geq g^{-1}(y))=1-F_{X}(g^{-1}(y)). \]

• En esta sección distintas desigualdades que acotan determinadas probabilidades de una variable aleatoria.
• Estas desigualdades sirven en algunos casos para acotar probabilidades de determinados sucesos.
• También son útiles desde el punto de vista teórico, por ejemplo para justificar que la varianza es una medida de la dispersión de los datos.

Desigualdad de Markov

Sea \(X\) una v.a. positiva con \(E(X)\) finita. Entonces

\[P(X\geq a)\leq \frac{E(X)}{a}\mbox{ para todo }a>0.\]

Corolario

Sea \(X\) una v.a. con \(E(X)\) finita entonces para todo \(a>0\)

La desigualdad de Chebychev también se denomina de Chebyshov y en inglés Chebyshev.

Desigualdad de Chebychev

Sea \(X\) una v.a.con \(E(X)=\mu\) y \(Var(X)=\sigma^2\) entonces para todo \(a>0\),

\[P(|X-\mu|\geq a)\leq \frac{\sigma^2}{a^2}.\]

Supongamos que \(X\) es una v.a. con \(Var(X)=0\), entonces, aplicando la desigualdad anterior

\[P(|X-E(X)|\geq a )=0\mbox{ para todo }a>0,\]

lo que implica que

\[P(X=E(X))=1,\]

Por lo que la probabilidad de que \(X\) sea constantemente \(E(X)\) es 1, hecho que nos confirma la utilidad de la varianza como una medida de la dispersión de los datos.

Si substituimos \(a\) por \(a\cdot \sigma\) en la desigualdad de Chebychev, nos queda:

\[ P(|X-\mu|\geq a\cdot \sigma)\leq \frac{\sigma^2}{(a\cdot \sigma)^2}=\frac1{a^2}, \]

que es otra manera de expresar la desigualdad de Chebychev.

La desigualdad de Chebychev también se puede escribir de al menos dos maneras más:

\[ P(\mu-a\leq X\leq \mu+a)\geq 1-\frac{\sigma^2}{a^2}, \]

y tomado como \(a=k\cdot \sigma\),

\[ P(\mu-k\cdot \sigma\leq X\leq \mu+ k \cdot \sigma)\geq 1-\frac1{k^2}. \]

Tomando la segunda expresión que hemos visto para la desigualdad de Chebychev para distintos valores de \(k>0\) obtenemos la siguiente tabla:

• Por ejemplo para \(k=2\), esta desigualdad se puede interpretar como que, dada una v.a. \(X\) con cualquier distribución que tenga \(E(X)\) y \(Var(X)\) finitos, la probabilidad de que un valor se aleje de la media \(\mu\) más de \(a=2\) desviaciones típicas es menor o igual que \(0.25\).

• Es decir sólo el 25% de los valores estarán alejados de la media más de \(2\cdot \sigma\)

¡Sea cual sea la distribución de la v.a.!