Para aprender cálculo de probabilidades son necesarios conocimientos de:
Por experiencia sabemos que la mayoría de estudiantes tienen más conocimientos de cálculo, geometría y matrices.
Pero muchos tienen una falta de conocimientos en teoría básica de conjuntos y combinatoria (matemática discreta).
La definición de conjunto es una idea o noción primitiva. Es decir es una idea básica del pensamiento humano: un conjunto es una colección de objetos: números, imágenes… cualquier cosa, jugadores de fútbol, palabras, colores ….
La teoría de conjuntos básicas es simple y natural y es la que necesitamos para este curso.
La teoría de conjuntos matemática es más compleja y presenta varias paradojas como la paradoja de Russell.
La idea o noción práctica de conjunto es la de una colección de objetos de un cierto tipo.
Estas colecciones o conjuntos se pueden definir por:
Los conjuntos suelen tener un conjunto madre como por ejemplo
Recordemos que \(i\) es la unidad imaginaria que cumple que \(i=\sqrt{-1}\).
Tomemos como conjunto base \(\Omega=\{1,2,3\}\)
Dado un conjunto \(\Omega\) podemos construir el conjunto de todas sus partes (todos sus subconjuntos) al que denotamos por \(\mathcal{P}(\Omega)\). También se denomina de forma directa partes de \(\Omega\).
El cardinal de la partes de un conjunto es \(\#(\mathcal{P}(\Omega))=2^{\#(\Omega)}.\)
Por ejemplo \(\#\left(\mathcal{P}(\{1,2,3\})\right)=2^{\#(\{1,2,3\})}=2^3=8.\)
Efectivamente
\[\mathcal{P}(\{1,2,3\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.\]
Dado un subconjunto \(A\) de \(\Omega\) podemos construir la función característica de \(A\) \[\chi_A:\Omega \to \{0,1\}\]
dado un \(\omega\in \Omega\)
\[ \chi_A(\omega)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si }\omega \in A\\ 0 & \mbox{si }\omega \not\in A \end{array} \right. \]
Sea \(\Omega\) un conjunto y \(A\) y \(B\) dos subconjuntos de \(\Omega\).
El conjunto intersección de \(A\) y \(B\) es el formado por todos los elementos que perteneces a \(A\) Y \(B\), se denota por \(A\cap B\).
Más formalmente
\[ A\cap B=\left\{x\in\Omega \big| x\in A \mbox{ y } x\in B\right\}. \]
El conjunto unión de \(A\) y \(B\) es el formado por todos los elementos que perteneces a \(A\) O pertenecen a \(B\), se denota por \(A\cup B\).
Más formalmente
\[ A\cup B=\left\{x\in\Omega \big| x\in A \mbox{ o } x\in B\right\}. \]
El conjunto diferencia de \(A\) y \(B\) es el formado por todos los elementos que perteneces a \(A\) Y NO pertenecen a \(B\), se denota por \(A-B=A-(A\cap B)\).
Más formalmente
\[ A- B=\left\{x\in\Omega \big| x\in A \mbox{ y } x\notin B\right\}. \]
El complementario de un subconjunto \(A\) de \(\Omega\) es \(\Omega-A\) y se denota por \(A^c\) o \(\overline{A}\).
Más formalmente
\[ A^c=\left\{x\in\Omega \big| x\not\in A\right\}. \]
Sea \(\Omega\) un conjunto y \(A\), \(B\), \(C\) tres subconjuntos de \(\Omega\)
Con R los conjuntos de pueden definir como vectores
Omega=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A=c(1,2,3,4,5) B=c(1,4,5) C=c(4,6,7,8) Omega
## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
## [1] 1 2 3 4 5
B
## [1] 1 4 5
C
## [1] 4 6 7 8
\(A\cap B\)
A
## [1] 1 2 3 4 5
B
## [1] 1 4 5
intersect(A,B)
## [1] 1 4 5
\(A\cup B\)
A
## [1] 1 2 3 4 5
B
## [1] 1 4 5
union(A,B)
## [1] 1 2 3 4 5
\(B-C\)
B
## [1] 1 4 5
C
## [1] 4 6 7 8
setdiff(B,C)
## [1] 1 5
\(A^c=\Omega-A\)
Omega
## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
## [1] 1 2 3 4 5
setdiff(Omega,A)
## [1] 6 7 8 9 10
Omega=set([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]) A=set([1,2,3,4,5]) B=set([1,4,5]) C=set([4,6,7,8]) Omega
## {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A
## {1, 2, 3, 4, 5}
B
## {1, 4, 5}
C
## {8, 4, 6, 7}
A & B # intersección (&: and/y)
## {1, 4, 5}
A | B # unión (|: or/o)
## {1, 2, 3, 4, 5}
A - C # diferencia
## {1, 2, 3, 5}
Omega-C # complementario.
## {1, 2, 3, 5, 9, 10}
La combinatoria es una rama de la matemática discreta que entre otras cosas cuenta distintas configuraciones de objetos de un conjunto.
Por ejemplo si tenemos un equipo de baloncesto con 7 jugadores ¿cuántos equipos de 5 jugadores distintos podemos formar?
Número combinatorio o número binomial
Nos da el número de subconjuntos de tamaño \(k\) de un conjunto de tamaño \(n\). Este número es
\[ C_n^k={n\choose k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \]
Recordemos que \[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n. \]
En nuestro caso con 7 jugadores \(n=7\) el número de equipos distintos de \(k=5\) es
\[ \begin{array}{rl} C_7^5&={7\choose 5} = \frac{7!}{5!\cdot (7-5)!}=\frac{7!}{5!\cdot 2!} \\ &=\frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 1\cdot 2}=\frac{6\cdot 7}{2}=\frac{42}{2}=21. \end{array} \]
Puedo formar 21 equipos distintos.
Ejercicio
Carga el paquete gtools de R y investiga la función combinations(n, r, v, set, repeats.allowed) para calcular todas las combinaciones anteriores.
En combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.
El número \(CR_n^k\) de multiconjuntos con \(k\) elementos escogidos de un conjunto con \(n\) elementos satisface:
\[CR_n^k = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}.\]
Ejemplo
Vamos a imaginar que vamos a repartir 12 caramelos entre Antonio, Beatriz, Carlos y Dionisio (que representaremos como A, B, C, D). Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 4 caramelos a Antonio, 3 a Beatriz, 2 a Carlos y 3 a Dionisio. Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como AAAABBBCCDDD.
Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Antonio, ninguno a Beatriz y Carlos, los 11 restantes se los damos a Dionisio. Esta repartición la representamos como ADDDDDDDDDDD
Recíprocamente, cualquier serie de 12 letras A, B, C, D se corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie AAAABBBBBDDD corresponde a: Dar 4 caramelos a Antonio, 5 caramelos a Beatriz, ninguno a Carlos y 3 a Dionisio.
De esta forma, el número de formas de repartir los caramelos es:
\[CR_{4}^{12} = \binom{4+12-1}{4}\]
Variaciones
Con los número \(\{1,2,3\}\) ¿cuántos números de dos cifras distintas podemos formar sin repetir ninguna cifra?
La podemos escribir
\[12,13,21,23,31,32\]
Luego hay seis casos
Denotaremos las variaciones (sin repetición) de \(k\) elementos (de orden \(k\)) de un conjunto de \(n\) elementos por \(V_n^k\) su valor es
\[ V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdots n. \]
En nuestro ejemplo con \(n=3\) dígitos podemos escribir las siguientes variaciones de orden \(k=2\)
\[ V^{k=2}_{n=3}=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{1}=6. \]
Ejercicio
Carga el paquete gtools de R y investiga la función permutations(n, r, v, set, repeats.allowed) para calcular todas las variaciones anteriores.
Variaciones con repetición
¿Y repitiendo algún dígito?
\[VR_n^k=n^k\]
Efectivamente en nuestro caso
\[11,12,13,21,22,23,31,32,33\]
\[ VR^{k=2}_{n=3}=n^k. \]
Las permutaciones de un conjunto de cardinal \(n\) son todas las variaciones de orden máximo \(n\). Las denotamos y valen:
\[ P_n=V_n^n=n! \]
Por ejemplo todos los números que se pueden escribir ordenando todos los dígitos \(\{1,2,3\}\) sin repetir ninguno
library(combinat) for(permutacion in permn(3)) print(permutacion)
## [1] 1 2 3 ## [1] 1 3 2 ## [1] 3 1 2 ## [1] 3 2 1 ## [1] 2 3 1 ## [1] 2 1 3
Efectivamente \[ P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3. \]
Ejercicio
Carga el paquete combinat de R e investiga la funcion permn para calcular todas las permutaciones anteriores.
Ejercicio
Investiga el paquete itertools y la función comb de scipy.misc de Python e investiga sus funciones para todas las formas de contar que hemos visto en este tema.
Ejercicio
La función gamma de Euler, cobrará mucha importancia en el curso de estadística. Comprueba que la función gamma(x+1) da el mismo valor que la función factorial(x) en R para todo \(x = \{1,2,3\cdots,10\}\).
Consideremos un conjunto de elementos \(\{a_1, a_2, \ldots, a_k\}\).
Entoces, si cada uno de los objetos \(a_i\) de un conjunto, aparece repetido \(n_i\) veces para cada \(i\) desde 1 hasta \(k\), entonces el número de permutaciones con elementos repetidos es:
\[PR_n^{n_1,n_2,\ldots,n_k} = {{n}\choose {n_1\quad n_2 \quad\ldots \quad n_k}}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot \ldots \cdot n_k!},\] donde \(n=n_1+n_2+\cdots+n_k\).
Ejemplo
¿Cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra PROBABILIDAD?
El conjunto de letras de la palabra considerada es el siguiente: \(\{A, B, D, I, L, O, P, R\}\) con las repeticiones siguientes: las letras A, B, D, e I, aparecen 2 veces cada una; y las letras L, O, P, R una vez cada una de ellas.
Por tanto, utilizando la fórmula anterior, tenemos que el número de palabras (permutaciones con elementos repetidos) que podemos formar es
\[PR^{2,2,2,2,1,1,1,1}_{12} = \frac{12!}{(2!)^4(1!)^4} = 29937600.\]
El principio de la suma
Sean \(A_1, A_2,\ldots, A_n\) conjuntos disjuntos dos a dos, es decir \(A_i\cap A_j=\emptyset\) para todo \(i\not= j\), \(i,j=1,2,\ldots n\). Entonces
\[\#(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n \#(A_i).\]
Principio de unión exclusión
Consideremos dos conjuntos cualesquiera \(A_1, A_2\) entonces el cardinal de su unión es
\[\#(A_1\cup A_2)=\#(A_1)+\#(A_2)-\#(A_1\cap A_2).\]
El principio del producto
Sean \(A_1,A_2,\ldots A_n\)
\[ \begin{array}{ll} \#(A_1\times A_2\times \cdots A_n)=&\#\left(\{(a_1,a_2,\ldots a_n)| a_i\in A_i, i=1,2,\ldots n\}\right)\\ &=\prod_{i=1}^n \#(A_i). \end{array} \]
Evidentemente nos hemos dejado muchas otras propiedades básicas de teoría de conjuntos y de combinatoria como:
Si nos son necesarias las volveremos a repetir a lo largo del curso o bien daremos enlaces para que las podáis estudiar en paralelo.
Nota
Puedes repasar todos esos conceptos con ejercicios y más en el Curso de estadística descriptiva con R y Python con M. Santos y J.G. Gomila.