Una de las aplicaciones más usadas del test de bondad de ajuste es contrastar si dos maneras de clasificar \(n\) objetos son independientes o no.

Veamos un ejemplo ilustrativo:

La situación en general sería la siguiente:

Tenemos \(n\) individuos y los clasificamos según dos criterios: \(X\) e \(Y\). Sean \(x_1,\ldots, x_I\) los distintos niveles del criterio \(X\) e \(y_1,\ldots, y_J\), los distintos niveles del criterio \(Y\).

En el ejemplo anterior \(I=J=2\), \(X\) sería el criterio de clasificación por vacunación con \(x_1:\)“vacunados” y \(x_2:\)“no vacunados” e \(Y\) sería el criterio de clasificación por contracción de la hepatitis con \(y_1:\)“enfermo de hepatitis” e \(y_2:\)“no enfermo de hepatitis”.

Definimos \(n_{ij}\) como el número de individuos clasificados en el nivel \(x_i\) según el criterio \(X\) y clasificados en el nivel \(y_j\) según el criterio \(Y\). A partir de dichos valores construimos la denominada tabla de contingencia:

En la tabla anterior, \(n_{i\bullet}\) sería el número total de individuos clasificados en el nivel \(x_i\) según el criterio \(X\) y \(n_{\bullet j}\), el número total de individuos clasificados en el nivel \(y_j\) según el criterio \(Y\).

El contraste que nos planteamos es el siguiente: \[ \left. \begin{array}{ll} H_0: \mbox{ Los criterios de clasificación $X$ e $Y$ son independientes,}\\ H_1: \mbox{ Los criterios de clasificación $X$ y $Y$ no son independientes.} \end{array} \right\} \] Para poder realizar el contraste anterior, lo plantearemos como un contraste de bondad de ajuste.

Para poder modelar el contraste de independencia como un contraste de bondad de ajuste, en primer lugar necesitamos definir una variable “modelo”.

A partir de nuestros datos empíricos, contrastaremos si dichos datos siguen la variable “modelo” usando el test de la \(\chi^2\) de bondad de ajuste.

Nuestra variable “modelo” será una variable aleatoria discreta bidimensional \((X,Y)\) con dominio \(\{(x_1,y_1),\ldots,(x_I,y_J)\}\), o, si se quiere \(\{(x_i,y_j)\ |\ i=1,\ldots, I, \ j=1,\ldots,J\}\). Sería una variable con \(I\cdot J\) valores.

Para calcular la función de probabilidad de la variable \((X,Y)\), hay que suponer que la hipótesis nula \(H_0\) es cierta o que los criterios \(X\) e \(Y\) son independientes. Por tanto: \[ P((X,Y)=(x_i,y_j))=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)=\frac{n_{i\bullet}}{n}\cdot \frac{n_{\bullet j}}{n}=\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n^2}, \] \(i=1,\ldots, I\), \(j=1,\ldots,J\).

Los valores \(n_{ij}\) serían los valores empíricos con los que hay que contrastar si siguen la distribución de la variable \((X,Y)\).

Una vez planteado el contraste de independencia como una contraste de bondad de ajuste, recordemos que el test \(\chi^2\) asociado al contraste es: \[ \chi^2=\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{\left( n_{ij}-n\cdot P((X,Y)=(x_i,y_j))\right)^2 }{n\cdot P((X,Y)=(x_i,y_j))} =\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{\left( n_{ij}-\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\right)^2 }{\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}}, \] donde las frecuencias \(n_{ij}\) serían las frecuencias observadas y las frecuencias \(\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\) serían las frecuencias esperadas.

Recordemos que si \(n\) es grande y cada frecuencia esperada \(\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\) es \(\geq 5\), este estadístico sigue aproximadamente una ley \(\chi^2\) con \((I-1) \cdot (J -1)\) grados de libertad.

Observación.

¿Por qué los grados de libertad del estadístico de contraste son \((I-1)\cdot (J-1)\)?

La razón es la siguiente: recordemos que al realizar un test de bondad de ajuste, los grados de libertad del estadístico \(\chi^2\) era: \(g.l.=\mbox{número de clases}-\mbox{número de parámetros estimados}-1.\)

Fijémonos que en el contraste de independencia hemos estimado \(I+J-2\) parámetros que corresponden a las medias de las variables \(X\) e \(Y\): \(\frac{n_{i\bullet}}{n}\) y \(\frac{n_{\bullet j}}{n}\), \(i=1,\ldots, I\), \(j=1,\ldots,J\).

En nuestro caso, nos queda: \[ g.l. =I\cdot J-(I+J-2)-1=(I-1)\cdot (J-1). \]

Como siempre, sea \(\chi_0\) el valor que toma el estadístico de contraste. El p-valor del contraste es: \[ p=P(\chi_{(I-1) \cdot (J -1)}^2\geq \chi_0), \] con el significado usual:

• si \(p<0.05\), concluimos que tenemos evidencias suficientes para rechazar la independencia de los criterios,
• si \(p>0.1\), concluimos que no tenemos evidencias suficientes para rechazar la independencia de los criterios y,
• si \(0.05\leq p\leq 0.1\), estamos en la zona de penumbra. Necesitamos más datos para tomar una decisión clara.

Para realizar un contraste de independencia en R hay que usar la función chisq.test(tabla.contingencia,correct) con los parámetros siguientes:

• tabla.contingencia: es la tabla de las frecuencias empíricas.
• correct: es un parámetro lógico. Si su valor es FALSE, hará los cálculos como hemos explicado. Si su valor es TRUE, aplica la corrección a la continuidad sólo para tablas de contingencia \(2\times 2\). (Ver https://es.wikipedia.org/wiki/Correcci%C3%B3n_de_Yates)

Si algunas frecuencias absolutas esperadas son inferiores a 5, la aproximación del p-valor por una distribución \(\chi^2\) podría no ser adecuada.

Si se da esta situación, lo mejor es recurrir a simular el p-valor usando el parámetro simulate.p.value=TRUE.

Veamos un ejemplo en el que se da esta situación:

En un contraste de independencia se toma una muestra transversal de la población, es decir, se selecciona al azar una cierta cantidad de individuos de la población, se observan las dos variables sobre cada uno de ellos, y se contrasta si las probabilidades conjuntas son iguales al producto de las probabilidades marginales de cada variable.

En el ejemplo de la vacuna y la hepatitis, seleccionamos una muestra de 1083 individuos de toda la población, y los clasificamos en 4 subgrupos: los que han sido vacunados y han contraído la enfermedad (ha habido 11), los que no han sido vacunados y han contraído la enfermedad (ha habido 70), los que han sido vacunados y no han contraído la enfermedad (ha habido 538) y, por último, los que no han sido vacunados y no han contraído la enfermedad (ha habido 534).

En un contraste de homogeneidad, tenemos dos variables discretas \(X\) e \(Y\) y nos planteamos si la distribución de la variable \(Y\) depende de los valores de la variable \(X\).

El contraste planteado es el siguiente: \[ \left. \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ La distribución de la variable condicional $Y|X=x$} \\ & \mbox{es la misma para cualquier valor de $x$ del dominio de la variable $X$,}\\ H_1: & \mbox{ La distribución de la variable condicional $Y|X=x$} \\ & \mbox{no es la misma para cualquier valor de $x$.} \end{array} \right\} \]

Para realizar un contraste de homogeneidad, tenemos al igual que en el contraste de independencia \(n\) individuos clasificados según la variables \(X\) e \(Y\).

Recordemos que \(x_1,\ldots, x_I\) los distintos valores de la variable \(X\) e \(y_1,\ldots, y_J\), los distintos valores de la variable \(Y\).

Recordemos también que \(n_{ij}\) es el número de individuos clasificados en valor \(x_i\) según la variable \(X\) y clasificados en el valor \(y_j\) según la variable \(Y\). A partir de dichos valores construimos lo que hemos definido como la tabla de contingencia:

En la tabla anterior, \(n_{i\bullet}\) sería el número total de individuos clasificados en el nivel \(x_i\) según el criterio \(X\) y \(n_{\bullet j}\), el número total de individuos clasificados en el nivel \(y_j\) según el criterio \(Y\).

Para poder modelar el contraste de homogeneidad como un contraste de bondad de ajuste, en primer lugar necesitamos definir una variable “modelo”.

La fila \(i\)-ésima de la tabla de contingencia anterior representa la tabla de frecuencias empíricas de la variable \(Y|X=x_i\):

Si la hipótesis nula es cierta, o, si la distribución de la variable condicionada \(Y|X=x_i\) es la misma para cualquier \(x_i\), significa que la distribución de cada fila “coincidirá” con la distribución de la última fila de la tabla de contingencia:

Dicha variable será nuestra variable “modelo”. Nuestro problema será, pues, chequear si la distribución de las frecuencias empíricas (fila \(i\)-ésima de la tabla de contingencia) coincide con la distribución de las frecuencias teóricas (última fila de la tabla de contingencia). ¿Pero cómo podemos compararlas si, en principio tendrán tamaño diferente?

Antes de poder aplicar toda la maquinaría del contraste \(\chi^2\) de bondad de ajuste, necesitamos que la suma de las frecuencias empíricas coincida con la suma de las frecuencias teóricas.

La suma de las frecuencias empíricas vale \(n_{i\bullet}\) y la suma de las frecuencias teóricas, \(n\).

Para “forzar” que las dos sumas sean iguales, multiplicaremos las frecuencias teóricas por \(\frac{n_{i\cdot}}{n}\). Así, la tabla de frecuencias teóricas quedará:

Si aplicamos el test \(\chi^2\) de bondad de ajuste, tenemos que el estadístico de contraste será: \[ \chi^2_i = \sum_{j=1}^{J} \frac{(\mbox{frec. empíricas}-\mbox{frec. teóricas})^2}{\mbox{frec. teóricas}} =\sum_{j=1}^{J} \frac{\left(n_{ij}-\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet j}}{n}\right)^2}{\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet J}}{n}}. \] Ahora bien, tenemos en total \(i\) filas. Por tanto, tenemos que sumar el estadístico anterior para todas las filas: \[ \chi^2 =\sum_{i=1}^I\chi^2_i =\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{J} \frac{\left(n_{ij}-\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet j}}{n}\right)^2}{\frac{n_{i\bullet} n_{\bullet J}}{n}}. \]

Observemos que nos queda la misma expresión que el estadístico de contraste que en el contraste de independencia.

Por tanto, desde el punto de vista de cómputo o de cálculo, realizar un contraste de independencia o de homogeneidad sería lo mismo.

Ahora bien, desde el punto de vista de diseño de experimentos, no.

Recordemos que en un contraste de independencia se toma una muestra transversal de la población. En cambio, en un contraste de homogeneidad se escoge una de las variables (para todo el estudio realizado, sería la variable \(X\)) y para cada uno de sus posibles valores se toma una muestra aleatoria, de tamaño prefijado, de individuos con ese valor para esa variable; su unión forma una muestra estratificada en el sentido que hemos visto en la sección de Muestreo.

• table calcula tablas de contingencia de frecuencias absolutas.

• prop.table calcula tablas de contingencia de frecuencias relativas.

• addmargins sirve para añadir a una table una fila o una columna obtenidas aplicando una función a todas las columnas o a todas las filas de la tabla, respectivamente. Sus parámetros principales son:

  • margin: igualado a 1, se aplica la función por columnas, añadiendo una nueva fila; igualado a 2, se aplica la función por filas, añadiendo una nueva columna; igualado a c(1,2), que es su valor por defecto, hace ambas cosas.

  • FUN: la función que se aplica a las filas o columnas; su valor por defecto es sum.

• colSums calcula un vector con las sumas de las columnas de una matriz o una tabla.

• rowSums calcula un vector con las sumas de las filas de una matriz o una tabla.

• chisq.test sirve para realizar tests \(\chi^2\) de independencia y homogeneidad. El resultado es una list formada, entre otros, por los objetos siguientes: statistic (el valor del estadístico \(X^2\)), parameter (los grados de libertad) y p.value (el p-valor). Sus parámetros principales en el contexto de esta lección son:

  • simulate.p.value: igualado a TRUE, calcula el p-valor mediante simulaciones.
  • B: en este último caso, permite especificar el número de simulaciones.