El problema usual de la estadística inferencial es:

• Queremos conocer el valor de una característica en una población

• No podemos medir esta característica en todos los individuos de la población

• Extraemos una muestra aleatoria de la población, medimos la característica en los individuos de esta muestra e inferimos el valor de la característica para la toda la población

  • ¿Cómo lo tenemos que hacer?
  • ¿Cómo tenemos que hacer la muestra?
  • ¿Qué información podemos inferir?

Muestra aleatoria simple (m.a.s.) de tamaño \(n\): de una población de \(N\) individuos, repetimos \(n\) veces el proceso consistente en escoger equiprobablemente un individuo de la población; los individuos escogidos se pueden repetir

De esta manera, todas las muestras posibles de \(n\) individuos (posiblemente repetidos: multiconjuntos) tienen la misma probabilidad

Estadístico (Estimador puntual): una función que aplicada a una muestra nos permite estimar un valor que queramos conocer sobre toda la población.

Una m.a.s. de tamaño \(n\) (de una v.a. \(X\)) es

• un conjunto de \(n\) copias independientes de \(X\), o

• un conjunto de \(n\) variables aleatorias independientes \(X_1,\ldots,X_n\), todas con la distribución de \(X\).

Una realización de una m.a.s. son los \(n\) valores \(x_1,\ldots,x_n\) que toman las v.a. \(X_1,\ldots,X_n\).

Un estadístico \(T\) es una función aplicada a la muestra \(X_1,\ldots,X_n\): \[ T=f(X_1,\ldots,X_n) \] Este estadístico se aplica a las realizaciones de la muestra

Definición: la media muestral de una m.a.s. \(X_1,\ldots,X_n\) de tamaño \(n\) es \[ \overline{X}:=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \] y estima \(E(X)\).

Así pues, un estadístico es una (otra) variable aleatoria, con distribución, esperanza, etc.

La distribución muestral de \(T\) es la distribución de esta variable aleatoria.

Estudiando esta distribución muestral, podremos estimar propiedades de \(X\) a partir del comportamiento de una muestra.

Error estándar de \(T\): desviación típica de \(T\).

• \(X_1,\ldots,X_n\) una m.a.s. y \[ \overline{X}:=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}, \] el estadístico media muestral.

• \(x_1,\ldots,x_n\) una realización de esta m.a.s. y \[ \overline{x}:=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}, \] la media (muestral) de esta realización.

En la vida real, las muestras aleatorias se toman, casi siempre, sin reposición (es decir sin repetición del mismo individuo de la población).

No son muestras aleatorias simples. pero:

• Si \(N\) es mucho más grande que \(n\), los resultados para una m.a.s. son (aproximadamente) los mismos, ya que las repeticiones son improbables y las variables aleatorias que forman la muestra son prácticamente independientes.

• En estos casos cometeremos el abuso de lenguaje de decir que es una m.a.s.

• Si \(n\) es relativamente grande, se suelen dar versiones corregidas de los estadísticos.

Media muestral : sea \(X_1,\ldots, X_n\) una m.a.s. de tamaño \(n\) de una v.a. \(X\) de esperanza \(\mu_X\) y desviación típica \(\sigma_X\)

La media muestral es: \[ \overline{X}=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \]

En estas condiciones, \[ E(\overline{X})=\mu_X,\quad \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}} \] donde \(\sigma_{\overline{X}}\) es el error estándar de \(\overline{X}\).

• Es un estimador puntual de \(\mu_X\)

• \(E(\overline{X})=\mu_X\): el valor esperado de \(\overline{X}\) es \(\mu_X\).

• Si tomamos muchas veces una m.a.s. y calculamos la media muestral, el valor medio de estas medias tiende con mucha probabilidad a ser \(\mu_X\).

• \(\sigma_{\overline{X}}= \sigma_X/\sqrt{n}\): la variabilidad de los resultados de \(\overline{X}\) tiende a 0 a medida que tomamos muestras más grandes.

Proposición La combinación lineal de distribuciones normales es normal. Es decir, si \(Y_1,\ldots,Y_n\) son v.a. normales independientes, cada \(Y_i\sim N(\mu_i,\sigma_i)\), y \(a_1,\ldots,a_n,b\in \mathbb{R}\) entonces \[ Y=a_1Y_1+\cdots+a_nY_n+b \] es una v.a. \(N(\mu,\sigma)\) con \(\mu\) y \(\sigma\) las que correspondan:

• \(E(Y)=a_1\cdot\mu_1+\cdots+a_n\cdot\mu_n+b\)

• \(\sigma(Y)^2=a_1^2\cdot\sigma_1^2+\cdots+a_n^2\cdot\sigma_n^2\)

Veamos cómo se distribuye la media muestral en el caso en que la población \(X\) sea normal.

Proposición

Sea \(X_1,\ldots, X_n\) una m.a.s. de una v.a. \(X\) de esperanza \(\mu_X\) y desviación típica \(\sigma_X\).

Si \(X\) es \(N(\mu_X,\sigma_X)\), entonces \[ \overline{X}\mbox{ es }N\Big(\mu_X,\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}\Big) \] y por lo tanto \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}\mbox{ es }N(0,1) \]

\(Z\) es la expresión tipificada de la media muestral.

Teorema Central del Límite. Sea \(X_1,\ldots, X_n\) una m.a.s. de una v.a. \(X\) cualquiera de esperanza \(\mu_X\) y desviación típica \(\sigma_X\). Cuando \(n\to \infty\), \[ \overline{X}\to N\Big(\mu_X,\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}\Big) \] y por lo tanto \[ Z=\frac{\overline{X}-\mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}\to N(0,1) \] (estas convergencias se refieren a las distribuciones.)

Caso \(n\) grande: Si \(n\) es grande (\(n\geq 30\) o 40), \(\overline{X}\) es aproximadamente normal, con esperanza \(\mu_X\) y desviación típica \(\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}\)

Sea \(X_1,\ldots, X_n\) una m.a. sin reposición de tamaño \(n\) de una v.a. \(X\) de esperanza \(\mu_X\) y desviación típica \(\sigma_X\).

Si \(n\) es pequeño en relación al tamaño \(N\) de la población, todo lo que hemos contado funciona (aproximadamente).

Si \(n\) es grande en relación a \(N\), entonces \[ E(\overline{X})=\mu_X,\quad \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \] (factor de población finita)

El Teorema Central del Límite ya no funciona exactamente en este último caso.

Proporción muestral. Sea \(X\) una v.a. Bernoulli de parámetro \(p_X\) (1 éxito, 0 fracaso). Sea \(X_1,\ldots,X_n\) una m.a.s. de tamaño \(n\) de \(X\).

\(S=\sum_{i=1}^n X_i\) es el nombre de éxitos observados es \(B(n,p)\).

La proporción muestral es \[ \widehat{p}_X=\frac{S}{n} \] y es un estimador de \(p_X\).

Notemos que \(\widehat{p}_X\) es un caso particular de \(\overline{X}\), por lo que todo lo que hemos dicho para medias muestrales es cierto para proporciones muestrales.

Proposición

• Valor esperado de la proporción muestral: \[E(\widehat{p}_X)=p_X\]

• Error estándar de la proporción muestral:

\[\displaystyle \sigma_{\widehat{p}_X}=\sqrt{\frac{p_X(1-p_X)}{n}}\]

• Si la muestra es sin reposición y \(n\) es relativamente grande,

\[\displaystyle\sigma_{\widehat{p}_X}=\sqrt{\frac{p_X(1-p_X)}{n}}\cdot{\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}.\]

Teorema: Si \(n\) es grande (\(n\geq 30\) o 40) y la muestra es aleatoria simple, usando el Teorema Central del Límite, \[ \frac{\widehat{p}_X-p_X}{\sqrt{\frac{{p}_X(1-{p}_X)}{n}}}\approx N(0,1) \]

Varianza muestral y desviación típica muestral. Sea \(X_1,\ldots, X_n\) una m.a.s. de tamaño \(n\) de una v.a. \(X\) de esperanza \(\mu_X\) y desviación típica \(\sigma_X\).

La varianza muestral es \[ \widetilde{S}_{X}^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_{i}-\overline{X})^2}{n-1} \] La desviación típica muestral es \[ \widetilde{S}_{X}=+\sqrt{\widetilde{S}_{X}^2} \]

Además, escribiremos \[ S^2_{X}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_{i}-\overline{X})^2}{n}=\frac{(n-1)}{n}\widetilde{S}^2_{X}\quad\mbox{ y }\quad S_X=+\sqrt{S_X^2} \]

Propiedades \[\displaystyle S^2_X=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_{i}-\overline{X})^2}{n}=\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_{i}^2}{n}-\overline{X}^2\right)\]

\[\displaystyle \widetilde{S}_{X}^2=\frac{n}{n-1}\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_{i}^2}{n}-\overline{X}^2\right)\]

Teorema. Si la v.a. \(X\) es normal, entonces \(E(\widetilde{S}_{X}^2)=\sigma_{X}^2\) y la v.a. \[ \frac{(n-1)\widetilde{S}_{X}^2}{\sigma_{X}^2} \] tiene distribución \(\chi_{n-1}^2\).

Distribución \(\chi_n^2\)

La distribución \(\chi_n^2\) (\(\chi\): en catalán, khi; en castellano, ji; en inglés, chi), donde \(n\) es un parámetro llamado grados de libertad:

es la de \[ X=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{n}^{2} \] donde \(Z_{1},Z_{2},\ldots, Z_{n}\) son v.a. independientes \(N(0,1)\).

Propiedades \(\chi_n^2\)

• Su función de densidad es: \[ f_{\chi_n^2}(x)={\frac{1}{2^{n/2} \Gamma (n/2)}} x^{(n/2)-1} e^{-x/2},\quad\mbox{ si $x\geq 0$} \] donde \(\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\, dt\), si \(x> 0\).

• Si \(X_{\chi_n^2}\) es una v.a. con distribución \(\chi_n^2\), \[E\left(X_{\chi_n^2}\right)=n,\quad Var\left(X_{\chi_n^2}\right)=2 n\]

• \({\chi_n^2}\) se aproxima a una distribución normal \(N\left(n,\sqrt{2n}\right)\) para \(n\) grande (\(n>40\) o \(50\)).

¿Cuándo un estimador es bueno?

Estimadores insesgados Un estimador puntual \(\widehat{\theta}\) de un parámetro poblacional \(\theta\) es insesgado, no sesgado o sin sesgo cuando su valor esperado es precisamente el valor del parámetro: \[ E(\widehat{\theta})=\theta \] Entonces se dice que el estimador puntual es no sesgado.

El sesgo de \(\widehat{\theta}\) es la diferencia \[E(\widehat{\theta})-\theta\]

Proposición

• \(\overline{X}\) es estimador no sesgado de \(\mu_X\): \(E(\overline{X})=\mu_X\).

• \(\widehat{p}_X\) es estimador no sesgado de \(p_X\): \(E(\widehat{p}_X)=p_X\).

• Si \(X\) es normal: \(\widetilde{S}_{X}^2\) es estimador no sesgado de \(\sigma_X^2\): \(E(\widetilde{S}_{X}^2)=\sigma_X^2\)

• Si \(X\) es normal: \(E({S}_{X}^2)=\dfrac{n-1}{n}\sigma_X^2\). Por lo tanto \({S}_{X}^2\), es sesgado, con sesgo \[ E({S}_{X}^2)-\sigma_X^2=\dfrac{n-1}{n}\sigma_X^2-\sigma_X^2=-\dfrac{\sigma_X^2}{n}\mbox{ que tiende a }0. \]

¿Cuando un estimador es bueno?

Cuando es no segado y tiene poca variabilidad (así es más probable que aplicado a una m.a.s. dé un valor más cercano al valor esperado)

Error estándar de un estimador \(\widehat{\theta}\): es su desviación típica \[\sigma_{\widehat{\theta}}=\sqrt{Var(\widehat{\theta})}\]

Eficiencia de un estimador Dados dos estimadores \(\widehat{\theta}_1\), \(\widehat{\theta}_2\) no sesgados (o con sesgo que tiende a \(0\)) del mismo parámetro \(\theta\), diremos que \(\widehat{\theta}_1\) es más eficiente que \(\widehat{\theta}_2\) cuando

\[\sigma_{\widehat{\theta}_1}< \sigma_{\widehat{\theta}_2},\] es decir, cuando \[Var(\widehat{\theta}_1)< Var(\widehat{\theta}_2).\]

Sea \(X\) una v.a. con media \(\mu_X\) y desviación típica \(\sigma_X\)

Consideremos la mediana \(Me=Q_{0.5}\) de la realización de una m.a.s. de \(X\) como estimador puntual de \(\mu_X\)

Si \(X\) es normal, \[ \begin{array}{l} E(Me)=\mu_X,\\ \displaystyle Var(Me)\approx \frac{\pi}{2} \frac{\sigma_{X}^2}{n}\approx \frac{1.57 \sigma_{X}^2}{n}=1.57\cdot Var(\overline{X}) > Var(\overline{X}). \end{array} \] Por lo tanto, \(Me\) es un estimador no sesgado de \(\mu_X\), pero menos eficiente que \(\overline{X}\).

Proposición

• Si la población es normal, la media muestral \(\bar X\) es el estimador no sesgado más eficiente de la media poblacional \(\mu_X\).

• Si la población es Bernoulli, la proporción muestral \(\hat p_X\) es el estimador no sesgado más eficiente de la proporción poblacional \(p_X\).

• Si la población es normal, la varianza muestral \(\tilde S^2_X\) es el estimador no sesgado más eficiente de la varianza poblacional \(\sigma_x^2\).

Como hemos visto, si la población es normal, la varianza muestral es el estimador no sesgado más eficiente de la varianza poblacional

El estimador varianza \[ S_X^2=\frac{(n-1)}{n} \widetilde{S}_X^2 \]
aunque sea más eficiente, tiene sesgo que tiende a \(0\).

Si \(n\) es pequeño (\(\leq 30\) o 40), es mejor utilizar la varianza muestral \(\widetilde{S}_X^2\) para estimar la varianza, ya que el sesgo influye, pero si \(n\) es grande, el sesgo ya no es tan importante y se puede utilizar \(S_X^2\).

Tenemos una población numerada \(1,2,\ldots,N\)

Tomamos una m.a.s. \(x_1,\ldots,x_n\); sea \(m=\max\{x_1,\ldots,x_n\}\).

Teorema. El estimador no segado más eficiente del tamaño de la población \(N\) es \[ \widehat{N}=m+\frac{m-n}{n}. \] O sea, la manera más eficiente de estimar el número de elementos de la población a partir de una muestra es usar la fórmula anterior.

¿Cómo encontramos buenos estimadores?

Antes de explicar la metodología, necesitamos una definición previa:

Función de verosimilitud de la muestra. Sea \(X\) una v.a. discreta con función de probabilidad \(f_X(x;\theta)\) que depende de un parámetro desconocido \(\theta\).

Sea \(X_{1},\ldots X_{n}\) una m.a.s. de \(X\), y sea \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) una realización de esta muestra.

La función de verosimilitud de la muestra es la probabilidad condicionada siguiente: \[ \begin{array}{ll} {L(\theta|x_1,x_2,\ldots,x_n)} & := P(x_1,x_2,\ldots,x_n|\theta)=P(X_1=x_1)\cdots P(X_n=x_n) \\ & = f_X(x_1;\theta)\cdots f_X(x_n;\theta). \end{array} \]

Dada la función de verosimilitud \(L(\theta|x_1,\ldots,x_n)\) de la muestra, indicaremos por \(\hat{\theta}(x_1,\ldots,x_n)\) el valor del parámetro \(\theta\) en el que se alcanza el máximo de \(L(\theta|x_1,\ldots,x_n)\). Será una función de \(x_1,\ldots,x_n\).

Estimador máximo verosímil. Un estimador \(\hat{\theta}\) de un parámetro \(\theta\) es máximo verosímil (MV) cuando, para cada m.a.s, la probabilidad de observarlo es máxima, cuando el parámetro toma el valor del estimador aplicado a la muestra, es decir, si la función de verosimilitud \[L(\theta|x_1,x_2,\ldots,x_n)= P(x_1,x_2,\ldots,x_n|\theta)\] alcanza su máximo.

Supongamos que tenemos una v.a. Bernoulli \(X\) de probabilidad de éxito \(p\) desconocida.

Para cada m.a.s. \(x_1,\ldots,x_n\) de \(X\), sean \(\widehat{p}_x\) su proporción muestral y \(P(x_1,\ldots,x_n\mid p)\) la probabilidad de obtenerla cuando el verdadero valor del parámetro es \(p\).

Teorema. El valor de \(p\) para el que \(P(x_1,\ldots,x_n\mid p)\) es máximo es \(\widehat{p}_x\).

Dicho en otras palabras, la proporción muestral es un estimador MV de \(p\).

En general, al ser \(\ln\) una función creciente, en lugar de maximizar \(L(\theta|x_1,\ldots,x_n)\), maximizamos \[ \ln(L(\theta|x_1,\ldots,x_n)) \] que suele ser más simple (ya que transforma los productos en sumas, y es más fácil derivar estas últimas).

Sea \(X_{1},\ldots X_{n}\) una m.a.s. de una v.a. Bernoulli \(X\) de parámetro \(p\) (desconocido). Denotemos \(q=1-p\) \[ \begin{array}{c} f_X(1;p)=P(X=1)=p,\quad f_X(0;p)=P(X=0)=q \end{array} \] es a decir, para \(x\in\{0,1\}\), resulta que \(f_X(x;p)=P(X=x)=p^{x} q^{1-x}.\)

La función de verosimilitud es: \[ \begin{array}{l} L(p|x_1,\ldots,x_n) = f_{X}(x_1;p)\cdots f_{X}(x_n;p) = p^{x_{1}}q^{1-x_{1}} \cdots p^{x_{n}}q^{1-x_{n}} \\ = p^{\sum_{i=1}^n x_{i}} q^{\sum_{i=1}^n (1-x_{i})}= p^{\sum_{i=1}^n x_{i}} q^{n-\sum_{i=1}^n x_{i}} =p^{\sum_{i=1}^n x_{i}} (1-p)^{n-\sum_{i=1}^n x_{i}} \end{array} \]

La función de verosimilitud es \[ L(p|x_1,\ldots,x_n) =p^{\sum_{i=1}^n x_{i}} (1-p)^{n-\sum_{i=1}^n x_{i}}=p^{n\overline{x}}(1-p)^{n-n\overline{x}}, \] donde \(\overline{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^n x_{i}}{n}\).

Queremos encontrar el valor de \(p\) en el que se alcanza el máximo de esta función (donde \(\overline{x}\) es un parámetro y la variable es \(p\))

Maximizaremos su logaritmo: \[ \ln(L(p|x_1,\ldots,x_n))=n\overline{x}\ln(p)+n(1-\overline{x})\ln(1-p). \]

Derivamos respecto de \(p\): \[ \begin{array}{l} \ln(L(p|x_1,\ldots,x_n))' =n\overline{x}\frac{1}{p}-n(1-\overline{x})\frac{1}{1-p}\\ \qquad =\frac{1}{p(1-p)}\Big((1-p)n\overline{x}-pn(1-\overline{x})\Big) =\frac{1}{p(1-p)}(n\overline{x} -pn) \\ \qquad=\frac{n}{p(1-p)}(\overline{x} -p) \end{array} \] Estudiamos el signo: \[ \ln(L(p|x_1,\ldots,x_n))'\geq 0 \Leftrightarrow \overline{x} -p\geq 0 \Leftrightarrow p\leq\overline{x} \]

Por lo tanto \[ \ln(L(p|x_1,\ldots,x_n))\left\{ \begin{array}{l} \mbox{ creciente hasta $\overline{x}$}\\ \mbox{ decreciente a partir de $\overline{x}$}\\ \mbox{ tiene un máximo en $\overline{x}$} \end{array}\right. \]

El resultado queda demostrado. \(L(\widehat{p}_X|x_1,\ldots,x_n)\geq L(p|x_1,\ldots,x_n)\) para cualquier \(p\).

Proposición

• \(\widehat{p}_x\) es el estimador MV del parámetro \(p\) de una v.a. Bernoulli.

• \(\overline{X}\) es el estimador MV del parámetro \(\theta\) de una v.a. Poisson.

• \(\overline{X}\) es el estimador MV del parámetro \(\mu\) de una v.a. normal.

• \(S_X^2\) (no \(\widetilde{S}_X^2\)) es el estimador MV del parámetro \(\sigma^2\) de una v.a. normal.

• El máximo (no \(\widehat{N}\)) es el estimador MV de la \(N\) en el problema de los taxis.

En una población hay \(N\) individuos, capturamos \(K\), los marcamos y los volvemos a soltar.

Ahora volvemos a capturar \(n\), de los que \(k\) están marcados. A partir de estos datos, queremos estimar \(N\).

Supongamos que \(N\) y \(K\) no han cambiado de la primera a la segunda captura.

La variable aleatoria \(X=\) Un individuo esté marcado es \(Be(p)\) con \(p=\dfrac{K}{N}\).

Si \(X_1,\ldots,X_n\) es la muestra capturada la segunda vez, entonces \(\widehat{p}_X=\frac{k}{n}\).

\(\widehat{p}_X\) es un estimador máximo verosímil \(p\). Por tanto, estimamos que: \[ \dfrac{K}{N}=\dfrac{k}{n}\Rightarrow N=\frac{n\cdot K}{k} \]

Por lo tanto, el estimador \[ \widehat{N}=\frac{n\cdot K}{k} \] maximiza la probabilidad de la observación \(k\) marcados de \(n\) capturados, por lo que \(\hat{N}\) es el estimador máximo verosímil de \(N\).

El estimador \[ \widehat{N}=\frac{n\cdot K}{k} \] es sesgado, con sesgo que tiende a \(0\).

El estimador de Chapman \[ \widehat{N}=\frac{(n+1)\cdot (K+1)}{k+1}-1, \] es menos segado para muestras pequeñas, y no sesgado si \(K+n\geq N\) (pero no máximo verosímil).

Para obtener estimaciones puntuales con R hay que usar la función fitdistr del paquete MASS:

fitdistr(x, densfun=..., start=...)

donde

• x es la muestra, un vector numérico.

• El valor de densfun ha de ser el nombre de la familia de distribuciones:"chi-squared", "exponential", "f", "geometric", "lognormal", "normal" y "poisson".

• Si fitdistr no dispone de una fórmula cerrada para el estimador máximo verosímil de algún parámetro, usa un algoritmo numérico para aproximarlo que requiere de un valor inicial para arrancar. Este valor (o valores) se puede especificar igualando el parámetro start a una list con cada parámetro a estimar igualado a un valor inicial.

• fitdistr del paquete MASS, sirve para calcular los estimadores máximo verosímiles de los parámetros de una distribución a partir de una muestra. Parámetros principales:
  • densfun: el nombre de la familia de distribuciones, entre comillas.
  • start: permite fijar el valor inicial del algoritmo numérico para calcular el estimador, si la función lo requiere.

Primero haremos la carga de paquetes

from scipy.stats import norm
from numpy import linspace
import matplotlib.pyplot as plt

Elegimos una m.a.s. de tamaño 150 de una variable aleatoria \(N(0, 1)\).

sample = norm.rvs(loc = 0, scale = 1, size = 150)
print(sample[1:10])

## [-1.50069882 -0.21542541  1.48429828 -0.88864845  1.21538522  2.50999482
##   0.00791403 -1.44868419 -0.08185923]

Para estimar los parámetros, usamos la distribución adecuada (en nuestro caso una normal) e invocamos el método fit

params = norm.fit(sample)
print("Media = {mu}".format(mu=params[0]))

## Media = -0.0912591659953

print("Desviacion tipica = {sd}".format(sd=params[1]))

## Desviacion tipica = 0.97351835011

Vamos a comparar la distribución con los parámetros estimados vs nuestra muestra.

x = linspace(-5,5,100)
pdf_fitted = norm.pdf(x, loc=params[0], scale=params[1])
pdf_original = norm.pdf(x, loc=0, scale=1)

## //usr/lib/python2.7/dist-packages/matplotlib/axes/_axes.py:6571: UserWarning: The 'normed' kwarg is deprecated, and has been replaced by the 'density' kwarg.
##   warnings.warn("The 'normed' kwarg is deprecated, and has been "

\[f(x) = \frac{(x-\mu)e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{\sigma^2}\]

Importar las librerías para crear la m.a.s., generar la muestra y obtener los parámetros

from scipy.stats import rayleigh
sample = rayleigh.rvs(loc=5, scale=2, size=150)
params = rayleigh.fit(sample)
print("Media = {mu}".format(mu=params[0]))

## Media = 5.15323804247

print("Desviacion tipica = {sd}".format(sd=params[1]))

## Desviacion tipica = 1.85835480841

Generamos la distribución con los parámetros estimados

x = linspace(5, 15, 100)
pdf_fitted = rayleigh.pdf(x, loc=params[0], scale=params[1])
pdf_original = rayleigh.pdf(x, loc=5, scale=2)