Ejemplo

Supongamos que nuestro ordenador trabaja con \(6\) cifras decimales. Cuando trabajamos con \(\sqrt{2}\), tendremos un error de redondeo acotado por \(\frac{1}{2}\cdot 10^{-6}\): \[ |\sqrt{2}-1.414214|\approx4.4\times 10^{-7}\leq 0.5\cdot 10^{-6}. \]

Veamos cómo escribir el número \(10.2345\) en binario.

Primero escribimos su parte entera: \(10=2+2^3,\) y escribimos \(10=1010_{2)}\).

El número \(1010\) nos indica que \(10\) puede escribirse como \(10=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0\). Para obtener los números \(1010\), hemos de realizar divisiones sucesivas por \(2\) y considerar los restos: \[ \begin{align*} \color{green}{10}= & \color{blue}{5}\cdot 2+\color{red}{0},\\ \color{green}{5}= & \color{blue}{2}\cdot 2+\color{red}{1},\\ \color{green}{2}= & \color{blue}{2}\cdot \color{red}{1}+\color{red}{0}. \end{align*} \]

Vayamos a la parte decimal. Para hallar su representación binaria hemos de multiplicar sucesivamente por 2 y considerar la parte entera: \[ \begin{align*} 0.2345\cdot 2= & \color{red}{0}.469,\ \Rightarrow b_1=\color{red}{0}, \\ 2\cdot(0.469-b_1) = &\color{red}{0}.938, \ \Rightarrow b_2=\color{red}0,\\ 2\cdot(0.938-b_2) = & \color{red}{1}.876.\ \Rightarrow b_3=\color{red}1,\\ 2\cdot(1.876-b_3) = & \color{red}{1}.752, \Rightarrow b_4=\color{red}1,\\ \ldots & \ldots \end{align*} \] Esto significa que \(0.2345 =0\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}+1\cdot 2^{-4}+\cdots\) y escribimos \(0.2345=0.0011\ldots_{2)}\), donde \(\ldots\) significa que hay más cifras y que dicho número puede tener infinitas cifras en base \(2\).

Por tanto, el número \(10.2345\) en binario será de la forma \(10.2345=1010.0011\ldots_{2)}\).

Ejemplo

Sea \(x=31.54068088531494\). Vamos a escribirlo en binario en el formato anterior. \[ \begin{align*} 31.54068088531494_{10)}= & 11111.10001010011010100001_{2)}\\ =& +1.11110001010011010100001_{2)}\cdot 2^{4} \end{align*} \] En este caso \(s=0\), \(f=11110001010011010100001\) y \(c=100_{2)}+1023 =100_{2)}+1111111111_{2)}=10000000011_{2)}\).

Entonces escribiremos: \[ 31.41593_{10)}=|0|\ 111110001010011010100001|\ 10000000011|. \]

Hagamos la conversión contraria.

Imaginemos que nos dan el número siguiente: \[ |1|\ 101101110011|\ 1111|. \] Vamos a ver a qué número \(x\) corresponde.

El signo es negativo, por tanto \(x<0\).

La mantisa será: \[ 1.f=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{11}}+\frac{1}{2^{12}}=1.7155762. \] El exponente \(c\) vale \(1111_{2)}-1023=1+2+2^2+2^3-1023=-1008\).

El número será: \[ x=-1.7155762\cdot 2^{-1008}\approx -6.25424\cdot 10^{-304}. \]

La representación punto-flotante de los números siguientes es la siguente:

• \(x=31.41593,\) \(fl(x)=0.3141593\cdot 10^2\).
• \(x=-0.00004356,\) \(fl(x)=-0.4356\cdot 10^{-4}\).
• \(x=19875.24,\) \(fl(x)=0.1987524\cdot 10^{5}\).

Ejemplo

Supongamos que trabajamos con \(k=4\) cifras significativas. La representación punto flotante de los números siguientes vale:

• \(x=1234.5678\), \(fl(x)=0.1234\cdot 10^4\) si cortamos y \(fl(x)=0.1235\cdot 10^4\) si redondeamos.
• \(x=-0.00004599881234\), \(fl(x)=-0.4599\cdot 10^{-4}\) si cortamos y \(fl(x)=-0.4600\cdot 10^{-4}\) si redondeamos.

Ejemplo

Calculemos los errores absolutos y relativos para los valores numéricos del ejemplo anterior cuando cortamos o redondeamos:

• \(x=1234.5678\),
  • corte: \(fl_c(x)=0.1234\cdot 10^4\), \(e_a(x)=|x-fl_c(x)|=|1234.5678-1234|=0.5678,\) \(e_r(x)=\frac{e_a(x)}{x}=\frac{0.5678}{1234.5678}\approx 5\times 10^{-4}.\)
  • redondeo: \(fl_r(x)=0.1235\cdot 10^4\), \(e_a(x)=|x-fl_r(x)|=|1234.5678-1235|=0.4322,\) \(e_r(x)=\frac{e_a(x)}{x}=\frac{0.4322}{1234.5678}\approx 4\times 10^{-4}.\)

• \(x=-0.00004599881234\),
  • corte: \(fl_c(x)=-0.4599\cdot 10^{-4}\), \(e_a(x)=|x-fl_c(x)|=|-0.00004599881234+0.00004599|=8.81234\times 10^{-9},\) \(e_r(x)=\frac{e_a(x)}{x}=\frac{8.81234\times 10^{-9}}{0.00004599881234}\approx 2\times 10^{-4}.\)
  • redondeo: \(fl_r(x)=fl(x)=-0.4600\cdot 10^{-4}\), \(e_a(x)=|x-fl_r(x)|=|-0.00004599881234+0.000046|=1.18766\times 10^{-9},\) \(e_r(x)=\frac{e_a(x)}{x}=\frac{1.18766\times 10^{-9}}{0.00004599881234}\approx 2.5819\times 10^{-5}.\)

Supongamos que trabajamos con \(\color{red}{4}\) cifras significativas.

Nos planteamos la operación siguiente: \(fl(x)\oplus fl(y)\) con \(x=\frac{1}{3}\) e \(y=\frac{345}{7}\).

Como trabajamos con \(4\) cifras significativas, el valor de \(fl(x)\) será: \(fl(x)=0.3333\).

Como trabajamos con \(4\) cifras significativas, el valor de \(fl(y)\) será: \(fl(y)=49.29\).

En las aproximaciones anteriores, hemos redondeado ya que vimos que redondear es mejor que cortar.

El valor de \(fl(x)\oplus fl(y)\) será:

\[ fl(x)\oplus fl(y) = fl(fl(x)+fl(y))=fl(0.3333+49.29)=fl(49.6233)=49.62. \] Fijémonos que tenemos los errores siguientes:

• las aproximaciones de \(x\) e \(y\) a \(\color{red}{4}\) cifras significativas.
• el error que hemos cometido en la operación suma.

Seguidamente, nos planteamos la operación siguiente: \(fl(x)\odot fl(y)\).

El valor de \(fl(x)\odot fl(y)\) será: \[ fl(x)\odot fl(y) = fl(fl(x)\cdot fl(y))=fl(0.3333\cdot 49.29)=fl(16.428357)=16.43. \] En este caso, los errores cometidos son:

• las aproximaciones de \(x\) e \(y\) a \(\color{red}{4}\) cifras significativas.
• el error que hemos cometido en la operación producto.

Queremos computar \((\sqrt{2}-1)^6\) utilizando \(x=1.4\) valor tan aproximado de \(\sqrt{2}\).

¿Cuál de las expresiones siguientes es la más apropiada desde el punto de vista numérico: \[ \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^6},\quad (3-2\sqrt{2})^3,\quad \frac{1}{(3+2\sqrt{2})^3}? \]

Sean \(f_1\), \(f_2\) y ser \(f_3\) las funciones siguientes: \[ f_1(x)=\frac{1}{(x+1)^6},\ f_2(x)= (3-2x)^3,\ f_3(x)= \frac{1}{(3+2x)^3}. \] La derivada de las funciones anteriores en el punto \(1.4\) valen: \[ \begin{align*} f_1'(x)= & -\frac{6}{(x+1)^7},\Rightarrow |f_1'(1.4)|=0.0131,\\ f_2'(x)= & -6 (3-2 x)^2,\Rightarrow |f_2'(1.4)|=0.24,\\ \color{red}{f_3'}(x)= & -\frac{6}{(2 x+3)^4},\Rightarrow |f_3'(1.4)|=0.0053. \end{align*} \]

Como \(e_r(x)\leq 5\cdot 10^{-2}\) ya que tiene \(2\) cifras significativas, tenemos que \(e_a(x)\approx |x|\cdot e_r(x)\leq 0.07\).

Los errores cometidos aplicando las funciones anteriores serán aproximadamente: \[ \begin{align*} |f_1(\sqrt{2})-f_1(1.4)|\approx & |f_1'(1.4)|\cdot e_a(x)\leq 0.0131 \cdot 0.07 = 9.157\times 10^{-4},\\ |f_2(\sqrt{2})-f_2(1.4)|\approx & |f_2'(1.4)|\cdot e_a(x)\leq 0.24 \cdot 0.07 = 0.0168,\\ \color{red}{|f_3(\sqrt{2})-f_3(1.4)|}\approx & |f_3'(1.4)|\cdot e_a(x)\leq 0.0053 \cdot 0.07 = 3.711\times 10^{-4}. \end{align*} \] Observamos que la mejor función es la función \(f_3\).

Queremos calcular el área de un círculo donde \(e_a(\pi)\) y \(e_a(r)\) son los errores absolutos de los valores \(\pi\) y el radio \(r\).

El área del círculo vale: \[ A(\pi,r)=\pi\cdot r^2. \]

Utilizando la fórmula de propagación del error para dos variables, tenemos: \[ |A(\pi +e_a(\pi),r+e_a(r))-A(\pi,r)|\approx \left|\frac{\partial A}{\partial \pi}\right|\cdot e_a(\pi) +\left|\frac{\partial A}{\partial r}\right|\cdot e_a(r) = r^2\cdot e_a(\pi) + 2 \pi r \cdot e_a(r). \]

Por ejemplo, si \(r=1\) cm, con \(e_a(r)\leq 0.001\) y \(\pi =3.142\), \(e_a(\pi)\leq 0.001\), obtenemos: \[ |A(\pi +e_a(\pi),r+e_a(r))-A(\pi,r)|\leq 1.001^2\cdot 0.001 + 2\cdot 3.143 \cdot 1.001\cdot 0.001 = 0.0073. \]

El pseudocódigo siguiente nos permite identificar si un número es primo o no:

• INPUT n. (entramos el entero)
  
• Set i=2. (inicializamos el divisor)
  
• While (i< sqrt(n)) do (mientras el divisor sea menor que la raíz de n, vamos dividiendo…)
  • If (resto(n/i)==0) do (si encontramos un divisor para el cual el resto es cero, significa que \(n\) no es primo)
    • print (n no es primo);
      
    • salir del While y fin.
  • Else i++. (en caso contrario, aumentamos el divisor en una unidad)

Observar cómo se han indentado los pasos.

En el capítulo de preliminares vimos como calcular una aproximación del número \(\mathrm{e}\) dada una tolerancia a partir del polinomio de MacLaurin de la función \(\mathrm{e}^x\) de grado \(n\): \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}, \]

El pseudocódigo para hallar la aproximación es el siguiente:

• INPUT TOL, N. (damos el valor de la tolerancia con que queremos hallar la aproximación de \(\mathrm{e}\) y el grado máximo del polinomio \(N\))
• Set n=2 (empezamos con el polinomio de grado \(2\))
• While ((3/n!)>= TOL and n<=N) (mientras se cumpla esta condición, no tenemos asegurada que el error de la aproximación sea menor que la tolerancia. También nos aseguramos que el grado no supere el grado máximo \(N\))
  • n++. (aumentamos el grado del polinomio)
• If n>=N (si hemos llegado al grado máximo, damos un mensaje de error)
  • Print 'error, no se puede alcanzar la aproximación pedida';
  • fin.
• Else (en caso contrario hallamos la aproximación)
  • Set x=1. (damos a la aproximación \(x\) el valor \(1\) que es el primer sumando del polinomio de grado \(n\))
  • For i=1 hasta n (en este bucle vamos añadiendo todos los demás sumandos del polinomio)
    • Set x=x+1/i!.
• Print x. (damos la aproximación)

Nos planteamos calcular la integral siguiente: \[ I_n = \int_0^1 x^{2n}\sin(\pi x)\, dx,\ n=0,2,\ldots N, \] donde \(N\) es un valor que nos dan.

Para ello usamos la recurrencia siguiente: \[ I_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{2n(2n-1)}{\pi^2}I_{n-1}. \] Para probar la recurrencia anterior, basta aplicar la técnica de integración por partes dos veces a \(I_n\): \[ \begin{align*} I_n = & \int_0^1 x^{2n}\sin(\pi x)\, dx =\left[-\frac{1}{\pi} x^{2n}\cos (\pi x)\right]_0^1+\frac{2n}{\pi}\int_0^1 x^{2n-1}\cos (\pi x)\, dx\\ = & \frac{1}{\pi}+\frac{2n}{\pi}\left(\left[x^{2n-1}\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right]_0^1-\frac{2n-1}{\pi}\int_0^1 x^{2n-2}\sin(\pi x)\, dx\right)= \frac{1}{\pi}-\frac{2n (2n-1)}{\pi^2}I_{n-1}. \end{align*} \]

El valor de \(I_0\) será: \[ I_0 = \int_0^1 \sin(\pi x)\, dx=-\frac{1}{\pi} [\cos(\pi x)]_0^1 =\frac{2}{\pi}\approx 0.63662. \] Suponemos que aplicamos la recurrencia anterior para hallar los valores aproximados de \(I_n\). Nos planteamos averiguar si el algoritmo planteado es estable o inestable.

Como tenemos un valor aproximado de \(I_0\), (\(I_0 \approx 0.63662\)) nuestras condiciones iniciales están perturbadas, es decir, tenemos un pequeño cambio respecto con el valor exacto de \(I_0\). ¿Cómo afectará este pequeño cambio a los valores futuros \(I_n\)?

Veámoslo:

\[ \begin{align*} I_1= & \frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi^2}\cdot I_0 =\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi^2}\cdot \frac{2}{\pi}\approx 0.189304. \end{align*} \]

Los demás valores se observan en la tabla siguiente:

Los demás valores se observan en la tabla siguiente:

Vemos que los valores \(I_{13}\) e \(I_{15}\) son negativos pero la función que integramos, \(x^{2n}\sin(\pi x)\), es positiva para todo valor de \(x\in (0,1)\) en el intervalo de integración. Por tanto, no puede dar valores negativos.

¿Nos hemos equivocado? ¡No! El algoritmo aplicado es inestable. Veamos el porqué.

Sea \(\Delta I_{n-1}\) el error que tenemos del valor de \(I_{n-1}\), como \[ I_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{2n(2n-1)}{\pi^2}I_{n-1}, \] lo que calculamos en la práctica es: \[ I_{n}+\Delta I_n =\frac{1}{\pi}-\frac{2n(2n-1)}{\pi^2} (I_{n-1}+\Delta I_{n-1}). \] Para simplificar nuestro análisis, vamos a suponer que el número \(\pi\) no tiene error, entonces de la igualdad anterior, tenemos que los errores \(\Delta I_n\) verifican: \[ \Delta I_{n}=-\frac{2n(2n-1)}{\pi^2}\Delta I_{n-1}. \]

Es decir, en el paso \(n\)-ésimo el error de \(I_{n-1}\) se multiplica por \(\frac{2n(2n-1)}{\pi^2}\). Dicha sucesión tiende a infinito a medida que \(n\) crece, de lo que deducimos que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \Delta I_n =\infty\), y, por tanto, el algoritmo es inestable.

¿Cómo podemos calcular de forma eficiente los valores \(I_n\)?

Fijémonos que si escribimos la recurrencia “al revés”, obtenemos: \[ I_{n-1}=\frac{\pi}{2n(2n-1)}-\frac{\pi^2}{2n(2n-1)}I_{n}. \] Si realizamos el análisis del error que hemos hecho antes, tenemos que si aplicamos la recurrencia anterior, los errores \(\Delta I_n\) verifican: \[ \Delta I_{n-1}=-\frac{\pi^2}{2n(2n-1)}\Delta I_n, \] es decir, se van multiplicando por \(-\frac{\pi^2}{2n(2n-1)}\) y como dicha sucesión tiende a cero, los errores van disminuyendo y el algoritmo sería estable.

Ahora bien, aplicar la recurrencia anterior no tiene mucho sentido ya que tendríamos que calcular \(I_{n-1}\) en función de \(I_n\).

Recordemos la definición de los valores \(I_n\): \(\displaystyle I_n = \int_0^1 x^{2n}\sin(\pi x)\, dx\). Veamos que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n=0\): \[ |I_n|=\left|\int_0^1 x^{2n}\sin(\pi x)\, dx\right|\leq \int_0^1 x^{2n}\, dx =\left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^1 =\frac{1}{2n+1}. \] Aplicando el criterio del “sandwich” para límites de sucesiones tenemos que como \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+1}=0\), entonces \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n=0\).

Entonces para aplicar el algoritmo anterior estable, escojamos un valor de \(n\) tal que \(|I_n|\leq \epsilon\), donde \(\epsilon\) sería la tolerancia. Por ejemplo si \(\epsilon =0.001\), el valor de \(n\) sería: \[ |I_n|\leq \frac{1}{2n+1}\leq 0.001,\ \Rightarrow 2n+1\geq\frac{1}{0.001}=1000,\ \Rightarrow n\geq 999/2,\ \Rightarrow n\geq 500. \]

Entonces empezaríamos con \(n=500\), usando que \(I_{500}\approx 0\) yendo hacia atrás usando la recurrencia anterior y calcularíamos los valores \(I_n\), para \(n=499.\ldots, 0\).

La sucesión \(x_n =\frac{P_p(n)}{Q_p(n)}\), donde \(P_p(n)\) y \(Q_q(n)\) son polinomios de grados \(p\) y \(q\), respectivamente, con \(q>p\) tiene orden de convergencia \(\frac{1}{n^{q-p}}\). Veamos por qué.

En primer lugar, escribimos \[ \begin{align*} P_p(n) = & a_p n^p +a_{p-1} n^{p-1}+\cdots + a_0,\\ Q_q(n) = & b_q n^q + b_{q-1} n^{q-1}+\cdots + b_0. \end{align*} \] Entonces \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n =\lim_{n\to\infty} \frac{P_p(n)}{Q_q(n)}=0.\)

Ahora bien, \[ \begin{align*} \frac{P_p(n)}{Q_q(n)} = & \frac{a_p n^p +a_{p-1} n^{p-1}+\cdots + a_0}{b_q n^q + b_{q-1} n^{q-1}+\cdots + b_0}=\frac{a_p n^p}{b_q n^q} \frac{\left(1+\frac{a_{p-1}}{a_p n}+\cdots +\frac{a_0}{a_p n^p}\right)}{\left(1+\frac{b_{q-1}}{b_q n}+\cdots +\frac{b_0}{b_q n^p}\right)} \\ = & \frac{a_p}{b_q}\frac{1}{n^{q-p}}\left(1+\frac{a_{p-1}}{a_p n}+\cdots +\frac{a_0}{a_p n^p}\right)\cdot \left(1-O\left(\frac{1}{n}\right)\right) \\ = & \frac{a_p}{b_q}\frac{1}{n^{q-p}}\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\cdot \left(1-O\left(\frac{1}{n}\right)\right) = \frac{a_p}{b_q}\frac{1}{n^{q-p}} \left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right). \end{align*} \] Entonces, podemos escribir que existen valores \(K=\left|\frac{a_p}{b_q}\right|\) y \(n_0\) tal que: \[ \left|\frac{P_p(n)}{Q_q(n)} \right|\leq K\frac{1}{n^{q-p}}, \] para \(n\geq n_0\), tal como queríamos ver.

Veamos que la función \(F(h)=\mathrm{e}^h\) tiene orden de convergencia \(G(h)=h\).

En este caso, el valor \(L\) sería \(\displaystyle\lim_{h\to 0} F(h)=\lim_{h\to 0}\mathrm{e}^h=1\). Entonces, usando la expresión del error del desarrollo de MacLaurin de la función \(\mathrm{e}^h\) tenemos que: \[ F(h)=\mathrm{e}^h =1+\mathrm{e}^\xi h, \] con \(\xi\in <0,h>\). Por tanto, existe un valor \(c>0\) tal que si \(|h|\leq c\), \[ |F(h)-1| =|\mathrm{e}^h-1| =\mathrm{e}^\xi |h|\leq \max\{\mathrm{e}^h,1\} |h|\leq \mathrm{e}^c |h| = K |h|. \] donde hemos usado que \(\mathrm{e}^\xi \leq \mathrm{e}^h\) si \(h>0\) y \(\mathrm{e}^\xi \leq 1\), si \(h<0\).

En general, si consideramos \(F_k(h)=\mathrm{e}^h-\left(1+h+\frac{h^2}{2}+\cdots +\frac{h^k}{k!}\right)\) tenemos que \(F_k(h)\) tiene orden de convergencia \(h^{k+1}\).

Usando la expresión del error del desarrollo de MacLaurin de la función \(\mathrm{e}^h\) de orden \(k+1\), tenemos que: \[ F_k(h)=\mathrm{e}^h-\left(1+h+\frac{h^2}{2}+\cdots +\frac{h^k}{k!}\right) =\frac{e^\xi}{(k+1)!}h^{k+1}, \] con \(\xi\in <0,h>\). Por tanto, existe un valor \(c>0\) tal que si \(|h|\leq c\), \[ \begin{align*} |F_k(h)| = & \left|\mathrm{e}^h-\left(1+h+\frac{h^2}{2}+\cdots +\frac{h^k}{k!}\right)\right| =\frac{e^\xi}{(k+1)!}\left|h^{k+1}\right|\leq\frac{\max\{\mathrm{e}^h,1\}}{(k+1)!}\left|h^{k+1}\right|\\ \leq & \frac{\mathrm{e}^c}{(k+1)!}\left|h^{k+1}\right|=K\left|h^{k+1}\right|, \end{align*} \] tal como queríamos ver.