Preliminares

Introducción

  • En este capítulo vamos a recordar un conjunto de preliminares matemáticos con el cálculo matemático que vamos a utilizar durante el curso.

  • Un conocimiento sólido de cálculo es esencial para comprender el análisis de las técnicas numéricas.

Introducción

  • Concretamente veremos un repaso de los conceptos y resultados matemáticos siguientes:
    • Límite de una función en un punto.
    • Continuidad.
    • Límite de una sucesión.
    • Diferenciabilidad:
      • Teorema de Rolle.
      • Teorema del Valor medio.
      • Teorema de los valores extremos.
      • Teorema de Rolle generalizado.
      • Teorema del valor intermedio.

Introducción

    • Integración.
      • Teorema del valor medio para integrales.
    • Teorema de Taylor.

Límite de una función en un punto

Definición de límite de una función en un punto. Sea \(f\) definida en un conjunto \(D\subseteq\mathbb{R}\) y \(x_0\in D\). Diremos que el límite de la función \(f\) es \(L\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\), escribiendo: \[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L, \] si dado cualquier valor \(\epsilon >0\), existe un valor real \(\delta >0\) tal que si \(x\) verifica que \(0<|x-x_0|<\delta\), entonces \(|f(x)-L|<\epsilon\).

Límite de una función en un punto

Límite de una función en un punto

Límite de una función en un punto

Continuidad

Definición de continuidad de una función en un punto. Sea \(f\) definida en un conjunto \(D\subseteq\mathbb{R}\) y \(x_0\in D\). Diremos que la función \(f(x)\) es continua en el punto \(x_0\) si \[ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0). \] En general, una función \(f(x)\) es continua en todo el dominio \(D\) si es continua en cualquier punto \(x\in D\).

El conjunto formado por las funciones \(f(x)\) que son continuas en un determinado dominio \(D\) se denota por \({\cal C}(D)\).

Límite de una sucesión

Definición de límite de una sucesión. Sean \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de números reales. Diremos que el límite de la sucesión anterior vale \(x\) y escribiremos: \[ \lim_{n\to\infty}x_n =x, \] si para todo valor \(\epsilon >0\), existe un valor \(n_0\) tal que para todo valor \(n\geq n_0\), todos los elementos de la sucesión \(x_n\) están en el intervalo \((x-\epsilon,x+\epsilon)\), es decir, \(|x_n-x|<\epsilon\).

Límite de una sucesión

Ejemplo

Consideremos la sucesión \(x_n=1+\frac{1}{n}\). Tenemos que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1\). Veámoslo:

sea \(\epsilon >0\), hemos que hallar un valor \(n_0\) tal que si \(n\geq n_0\), \(|x_n-1|=\left|1+\frac{1}{n}-1\right|=\frac{1}{n}<\epsilon\).

Consideremos como valor \(n_0\) el primer entero que supera \(\frac{1}{\epsilon}\), es decir \(n_0 >\frac{1}{\epsilon}\).

Así, si \(n\geq n_0\), se cumplirá que \(\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n_0}<\epsilon\), tal como queríamos ver.

Continuidad y límite de sucesiones

Teorema. Sea \(f\) una función definida en un dominio \(D\subseteq\mathbb{R}\) y \(x_0\in D\). Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  • \(f\) es continua en \(x_0\),
  • Si \((x_n)_{n=1}^\infty\) es una sucesión de números reales con límite \(x_0\), entonces \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x_0)\).

Continuidad y límite de sucesiones

Ejemplo

Veamos usando el teorema anterior que la función \(f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\), si \(x\neq 0\) y \(f(0)=0\), no es continua en \(x_0=0\).

Para verlo, construiremos dos sucesiones \(x_n\) e \(y_n\), ambas con \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n =\lim_{n\to\infty}y_n=0\), pero \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq \lim_{n\to\infty}f(y_n)\). Como debe verificarse que para toda sucesión \(z_n\) con \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}z_n =0\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(z_n)=f(0)\), llegamos a una contradicción.

Sea \(x_n =\frac{1}{\pi n}\). La sucesión \(x_n\) cumple \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=0\) pero \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(x_n)=\lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac{1}{x_n}\right)=\lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\pi n}}\right)=\lim_{n\to \infty}\sin (\pi n)=0.\)

Sea ahora \(y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\). La sucesión \(y_n\) cumple \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}y_n=0\) pero \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(y_n)=\lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac{1}{y_n}\right)=\lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}}\right)=\lim_{n\to \infty}\sin \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1.\)

Derivabilidad

Para definir funciones suaves necesitamos el concepto de diferenciabilidad:

Definición de derivada en un punto. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una función real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\). Diremos que \(f\) es derivable en \(x_0\) o que existe la derivada de \(f\) en \(x_0\) cuando existe el límite siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, \] y, en caso en que exista, llamaremos a dicho límite derivada de la función \(f\) en \(x_0\) escrita matemáticamente como \(f'(x_0)\).

Derivabilidad

Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Relación derivabilidad y continuidad

Teorema. Sea \(f\) una función definida en un dominio \(D\subseteq\mathbb{R}\) y \(x_0\in D\). Entonces, si \(f\) es derivable en \(x_0\), \(f\) es continua en \(x_0\).

El conjunto formado por las funciones que son \(n\) veces derivables en un dominio \(D\subseteq\mathbb{R}\) se denota por \({\cal C}^n (D)\).

El conjunto formado por las funciones que admiten cualquier derivada en un dominio \(D\subseteq\mathbb{R}\) se denota por \({\cal C}^\infty (D)\).

Teoremas de Rolle y del valor medio

Los teoremas que vienen a continuación son claves para estimar el error cometido al evaluar funciones reales de variable real.

Teorema de Rolle. Suponga que \(f\in {\cal C}([a,b])\) y \(f\) es derivable en \((a,b)\). Si \(f(a)=f(b)\), entonces existe un número \(c\) en \((a,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Teoremas de Rolle y del valor medio

Teorema de Rolle

Teorema de Rolle

Teoremas de Rolle y del valor medio

Ejemplo

Consideremos la función \(f(x)=\sin x\) definida en el intervalo \([0,\pi]\).

Tenemos que \(f(0)=f(\pi)=0\).

Por tanto existe un punto \(c\in (0,\pi)\) tal que \(f'(c)=\cos c=0\).

Este punto \(c\) vale \(c=\frac{\pi}{2}\) ya que \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\).

Teoremas de Rolle y del valor medio

Teorema del valor medio. Suponga que \(f\in {\cal C}([a,b])\) y \(f\) es derivable en \((a,b)\). Si \(f(a)=f(b)\), entonces existe un número \(c\) en \((a,b)\) tal que \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Teoremas de Rolle y del valor medio

Teorema del valor medio

Teorema del valor medio

Teoremas de Rolle y del valor medio

Ejemplo

Consideremos la función \(f(x)=x^2 \sin x\) definida en el intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).

Por tanto existe un punto \(c\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tal que \(f'(c)=\frac{f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\frac{\pi^2}{4}+\frac{\pi^2}{4}}{\pi}=\frac{\frac{\pi^2}{2}}{\pi}=\frac{\pi}{2}\).

Usando que \(f'(c)=2c\sin c+c^2\cos c=\frac{\pi}{2}\), el valor de \(c\) será un cero de la ecuación \(2c\sin c+c^2\cos c-\frac{\pi}{2}=0\).

Durante el curso veremos técnicas para hallar soluciones aproximadas de ecuaciones de este tipo. Hay dos valores de \(c\) en el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) que cumplen la condición anterior y valen aproximadamente \(c\approx\pm 0.792863\).

Teorema de los valores extremos

Teorema de los valores extremos. Sea \(f\in {\cal C}([a,b])\). Entonces existen dos valores \(c_1,c_2\in [a,b]\) tal que los valores de \(f(x)\) para todo \(x\in [a,b]\) están entre \(f(c_1)\) y \(f(c_2)\), es decir \(f(c_1)\leq f(x)\leq f(c_2)\), para cualquier \(x\in [a,b]\). Además, si \(f\) es derivable en \((a,b)\), los valores \(c_1\) y \(c_2\), o están en los extremos del intervalo, (es decir, \(c_i=a\) o \(c_i=b\), con \(i=1,2\)), o son extremos relativos de la función \(f\) y, por tanto \(f'(c_1)=f'(c_2)=0\).

Teorema de los valores extremos

Teorema de los valores extremos

Teorema de los valores extremos

Teorema de Rolle generalizado

El siguiente teorema se demuestra aplicando sucesivamente el Teorema de Rolle a las funciones \(f,\ f',\ldots,f^{(n-1)}\):

Teorema de Rolle generalizado. Suponga que \(f\in {\cal C}^n ([a,b])\). Supongamos que existen \(a\leq x_0 < x_1 < \cdots < x_{n}\leq b\), \(n+1\) puntos distintos en el intervalo \([a,b]\) con \(f(x_i)=0\), \(i=0,1,\ldots,n\). Entonces existe un punto \(c\in (x_0,x_n)\) tal que \(f^{(n)}(c)=0\), es decir, la derivada \(n\)-ésima en el punto \(c\) se anula.

Teorema de Rolle generalizado.

Demostración.

Para demostrar el Teorema de Rolle generalizado hay que aplicar el Teorema de Rolle a las funciones \(f,\ f',\ldots, f^{(n-1)}\) en el sentido siguiente:

  • Paso \(1\): como \(f(x_0)=f(x_1)=\cdots =f(x_n)=0\), aplicando el Teorema de Rolle a la función \(f\), existen \(x_1^{(1)}<x_2^{(1)}<\cdots <x_{(n)}^{(1)}\), \(n\) puntos en los que \(f'(x_i^{(1)})=0\), \(i=1,\ldots, n\).
  • Paso \(2\): como \(f'(x_1^{(1)})=f(x_2^{(1)})=\cdots =f(x_n^{(1)})=0\), aplicando el Teorema de Rolle a la función \(f'\), existen \(x_1^{(2)}<x_2^{(1)}<\cdots <x_{(n-1)}^{(2)}\), \(n\) puntos en los que \(f''(x_i^{(2)})=0\), \(i=1,\ldots, n-1\). Y así sucesivamente hasta llegar al paso
  • Paso \(n\): como \(f^{(n-1)}(x_1^{(n-1)})=f^{(n-1)}(x_2^{(n-1)})=0\), aplicando el Teorema de Rolle a la función \(f^{(n-1)}\), existe un valor \(c=x_1^{(n)}\) tal que \(f^{(n)}(c)=0\), tal como queríamos demostrar.

Teorema de Rolle generalizado

Ejemplo

Consideremos la función \(f(x)=(x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3)\), con \(x_0<x_1<x_2<x_3\) definida en el intervalo \(\left[x_0,x_3\right]\).

Como \(f(x_0)=f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0\), existirá un punto \(c\in (x_0,x_3)\) tal que \(f'''(c)=0\). Veamos cuál es este punto \(c\).

El valor de \(f'''(x)\) vale: \[ f'''(x)=24 x-6(x_0+x_1+x_2+x_3). \] Haciendo \(f'''(c)=0\), tenemos que el valor \(c\) vale: \(\displaystyle c=\frac{x_0+x_1+x_2+x_3}{4}\).

Teorema del valor intermedio

El Teorema del valor intermedio nos dice que si una función es continua, dicha función alcanza todos los valores entre \(f(a)\) y \(f(b)\):

Teorema del valor intermedio. Suponga que \(f\in {\cal C}([a,b])\) y \(k\) es cualquier valor entre \(f(a)\) y \(f(b)\), entonces existe un número \(c\) en \((a,b)\) tal que \(f(c)=k\).

Teorema del valor intermedio

Ejemplo

Consideremos la función anterior \(f(x)=x^2 \sin x\) definida en el intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).

Tenemos que \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi^2}{4}\), \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{4}\).

El Teorema del valor intermedio nos dice que para cualquier \(k\in\left(-\frac{\pi^2}{4},\frac{\pi^2}{4}\right)\), existe un valor \(c\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tal que \(f(c)=c^2\sin c=k\).

Por ejemplo, si \(k=0\), el valor de \(c\) sería \(c=0\); si \(k=\frac{\pi}{2}\in \left(-\frac{\pi^2}{4},\frac{\pi^2}{4}\right)\), existe un valor \(c\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tal que \(c^2\sin c=\frac{\pi}{2}\). Dicho valor se tiene que hallar usando métodos numéricos, concretamente usando técnicas de cálculo aproximado de ceros de funciones como veremos más adelante.

Integración de Riemann

La integral de Riemann se define básicamente para formalizar el cálculo de áreas de funciones:

Definición de integral de Riemann. Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real. Diremos que la integral de Riemann de la función \(f\) existe en el intervalo \([a,b]\) si el límite siguiente existe y escribiremos: \[ \int_a^b f(x)\, dx =\lim_{\delta(P)\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(z_i)\cdot (x_i-x_{i-1}). \] donde \(P=\{a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}\) es una partición del intervalo \([a,b]\), \(\delta(P)=\max_{i=1,\ldots,n}(x_i-x_{i-1})\) es el llamado diámetro de la partición y \(z_i\) es un valor cualquiera entre \(x_{i-1}\) y \(x_i\), \(z\in [x_{i-1},x_i]\).