Aplicación entre 2 conjuntos. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos dados. Una aplicación de \(A\) en \(B\) es una correspondencia que a cada elemento \(x\in A\) le asocia un, y solo un, elemento \(y\in B\)

Ejemplo de aplicación entre dos conjuntos

Aplicación exhaustiva. Sea \(f:A\longrightarrow B\) una aplicación. Se dice que \(f\) es exhaustiva si, y solo si, \(f(A) = B\). Es decir, si todos los elementos de \(B\) tienen una anti-imagen o antecendente:

\[\forall b\in B,\ \exists a\in A:\ f(a) = b\]

Ejemplo de aplicación exhaustiva

Aplicación inyectiva. Sea \(f:A\longrightarrow B\) una aplicación. Se dice que \(f\) es inyectiva si distintos elementos de \(A\) tienen distinta imagen.

\[x,y\in A,\ x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)\]

Esto es equivalente a decir que si dos elementos tienen la misma imagen para \(f\), entonces son el mismo

\[f(x) = f(y)\Rightarrow x = y\]

De la definición anterior, se deduce que en caso de tener una aplicación inyectiva, como máximo cada elemento de \(B\) tendrá una anti-imagen. En otras palabras, la anti-imagen de un elemento de \(B\) es o bien un elemento de \(A\) o bien el conjunto vacío, \(\emptyset\).

Aplicación biyectiva. Sea \(f:A\longrightarrow B\) una aplicación. Se dice que \(f\) es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez. Ello equivale a

\[\forall b\in B,\ \exists! a\in A:\ f(a) = b\]

Ejemplo de aplicación biyectiva

Una vez estudiada la estructura de espacio vectorial, a continuación estudiaremos las funciones o aplicaciones que conservan esta estructura.

Por lo general, este tipo de funciones recibe el nombre de morfismos, pero en el caso de espacios vectoriales, se utiliza más el término aplicación lineal.

Aplicación identidad. Es la aplicación \(I\) que transforma cada vector de \(E\) en sí mismo:

\[\begin{matrix}I:&E\longrightarrow E\\ &x\mapsto x \end{matrix}\]

En primer lugar, estudiaremos si hay alguna relación entre la imagen de una suma de vectores, \(I(x+y)\), y las imágenes de cada uno de los sumandos, \(I(x),I(y)\)

Por definición de la aplicación identidad:

\[I(x+y) = x+y\]

Por otro lado

\[\left.\begin{matrix}I(x) = x\\I(y) = y\end{matrix}\right\}\Rightarrow I(x)+I(y) = x+y\]

Con lo cual se cumple \[I(x+y) = x+y= I(x)+I(y)\]

Proposición. Dada la aplicación identidad, la imagen de la suma es la suma de imágenes.

En segundo lugar, estudiaremos si existe alguna relación entre la imagen de un escalar por un vector \(I(\lambda x)\) y la imagen del vector \(I(x)\).

Por definición de aplicación identidad:

\[I(\lambda x) = \lambda x\]

Por lo tanto, existe la siguiente relación

\[I(\lambda x) = \lambda x = \lambda I(x)\]

Proposición. Dada la aplicación identidad, la imagen del producto de un escalar por un vector es el escalar por la imagen de dicho vector.

Aplicación lineal. Sean \(E\) y \(F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales. Dada una aplicación \(f\) tal que

\[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

diremos que es lineal si se verifica que

\[\forall \vec{x},\vec{y}\in E,\quad f(\vec{x}+\vec{y})= f(\vec{x})+f(\vec{y})\] \[\forall \vec{x}\in E,\ \forall\lambda\in \mathbb{K},\quad f(\lambda\vec{x})= \lambda f(\vec{x})\]

Las dos condiciones anteriores son equivalentes a una tercera:

\[\forall \lambda,\mu\in\mathbb{K},\ \vec{x},\vec{y}\in E,\quad f(\lambda\vec{x}+\mu\vec{y}) = \lambda f(\vec{x})+\mu f(\vec{y})\]

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales y \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación. Entonces son equivalentes

• \(f\) es lineal
• \(f(\alpha\cdot x+\beta\cdot y) = \alpha\cdot f(x)+\beta\cdot f(y)\) para todos \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\) y \(x,y\in E\)
• \(f\left(\sum_{i = 1}^n\alpha_i \cdot x_i\right) = \sum_{i = 1}^n\alpha_i \cdot f(x_i)\) para todos los \(\alpha_i\in\mathbb{K}\) y \(x_i\in E\)

Propiedad. Dada una aplicación lineal \[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

La imagen del vector nulo \(\vec{0}_E\) de \(E\) es el vector nulo \(\vec{0}_F\) \[f(\vec{0}_E) = \vec{0}_F\]

Propiedad. Dada una aplicación lineal:

\[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

La imagen del vector opuesto es el opuesto de la imagen del original \[f(-\vec{x}) = -f(\vec{x})\]

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales y \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal. Entonces

• Si \(H\) es un subespacio vectorial de \(E\), entonces \(f(H)\) es subespacio vectorial de \(F\)
• Si \(K\) es un subespacio vectorial de \(F\), entonces \(f^{-1}(K)\) es un subespacio vectorial de \(E\)
• Si \(G\) es otro \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial y \(f:E\longrightarrow F\), \(g:F\longrightarrow G\) son aplicaciones lineales, entonces la aplicación \(g\circ f:E\longrightarrow G\) es lineal.

¡Ojo! Denotaremos por \(\mathcal{L}(E,F) = \{f:E\longrightarrow F\ |\ f\ \text{ es lineal}\}\)

Núcleo. Sea la aplicación lineal \[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

Se denomina núcleo de \(f\) y se denota como \(\ker(f)\) o \(\text{Nuc}(f)\) el conjunto de elementos de \(E\) tales que su imagen coincide con el cero de \(F\)

\[\ker(f) = \{\vec{x}\in E:\ f(\vec{x}) = \vec{0}_F\}\]

Teorema. Sea la aplicación lineal \[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

Entonces \(\ker(f)\) es un subespacio vectorial de \(E\)

Imagen. Sea la aplicación lineal \[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

Se denomina imagen de \(f\) y se denota por \(\text{Im}(f)\) al conjunto de elementos de \(F\) que tienen una anti-imagen para \(f\)

\[\text{Im}(f) = \{\vec{y}\in F:\ \exists\vec{x}\in E:\ f(\vec{x}) = \vec{y}\}\]

Teorema. Dada la aplicación lineal \[\begin{matrix}f:&E\longrightarrow F\\ &x\mapsto f(x) \end{matrix}\]

Entonces \(\text{Im}(f)\) es un subespacio vectorial de \(F\).

Teorema. Si \(E\) es un espacio vectrorial de dimensión finita \(n\) y se tiene la aplicación lineal \(f:E\longrightarrow F\). Entonces, \(\text{Im}(f)\) es de dimensión finita menor o igual que \(n\)

\[\dim(\text{Im}(f))\le n\]

Sea \(f: E\longrightarrow F\) una aplicación lineal

Monomorfismo. Si \(f\) es inyectiva

Epimorfismo. Si \(f\) es exhaustiva

Isomorfismo. Si \(f\) es biyectiva

Endomorfismo. Si \(f\) va de un espacio al mismo. Es decir, si \(f\) es tal que \[f: E\longrightarrow E\]

Automorfismo. Si \(f\) es un endomorfismo biyectivo

Espacios vectoriales isomorfos. Si existe un isomorfismo \(f:E\longrightarrow F\). Lo denotamos por \(E\cong F\)

Proposición. Sea \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal, entonces

• \(f\) es monomorfismo si, y solo si, \(\ker(f) = \{\vec{0}_E\}\)
• \(f\) es epimorfismo si, y solo si, \(F = \text{Im}(f)\)

Teorema. Sean \(E\) y \(F\) espacios vectoriales de dimensión finita sobre \(\mathbb{K}\) y \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal, entonces son equivalentes:

• \(f\) es un isomorfismo
• \(\dim(E) = \dim(F)\) y \(ker(f)=\{0\}\)
• \(\ker(f) = \{0_E\}\) y \(Im(f) = F\)

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales isomorfos. Sea \(f:E\longrightarrow F\) un isomorfismo, entonces existe la aplicación inversa de \(f\), \(f^{-1}:F\longrightarrow E\) y es también lineal.

En el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, los subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal \(f:E\longrightarrow F\) están siempre relacionados por el siguiente teorema conocido como el Teorema del Rango

Teorema del Rango. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita y \(f: E \longrightarrow F\) una aplicación lineal. Entonces, \(\ker{(f)}\) e \(\text{Im}(f)\) son de dimensión finita y

\[\dim(E) = \dim(\ker(f))+\dim(\text{Im}(f))\]

Rango de una aplicación lineal. Sea \(f: E\longrightarrow F\) una aplicación lineal con \(\dim(E)=n\). Se denomina rango de \(f\) a la dimensión del subespacio vectorial imagen de \(f\)

\[\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f))\]

Observación. Fijaos que ahora el Teorema del Rango queda como

\[\dim(E) = \dim(\ker(f))+\text{rg}(f)\]

El Teorema del Rango nos permite ver una caracterización sencilla de cuándo dos espacios vectoriales finitos son isomorfos:

Proposición. Dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita \(E,F\) son isomorfos si, y solo si, \(\dim(E)=\dim(F)\)

Una versión similar al resultado anterior, pero referido a cuándo una aplicación \(f\) concreta es un isomorfismo es la siguiente:

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita y sea \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal. Entonces \(F\) es un isomorfismo si, y solo si, \(\dim(E) = \dim(F)\) y \(\ker{(f)} = \{0\}\)

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales y sea \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal

• si \(f\) es un monomorfismo y \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\) son un conjunto de vectores linealmente independientes del espacio vectorial \(E\) entonces, \[f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_n)\] son vectores linealmente independientes pertenecientes a \(F\)
• si \(f\) es un epimorfismo y \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\) son un conjunto generador de \(E\), entonces \(f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_n)\) generan \(F\)

Observación. Notad que la si \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\) generan \(E\) y \(f:E\longrightarrow F\) es una aplicación lineal cualquiera, entonces \(f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_n)\) generan \(\text{Im}(f)\). En el caso de ser \(f\) exhaustiva, \(\text{Im}(f) = F\) y, por tanto, en este caso \(f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_n)\) generarían todo \(F\)

Proposición. Sea \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal donde \(E,F\) son dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales con \(E\) de dimensión finita \(n\). Sea \(G\) un subespacio vectorial de \(E\). Entonces se verifica que

\[\dim(G) = \dim(G\cap \ker(f))+\dim(f(G))\]

Primer Teorema de Isomorfía. Sea \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal. Entonces \[E/\ker(f)\cong\text{Im}(f)\] Más concretamente, la aplicación que a cada clase módulo \(\ker(f)\) le hace corresponder la imagen por \(f\) de cualquiera de sus representantes, \([x]\mapsto f(x)\), es un isomorfismo de espacios vectoriales

Observación. El Teorema anterior es cierto para espacios vectoriales de cualquier dimensión, no necesariamente finita.

Nótese que el caso de dimensión finita es fácil de demostrar ya que la isomorfía viene dada porque tienen la misma dimensión: \[\dim(E/\ker(f)) = \dim(E)-\dim(\ker(f)) = \dim(\text{Im}(f))\]

Proposición. Sea \(f:E\longrightarrow F\) una aplicación lineal. Entonces \(f\) se puede poner como composición de tres aplicaciones lineales: una exhaustiva, una biyectiva y una inyectiva según el siguiente diagrama

\[\begin{matrix} E & \xrightarrow{f} & F\\ \downarrow_{\pi} & & \uparrow_{\iota}\\ E/\ker(f) & \xrightarrow{\varphi} & \text{Im}(f) \end{matrix}\]

donde \(\pi\) denota la proyección, \(\iota\) la inclusión y \(\varphi\) el isomorfismo dado por el Primer Teorema de Isomorfía. En definitiva, \[f = \iota\circ\varphi\circ\pi\]

Del Primer Teorema de Isomorfía podemos deducir un segundo:

Segundo Teorema de Isomorfía. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial y \(F,G\) subespacios vectoriales de \(E\). Entonces se cumple que \[(F+G)/F\cong G/(F\cap G)\]

Antes de entrar en definiciones formales, se deducirá la forma de estas matrices con un ejemplo

Después de este ejemplo, empecemos con un resultado que nos asegura que toda aplicación lineal \(f:E\longrightarrow F\) queda totalmente determinada si conocemos la imagen de los vectores de una base de \(E\) y que esta puede estar dada por \(n\) vectores cualesquiera, diferentes o no, de \(F\)

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales, \(E\) de dimensión finita, \(\{u_1,\dots,u_n\}\) una base de \(E\) y \(\{v_1,\dots,v_n\}\) \(n\) vectores cualesquiera de \(F\). Entonces existe una aplicación lineal \(f:E\longrightarrow F\) tal que:

\[f(u_i) = v_i\ \forall i= 1,\dots,n\]

y que además la aplicación \(f\) verifica que:

• \(f\) es monomorfismo si, y solo si, \(v_1,\dots,v_n\) son LI
• \(f\) es epimorfismo si, y solo si, \(v_1,\dots,v_n\) generan \(F\)
• \(f\) es isomorfismo si, y solo si, \(v_1,\dots,v_n\) son base de \(F\)

Observación. Este resultado también es válido para \(E\) de dimensión infinita.

De este modo, si \(\{u_i\ :\ i\in I\}\) es una base de \(E\) y \(\{v_i\ :\ i\in I\}\) son vectores cualesquiera pertenecientes a \(F\), entonces existe una aplicación lineal \(f:E\longrightarrow F\) tal que \(f(u_i) = v_i\) para todo \(i\in I\)

Sean \(E\) y \(F\) \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita, \(p\) y \(q\) respectivamente con \(B_E = \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_p\}\) una base de \(E\), \(B_F = \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_q\}\) una base de \(F\) y \(f: E\longrightarrow F\) una aplicación lineal

Matriz de una aplicación lineal. Se denomina matriz de \(f\) respecto de las bases \(B_E,B_F\) a aquella que tiene por columnas las coordenadas de los vectores \[(f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_p))\] en la base \(B_F= \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_q\}\)

Las imágenes de los vectores de la base \(B_E\) en la base \(B_F\) vienen dados por

\[f(\vec{u}_1)\in F\Rightarrow f(\vec{u}_1) = a_{11}\vec{v}_1+a_{21}\vec{v}_2+\cdots+a_{q1}\vec{v}_q\] \[f(\vec{u}_2)\in F\Rightarrow f(\vec{u}_2) = a_{12}\vec{v}_1+a_{22}\vec{v}_2+\cdots+a_{q2}\vec{v}_q\] \[\vdots\] \[f(\vec{u}_p)\in F\Rightarrow f(\vec{u}_p) = a_{1p}\vec{v}_1+a_{2p}\vec{v}_2+\cdots+a_{qp}\vec{v}_q\]

Esta expresión en forma matricial sería

\[(f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_p)) = (\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_q)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{q1} & a_{q2} & \cdots & a_{qp} \end{pmatrix}\]

Donde la columna \(i\) contiene las coordenadas del vector \(f(\vec{u}_i)\) en la base \(B_F\).

La matriz \(A\) será de orden \(q\times p\) con \(\dim(E) = p\) y \(\dim(F) = q\)

\[(f(\vec{u}_1),f(\vec{u}_2),\dots,f(\vec{u}_p)) = (\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_q)A\]

En caso de querer explicitar cuales son las bases consideradas en cada espacio vectorial, lo denotaremos por \[f:E_{B_E}\longrightarrow F_{B_F}\]

Nótese que se satisface

\[\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f)) = \dim(\langle f(e_1),\dots,f(e_n)\rangle) = \text{rg}(A)\]

Sea \(f: E\longrightarrow F\) una aplicación lineal, \(A\) la matriz asociada a \(f\) respecto de las dos bases \(B_E\) y \(B_F\) de \(E\) y \(F\) respectivamente.

Se va a hallar una relación entre las coordenadas en base \(B_E\) de un vector \(\vec{x}\in E\) y las coordenadas en la base \(B_F\) del vector \(f(\vec{x})\in F\)

Sea \(f: E\longrightarrow F\) una aplicación lineal y \(A\) la matriz asociada a \(f\) respecto de \(B_E\) y \(B_F\). Sean

• \(X_{B_E}\) las coordenadas en base \(B_E\) del vector \(\vec{x}\in E\)
• \(Y_{B_F}\) las coordenadas en base \(B_F\) del vector \(f(\vec{x})\in F\)

\[f(B_E) = B_FA\]

Se puede demostrar que \[AX_{B_E} = Y_{B_F}\]

Ecuación matricial de una aplicación lineal. \(AX_{B_E} = Y_{B_F}\) es la ecuación matricial de la aplicación lineal que relaciona las coordenadas de un vector \(\vec{x}\in E\) en una base \(B_E\) con las coordenadas \(f(\vec{x})\) en una base \(B_F\)

Observación. Entonces, toda matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}\) se puede considerar como la matriz asociada a una aplicación lineal \(f:E\longrightarrow F\), donde \(\dim(E) = n\), \(\dim(F)= m\), con respecto a unas bases dadas.

Si no especificamos nada, cuando digamos que \(A\) es la matriz asociada a una aplicación lineal \(f\), nos referimos a que lo es con respecto a las bases canónicas de \(E\) y \(F\) respectivamente.

Teorema. Sea \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) una matriz cuadrada de orden \(n\). Son equivalentes

• \(A\) es invertible
• Los vectores columna de la matriz \(A\) son una base de \(\mathbb{K}^n\)
• La aplicación lineal definida por \[\begin{matrix} f_A: & \mathbb{K}^n&\longrightarrow &\mathbb{K}^n\\ & X & \mapsto & AX \end{matrix}\] es biyectiva

Proposición. Sean \(E,F,G\) \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita y sean \(f:E\longrightarrow F\), \(g:F\longrightarrow G\) aplicaciones lineales. Sean \(B_E = \{e_1,\dots,e_n\}\), \(B_F = \{u_1,\dots,u_n\}\) y \(B_G = \{v_1,\dots,v_n\}\) bases de \(E,F\) y \(G\) respectivamente.

\[\underbrace{E_{B_E}\xrightarrow{f}F_{B_F}\xrightarrow{g}G_{B_G}}\\g\circ f\]

Sean \(A,C,D\) las matrices de \(f,g\) y \(g\circ f\) respectivamente. Entonces, \[D = CA\]

Corolario. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita y sean \(B_E=\{e_1,\dots,e_n\}\), \(B_F = \{v_1,\dots,v_n\}\) bases de \(E\) y \(F\) respectivamente. Sea \(f:E\longrightarrow F\) un isomorfismo y sean \(A,C\) las matrices asociadas a \(f\) y \(f^{-1}\) repecto a estas bases respectivamente. Entonces, \(A\) y \(C\) son invertibles y \(C = A^{-1}\)

Proposición. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales de dimensión finita \(n\) y \(m\) respectivamente. Entonces, el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de \(E\) a \(F\), \(\mathcal{L}(E,F)\) es de dimensión finita \(m\times n\)

Teorema. Sea la aplicación lineal \(f: E\longrightarrow F\)

• \(A\) la matriz de la aplicación lineal en las bases \(B_E\) y \(B_F\)
• \(C\) la matriz de la aplicación lineal en otras bases \(B'_E\) y \(B'_F\)
• \(P\) la matriz de cambio de base de \(B'_E\) a \(B_E\) (\(B'_E\xrightarrow{P} B_E\))
• \(Q\) la matriz de cambio de base de \(B'_F\) a \(B_F\) (\(B'_F\xrightarrow{Q}B_F\))

Entonces \[Q^{-1}AP = C\]

Corolario. Sea la aplicación lineal \(f: E\longrightarrow E\) y sean

• \(A\) la matriz de la aplicación lineal en la base \(B_E\)
• \(C\) la matriz de la aplicación lineal en la base \(B'_E\)
• \(P\) la matriz de cambio de base de \(B'_E\) a \(B_E\)

Entonces se cumple que \[P^{-1}AP = C\]

Determinante de un endomorfismo. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión finita \(n\) y sea \(f:E\longrightarrow E\) un endomorfismo. El determinante del endomorfismo \(f\) no es otro que

\[\det(f) = \det(A)\] donde \(A\) es la matriz asociada a \(f\) con respecto a una base de \(E\).

Observación. Si \(A'\) es la matriz asociada a \(f\) con respecto a alguna otra base de \(E\), tenemos que \(A' = P^{-1}AP\) y, con ello,

\[\det(A') = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \det(A)\]

Con lo cual, el determinante de un endomorfismo no depende de la base utilizada