Espacio vectorial. Un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo \(\mathbb{K}\) es un conjunto \(E\) no vacío y cerrado con las siguientes operaciones definidas:

• Ley de composición interna \[\forall\vec{x},\vec{y}\in E\Rightarrow \vec{x}+\vec{y}\in E\]
• Ley de composición externa\[\forall\vec{x}\in E,\alpha\in\mathbb{K}\Rightarrow\alpha\vec{x}\in E\]

que cumplen las siguientes condiciones

Condiciones de la ley de composición interna.

• Propiedad conmutativa: \[\vec{x}+\vec{y} = \vec{y}+\vec{x}\quad \forall\vec{x},\vec{y}\in E\]
• Propiedad asociativa: \[\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z}) = (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}\quad \forall\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in E\]
• Elemento neutro de la suma: \(\exists\vec{0}\in E:\ \vec{x}+\vec{0}= \vec{x}\quad \forall\vec{x}\in E\)
• Existencia del opuesto: \(\forall\vec{x}\in E,\ \exists-\vec{x}\in E:\ \vec{x}+(-\vec{x}) = (-\vec{x})+\vec{x} = \vec{0}\)

Condiciones de la ley de composición externa.

• Propiedad asociativa: \[\alpha(\beta\vec{x}) = (\alpha\beta)\vec{x}\quad \forall\vec{x}\in E,\alpha,\beta\in\mathbb{K}\]
• Elemento neutro del producto: \(\exists1\in\mathbb{K}:\ 1\vec{x} = \vec{x}\quad \forall\vec{x}\in E\)
• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de vectores:\[\alpha(\vec{x}+\vec{y}) = \alpha\vec{x}+\alpha\vec{y}\quad \forall\vec{x},\vec{y}\in E,\alpha\in\mathbb{K}\]
• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares:\[(\alpha+\beta)\vec{x} = \alpha\vec{x}+\beta\vec{x}\quad \forall\vec{x}\in E,\alpha,\beta\in\mathbb{K}\]

Vectores. Nombre que reciben los elementos de \(E\)

Escalares. Nombre que reciben los elementos de \(\mathbb{K}\)

Observación. En la definición anterior y en las propiedades aparecen dos sumas diferentes que denotamos del mismo modo por +. La suma de los elementos de \(E\) (la suma de vectores) y la suma de los elementos de \(\mathbb{K}\) (la suma de escalares). Del mismo modo, los elementos neutros de ambas sumas también los denotamos iguales, por 0, aunque sean diferentes (uno es un vector y, el otro, es un escalar). El contexto nos dirá en cada momento a qué suma y a qué elemento neutro nos estamos refiriendo.

Ocurre lo mismo con el producto. En caso de que pueda haber confusión, no se denotará ningún símbolo a la hora de referirnos a un producto de escalares, mientras que el producto de un escalar por un vector lo denotaremos por \(\alpha\cdot \vec{x}\). Aunque no siempre seremos capaces de mantener esa notación, del mimso modo que denotaremos indistintamente como vectores \(x\) o \(\vec{x}\)

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v., entonces el neutro y el puesto de un elemento cualquiera \(x\in E\) son únicos.

Proposición. De la definición de \(\mathbb{K}\)-e.v. se deducen las siguientes propiedades:

• \(0\cdot x = 0\)
• \(\lambda\cdot 0 = 0\)
• Si \(\lambda\cdot x = 0\), entonces \(x = 0\) o \(\lambda = 0\)
• \((-\lambda)\cdot x = -(\lambda\cdot x) = \lambda\cdot (-x)\). En particular, \((-1)\cdot x = -x\)
• \(\lambda\cdot (x-y) = \lambda\cdot x -\lambda \cdot y\)
• \((\lambda-\mu)\cdot x = \lambda \cdot x-\mu\cdot x\)

Subespacio vectorial. Sea \(F\subseteq E\) un subconjunto no vacío del espacio vectorial \(E\) sobre un cuerpo \(\mathbb{K}\). Diremos que \(F\) es un subespacio vectorial de \(E\) si, y solo si, se verifica

• La suma de dos elementos de \(F\) es otro elemento de \(F\): \[\forall\vec{x},\vec{y}\in F\Rightarrow\vec{x}+\vec{y}\in F\]
• El producto de un escalar por un elemento \(F\) es otro elemento de \(F\): \[\forall\vec{x}\in F,\ \alpha\in\mathbb{K}\Rightarrow\alpha\vec{x}\in F\]

Subespacios triviales. Si \(E\) es un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial, se verifica siempre que \(E\) y \(\{0\}\) son subespacios vectoriales de \(E\). Estos se denominan subespacios vectoriales triviales de \(E\) o impropios.

De las diapositivas anteriores, se deduce fácilmente que,

Proposición. Si \(F\) es un subespacio vectorial de \(E\), entonces

• \(\vec{0}\in F\)
• Si \(\vec{x}\in F\), entonces \(-\vec{x}\in F\)

Una gran utilidad de esta proposición es que si se comprueba que \(\vec{0}\not\in F\), entonces este conjunto no puede ser nunca un espacio vectorial.

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(F\) un subconjunto no vacío, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

• \(F\) es un subespacio vectorial
• \(F\) es un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial con las mismas operaciones de \(E\) restringidas a \(F\)
• \(F\) verifica \(ax+by\in F\quad\forall a,b\in\mathbb{K}\) y \(\forall x,y\in F\)
• Cualquier combinación lineal de vectores de \(F\) es un vector de \(F\), es decir, \(\sum a_ix_i\in F\quad\forall a_i\in\mathbb{K}\) y \(\forall x_i\in F\)

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial

• Si \((F_i)_{i\in I}\) es una familia cualquiera de subespacios vectoriales de \(E\), entonces \(\bigcap_{i\in I}F_i\) es un subespacio vectorial de \(E\) contenido en todos los \(F_i\) con \(i\in I\)
• Si \(F_1,\dots,F_n\) son subespacios vectoriales de \(E\), entonces

\[\sum_{i = 1}^nF_i = F_i+\cdots+F_n = \{x_1+\cdots+x_n\ |\ x_i\in F_i,\ i = 1,\dots, n\}\]

es un subespacio vectorial de \(E\) llamado subespacio vectorial suma que contiene todos los \(F_i\) con \(i = 1,\dots, n\)

Lo que nos dice la proposición anterior, en otras palabras, es que la intersección infinita de subespacios vectoriales es a su vez subespacio vectorial.

No obstante, la unión (finita o arbitraria) de subespacios vectoriales no es subespacio vectorial.

Por su parte, una suma finita de subespacios vectoriales sí es subespacio vectorial y sus elementos son de la forma descrita anteriormente.

En un subespacio vectorial sum \(F+G\), la expresión de cada elemento como suma de un elemento de \(F\) más un elemento de \(G\) no tiene por qué ser única y, por lo general, no lo es.

En este sentido, podemos dar las siguientes definiciones:

Suma directa. Sean \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(F,G\) subespacios vectoriales de \(E\). Entonces, si cada elemento del subespacio vectorial suma \(F+G\) se escribe de manera única como suma de un elemento de \(F\) más un elemento de \(G\), se dice que la suma de \(F\) y \(G\) es directa y se denota por \(F\oplus G\)

Complementarios en \(E\). Si además de tener \(F\oplus G\) se verifica \(E = F\oplus G\), se dice que \(F\) y \(G\) son complementarios en \(E\).

Proposición. Sean \(F\) y \(G\) dos subespacios vectoriales de un \(\mathbb{K}\)-e.v. \(E\). Entonces, la suma de \(F\) y \(G\) es directa si, y solo si, \(F\cap G = \{0\}\)

Corolario. Sean \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(F,G\) subespacios vectoriales de \(E\). Los subespacios \(F,G\) serán complementarios si verifican

• \(\forall x\in E\), \(\exists y\in F,\ z\in G\ :\ x = y+z\)
• \(F\cap G = \{0\}\)

El concepto de suma directa lo podemos generalizar a \(n\) sumandos del siguiente modo:

Suma directa. Sean \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(F_1,\dots,F_n\) subespacios vectoriales de \(E\). Entonces, diremos que la suma \(F_1+\cdots +F_n\) es directa si cada elemento de \(F_1+\cdots +F_n\) se escribe de manera única como suma de elementos de \(F_1,\dots,F_n\). Se denota por \(F_1\oplus\cdots\oplus F_n\)

En ocasiones disponemos de un subconjunto \(S\) de \(E\) que no es subespacio vectorial, pero estamos interesados en el más pequeño subespacio vectorial (con respecto a la inclusión) que contiene este subconjunto \(S\).

Este subespacios siempre existe ya que solo debemos considerar la familia de todos los subespacios vectoriales de \(E\) que contienen a \(S\) y entonces sabemos que su intersección es otro subespacio vectorial que, evidentemente, contiene a \(S\) y este será el más pequeño con la propiedad.

Subespacio vectorial generado por \(S\). Subespacio más pequeño que contiene a \(S\). Lo denotamos por \(\langle S\rangle\)

Diremos también que \(S\) es un conjunto o sistema generador o que \(S\) genera a \(\langle S\rangle\).

En definitiva, hemos visto que

\[\langle S\rangle = \bigcap_{\begin{matrix}S\subseteq F\\ F\text{ subespacio}\end{matrix}}F\]

De forma más general, definimos sistema generador como

Sistema generador. Dado un conjunto de vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\in E\), se dice que forman un sistema generador del espacio vectorial \(E\) si cualquier vector \(\vec{u}\in E\) se puede expresar como una combinación lineal de ellos. Es decir

\[\forall\vec{u}\in E,\ \exists\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K}:\ \vec{u} = \sum_{i = 1}^n\alpha_i\vec{u}_i\]

Proposición. Sea \(S\) un subconjunto cualquiera de un \(\mathbb{K}\)-e.v. \(E\). Entonces

\[\langle S \rangle = \{\alpha_1\cdot x_1+\cdots +\alpha_n\cdot x_n\ |\ n\in\mathbb{Z}^+;\ x_i\in S;\ \alpha_i\in\mathbb{K},\ i = 1,\dots,n\}\]

Es decir, \(\langle S\rangle\) es el subespacio formado por todas las combinaciones lineales posibles de elementos de \(S\)

Observación. A partir de la caracterización de subespacio generado por un subconjunto, queda claro que si tenemos dos subconjuntos de \(E\) de forma que \(S\subseteq S'\), entonces \(\langle S\rangle\subseteq\langle S'\rangle\)

En el caso en que \(S\) es finito, \(S = \{x_1,\dots,x_n\}\), entonces se puede escribir

\[\langle S\rangle = \langle x_1,\dots,x_n\rangle = \{\alpha_1\cdot x_1 +\cdots +\alpha_n\cdot x_n\ |\ \alpha_i\in\mathbb{K},\ i=1,\dots,n\}\]

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(S\subseteq E\). Si \(u\in\langle S\rangle\), entonces se tiene \(\langle S\cup \{u\}\rangle = \langle S\rangle\)

Lo que nos viene a decir esta proposición es que un mismo espacio o subespacio vectorial puede tener conjuntos de generadores diferentes.

Recordemos la definición de Combinación Lineal (CL)

Combinación lineal. Dados \(p\) vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_p\in\mathbb{K}^n\) y los escalares \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\in\mathbb{K}\), una combinación lineal de esos \(p\) vectores es un vector dado por una expresión de la forma

\[\alpha_1\vec{u}_1+\alpha_2\vec{u}_2+\cdots+\alpha_p\vec{u}_p\in\mathbb{K}^n\]

Dependencia lineal. Dados los vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_p\in\mathbb{K}^n\), diremos que son linealmente dependientes (LD) si la ecuación vectorial

\[\sum_{i = 1}^p\alpha_i\vec{u}_i = \vec{0}\]

tiene infinitas soluciones y por tanto los escalares \(\alpha_i\in\mathbb{K}\) pueden tomar valores no nulos

Dependencia lineal. Dados los vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_p\in\mathbb{K}^n\), diremos que son linealmente dependientes (LD) si alguno de ellos se puede expresar como una combinación lineal del resto:

\[\exists1\le i\le p:\ \sum_{k\ne i}\alpha_k\vec{u}_k = \vec{u}_i\]

Independencia lineal. Dados los vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_p\in\mathbb{K}^n\), diremos que son linealmente independientes (LI) si la ecuación vectorial

\[\sum_{i = 1}^p\alpha_i\vec{u}_i = \vec{0}\]

tiene como única solución la solución trivial. Es decir, \(\alpha_i = 0\ \forall i=1,2,\dots,p\)

Independencia lineal. Dados los vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_p\in\mathbb{K}^n\), diremos que son linealmente independientes (LI) si no es posible expresarlos como una combinación lineal del resto.

\[\not\exists1\le i\le p:\ \sum_{k\ne i }\alpha_k\vec{u}_k = \vec{u}_i\]

En el caso de un conjunto \(S\ne\emptyset\), \(S\subseteq E\) finito o no, diremos que \(S\) es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de \(S\) lo es.

Es dedir, si cualquier combinación lineal de un número finito de elementos de \(S\) es igual a 0, implica que todos los escalares deben ser 0.

De forma análoga, diremos que \(S\) es linealmente dependiente si existen un número finito de elementos de \(S\) y una combinación suya igual a 0 donde no todos los escalares son 0

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial, entonces los vectores \(x_1,x_2,\dots,x_n\in E\) son linealmente dependientes si, y solo si, uno de ellos es combinación lineal del resto.

Observación. Como habréis notado, nosotros habíamos dado como definición alternativa de dependencia lineal esta proposición. En muchos casos es así y en otros muchos se toma como propiedad. Por eso aquí hemos incluído ambas opciones.

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial y \(S\subseteq E\) un conjunto linealmente independiente. Si \(u\not\in \langle S\rangle\), entonces \(S\cup\{u\}\) es linealmente independiente

Base de \(E\). Un conjunto de vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\in E\) son una base de \(E\) si

• \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\) es un sistema generador de \(E\)
• \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\) son linealmente independientes

Teorema. Sean \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(B\subseteq E\). Entonces, \(B\) es una base de \(E\) si, y solo si todo vector \(\vec{u}\in E\) se puede expresar como una combinación lineal de \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\in B\) de manera única

\[\forall\vec{u}\in E,\ \exists!\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K}:\ \vec{u} = \sum_{i = 1}^n\alpha_i\vec{u}_i\]

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. finitamente generado y sea \(S=\{u_1,\dots,u_n\}\) un conjunto de generadores. Entonces \(E\) tiene una base finita \(B\) de forma que \(B\subseteq S\)

Teorema de Steinitz. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v., sea \(B = \{u_1,\dots,u_n\}\) una base de \(E\) y sean \(v_1,\dots,v_m\) vectores linealmente independientes. Entonces, se pueden sustituir \(m\) vectores cualesquiera de la base \(B\) por los \(v_1,\dots,v_m\) obteniendo así una nueva base. En particular, se tiene que necesariamente \(m\le n\).

Teorema. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. Si \(E\) tiene una base finita, digamos \(B = \{u_1,\dots,u_n\}\), entonces todas las bases de \(E\) son finitas y tienen exactamente \(n\) elementos.

Como hemos visto hasta ahora, un espacio vectorial tiene infinitas bases. En cada espacio vectorial, hay una que tiene características especiales. Esta no es otra que la base canónica.

Como también hemos visto que el número de elementos de una base de un espacio vectorial \(E\) dado es único, tiene sentido definir la dimensión de \(E\).

\(E\) de dimensión finita. Sea \(E\ne\{0\}\) un \(\mathbb{K}\)-e.v.. Diremos que \(E\) es de dimensión finita si existe \(n\in\mathbb{Z}^+\) y una base de \(E\) (y, por tanto, todas) formada por \(n\) vectores.

Dimensión de \(E\). Es el número \(n\) de vectores que conforman cualquiera de sus bases. Lo denotamos \(\dim(E)\)

Observación. Si \(E = \{0\}\), no tendrá base, pero diremos que es de dimensión finita y con \(\dim(E) = 0\)

\(E\) de dimensión infinita. Si \(E\) no tiene ninguna base finita. En este caso, lo denotaremos como \(\dim(E) = +\infty\)

¡Ojo! Puede que a veces nos haga falta escribir la dimensión indicando sobre que cuerpo estamos trabajando.

Entonces, lo que haremos será escribir \(\dim_{\mathbb{K}}(E)\)

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. de dimensión finita y sea \(B = \{u_1,\dots,u_n\}\) una base de \(E\)

1. Si \(v_1,\dots,v_n\) son L.I., entonces son base de \(E\)
2. Si \(v_1,\dots,v_n\) generan todo \(E\), entonces son base de \(E\)
3. La dimensión de \(E\), coincide con el máximo número de vectores LI y con el mínimo número de generadores
4. Todo conjunto de vectores LI de \(E\) se puede completar hasta una base de \(E\)
5. Si \(F\) es un sub-e.v. de \(E\), entonces \(F\) también es de dimensión finita y \(\dim(F)\le\dim(E)\). Además, \(\dim(F) = \dim(E)\) si, y solo si \(F = E\)

Corolario. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. Entonces \(E\) es de dimensión infinita si, y solo si, podemos encontrar conjuntos de vectores LI de cardinal finito tan grandes como queramos

Corolario. Si \(E\) es un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(E = \langle u_1,\dots,u_n\rangle\) entonces \(E\) es de dimensión finitay \(\dim(E)\le n\). Es decir, todo \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial finitamente generado es de dimensión finita menor o igual al número de generadores

Teorema. Fórmula de Grassmann. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. de dimensión finita y sean \(F\) y \(G\) subespacios vectoriales de \(E\). Entonces se verfica \[\dim(F+G)+\dim(F\cap G) = \dim(F)+\dim(G)\]

Observación. Notemos que si tenemos una suma directa, \(F\oplus G\), tenemos que \(F\cap G = \{0\}\), lo que equivale a decir \(\dim(F\cap G) = 0\). Por tanto, por el Teorema anterior, tenemos \[\dim(F\oplus G) = \dim(F) + \dim(G)\]

Corolario. Sean \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. de dimensión finita y \(F,G\) sub-e.v. de \(E\). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• \(F\) y \(G\) son complementarios (\(E = F\oplus G\))
• \(F\cap G = \{0\}\) y \(\dim(E)= \dim(F)+\dim(G)\)

Corolario. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión finita, entonces todo subespacio vectorial \(F\) admite al menos un complementario.

¿Cómo construimos nuevos espacios vectoriales a partir de otros conocidos?

Esto es lo que veremos a lo largo de este apartado

Espacio vectorial producto. Sean \(E,F\) dos \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales. Definimos sobre el conjunto producto cartesiano \(E\times F\) las siguientes operaciones:

\[(u,v)+(u',v') = (u+u',v+v')\] \[\alpha\cdot(u,v) = (\alpha\cdot u,\alpha\cdot v)\]

donde \(u,u'\in E\), \(v,v'\in F\) y \(\alpha\in\mathbb{K}\). Es inmediato ver que con estas operaciones, el conjunto \((E\times F,+,\cdot)\) es un \(\mathbb{K}\)-e.v. llamado espacio vectorial producto o espacio vectorial suma directa de \(E\) y \(F\).

Lo denotaremos habitualmente por \(E\oplus F\)

Observación. El elemento neutro del \(\mathbb{K}\)-e.v. será \((0,0)\), donde el primer \(0\) es el elemento neutro de \(E\), mientras que el segundo, es el elemento neutro de \(F\)

De forma análoga, el opuesto de cualquier elemento \((u,v)\in E\oplus F\) será \((-u,-v)\in E\oplus F\)

¡Atención! Anteriormente hemos hablado de suma directa de subespacios vectoriales y ahora de suma directa de espacios vectoriales. Ambos se denotan del mismo modo, \(\oplus\).

Así pues, dados dos subespacios vectoriales \(F,G\) de un \(\mathbb{K}\)-e.v. \(E\), tenemos que \(F,G\) pueden ser considerados también como \(\mathbb{K}\)-e.v. y, por tanto \(F\oplus G\) denota a la vez dos objetos inicialmente diferentes:

• Suma directa de subespacios vectoriales de \(E\) \[F\oplus G = \{z\in E\ |\ z = x+y\ \text{ para ciertos }x\in F,\ y\in G\}\]
• Suma directa como \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales \[F\oplus G = \{(x,y)\ |\ x\in F,\ y\in G\}\]

Lo indicado en la diapositiva anterior no lleva a ninguna confusión porque, como veremos más adelante, los dos conjuntos corresponden a \(\mathbb{K}\)-espacios vectoriales isomorfos, es decir, identificables desde el punto de vista de la estructura de espacio vectorial que manejamos.

La definición de espacio producto o espacio suma directa se puede generalizar a \(n\) sumandos:

Espacio vectorial producto. Sean \(E_1,\dots,E_n\) \(\mathbb{K}\)-e.v. cualesquiera. Definimos el \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial producto o suma directa de \(E_1,\dots,E_n\) como \[E_1\oplus\cdots\oplus E_n = \{(\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n)\ |\ \vec{u}_i\in E_i,\ \text{ para }i= 1,\dots,n\}\]

Con las operaciones suma y producto por escalares definidas componente a componente

\[(\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n)+(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n) = (\vec{u}_1+\vec{v}_1,\dots,\vec{u}_n+\vec{v}_n)\]\[\alpha\cdot(\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n) = (\alpha\cdot \vec{u}_1,\dots,\alpha\cdot\vec{u}_n)\]

donde \(\vec{u}_i,\vec{v}_i\in E_i,\ \forall i = 1,\dots, n\) y \(\alpha\in\mathbb{K}\)

Proposición. Sean \(E,F,E_1,\dots,E_n\) \(\mathbb{K}\)-e.v.

• Si \(E,F\) son de dimensión finita, entonces \(E\oplus F\) también lo es y \[\dim(E\oplus F) = \dim(E)+\dim(F)\]
• Si todos los \(E_i\) son de dimensión finita y \(\dim(E_i) = n_i\ \forall i=1,\dots,n\), entonces \(E_1\oplus\cdots\oplus E_n\) también es de dimensión finita y \[\dim(E_1\oplus\cdots\oplus E_n)=\dim(E_1)+\cdots+\dim(E_n) = \sum_{i = 1}^n n_i\]

Relación módulo \(F\). Sean \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial y \(F\) un subespacio vectorial de \(E\) cualquiera. Definimos sobre \(E\) la siguiente relación llamada relación módulo \(F\)

\[x\sim_{F}y \Leftrightarrow x-y\in F\]

La relación definida anteriormente sobre \(E\) es siempre una relación de equivalencia cualquiera que sea el subespacio vectorial \(F\) ya que

• Reflexiva: \(\forall x\in E\), tenemos que \(x\sim_F x\) ya que \(x-x = 0\in F\) por ser \(F\) subespacio vectorial
• Simétrica: \(\forall x,y\in E\), si \(x\sim_F y\), tenemos que \(x-y\in F\) y, por tanto, su opuesto también pertenece a \(F\), \(y-x\in F\). Es decir, tenemos \(y\sim_F x\)
• Trasitiva: Si tenemos \(x,y,z\in E\) tales que \(x\sim_F y\) y \(y\sim_F z\), entonces \(x-y,y-z\in F\). Por tanto, su suma también es de \(F\), es decir, \[(x-y)+(y-z) = x-z\in F\Leftrightarrow x\sim_F z\]

De esta manera podemos considerar el conjunto cociente, denotado como \(E/F\) formado por todas las clases de equivalencia módulo \(F\).

Clase de equivalencia módulo \(F\). Dado \(x\in E\), su clase de equivalencia módulo \(F\) la denotamos por \([x]_F\) y viene dada por \[[x]_F = \{y\in E\ |\ y\sim_F x\} = \{y\in E\ |\ y-x = z\in F\}\] \[=\{y\in E\ |\ y = x+z,\ z\in F \} = \{x+z\ |\ z\in F\} = x+F\]

Observación. La clase del \(0\) coincide con el propio subespacio \(F\) \[[0]_F = \{0+z\ |\ z\in F\} = F\]

De hecho, más generalmente tenemos

\[[x]_F = [0]_F\Leftrightarrow x\sim_F0\Leftrightarrow x\in F\ \text{y en estos casos }[x]_F = F\]

Estas clases de equivalencia se denominan variedades lineales

Variedad lineal. Es la suma de un vector y un subespacio vectorial

Como hemos visto, las variedades lineales solamente son subespacios vectoriales cuando \(x\in F\), o equivalentemente, cuando la variedad contiene el \(0\in E\), coincidiendo en estos casos con el propio subespacio \(F\).

Dentro del conjunto cociente \(E/F = \{[x]_F\ |\ x\in E\}\) podemos definir las siguientes operaciones de clases de equivalencia, a través de sus representantes:

\[[u]_F +[v]_F = [u+v]_F\] \[\alpha\cdot[u]_F = [\alpha\cdot u]_F\]

Veamos que las operaciones anteriores están bien definidas. En otras palabras, comprobemos que no dependen del representante elegido:

• SUMA: Supongamos que \([x]_F = [x']_F\) y que \([y]_F = [y']_F\). Queremos ver que si sumamos a través de los representantes \(x,y\) o \(x',y'\), el resultado es el mismo. Como era de esperar \[[x]_F = [x']_F\Leftrightarrow x\sim_F x'\Leftrightarrow x-x'\in F\]\[[y]_F = [y']_F\Leftrightarrow y\sim_F y'\Leftrightarrow y-y'\in F\] y consecuentemente sumando obtenemos que \[x+y-(x'+y')\in F\Leftrightarrow (x+y)\sim_F(x'+y')\Leftrightarrow [x+y]_F = [x'+y']_F\]

• PRODUCTO por escalares: De forma similar, si \(\alpha\in\mathbb{K}\) y \([x]_F = [x']_F\), tenemos que \(x-x'\in F\) y, entonces, \[\alpha\cdot(x-x')\in F\Leftrightarrow \alpha\cdot x-\alpha\cdot x'\in F\Leftrightarrow [\alpha\cdot x]_F = [\alpha\cdot x']_F\]

Con todo lo visto hasta el momento, es fácil ver que el conjunto cociente \(E/F\) junto con estas operaciones es un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial:

Espacio vectorial cociente. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. y \(F\) un sub-e.v. de \(E\) cualquiera. Definimos el espacio vectorial cociente de \(E\) por \(F\) al \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial dado por \((E/F,+,\cdot)\) con las operaciones

\[[u]_F +[v]_F = [u+v]_F\] \[\alpha\cdot[u]_F = [\alpha\cdot u]_F\]

donde \(\alpha\in\mathbb{K}\), \(u,v\in E\)

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-e.v. de dimensión finita, \(\dim(E) = n\) y sea \(F\) un subespacio vectorial. Entonces, \(E/F\) es también de dimensión finita y \[\dim(E/F) = \dim(E)-\dim(F)\]

En dimensiones infinitas, la fórmula anterior ya no sería válida. Un ejemplo de ello es el \(\mathbb K\)-espacio vectorial de los polinomios \(\mathbb K[x]\).

Si \(p(x)\in\mathbb K[x]\) es un polinomio no constante cualquiera, y consideramos el subconjunto de los múltiplos de \(p(x)\), que denotamos por

\[F=(p(x)) = \{p(x)q(x)| q(x)\in\mathbb K[x]\}\]

se puede demostrar fácilmente que \(F=(p(x))\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb K[x]\), ya que la suma de múltiplos de \(p(x)\) es múltiplo de \(p(x)\) y el producto de un escalar por un múltiplo de \(p(x)\) también es múltiplo de \(p(x)\). Además es de dimensión infinita ya que podemos demostrar que no puede tener un número finito de generadores como ocurría con el caso de \(\mathbb K[x]\).

En este caso podemos definir el \(\mathbb K\)-espacio vectorial cociente \(\mathbb K[x]/F\) con \(F=(p(x))\) donde la relación módulo \(F\) sería:

\[a(x)\sim_F b (x)\Longleftrightarrow a(x) - b(x) \in F = (p(x))\]

Proposición. Sea \(p(x)\in\mathbb{K}[x]\) un polinomio no constante y de grado \(\deg(p(x)) = n\ge 1\). Entonces, dentro de cada clase no nula de un polinomio \(a(x)\in \mathbb K[x]\), \([a(x)]_F\) hay un representante de grado menor a \(n\)

Proposición. Sea \(p(x)\in\mathbb{K}[x]\) un polinomio no constante de grado \(\deg(p(x))= n\ge 1\). Entonces, las clases \([1],[x],[x^2],\dots,[x^{n-1}]\) forman una base de \(\mathbb{K}[x]/(p(x))\), y, por lo tanto, \[\dim(\mathbb{K}[x]/(p(x))) = n = \deg(p(x))\]

Observación. En el caso en que hiciésemos \(\mathbb{K}[x]/(p(x))\) donde \(p(x)\) fuese un polinomio constante, entonces tendríamos que \((p(x)) = \mathbb{K}[x]\) ya que las constantes son invertibles y todo polinomio se puede poner como múltiplo de una constante cualquiera (ya que \(p(x) = k(1/k\cdot p(x))\ \forall k\in \mathbb K^*\))

De este modo, \(\mathbb{K}[x]/(p(x))\) sería el \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial trivial, el \({0}\).

Rango de un conjunto de vectores. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial cualquiera. Se llama rango de vectores \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\in E\) a la dimensión del subespacio vectorial que generan

\[\text{rg}\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n\} = \dim(\langle\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n\rangle)\]

que coincide con el número máximo de vectores LI que se pueden extraer del conjunto \(\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n\}\)

Otra definición de rango:

Rango de un conjunto de vectores. Dados \(\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n\in E\), se dice que tiene rango \(r\le n\) si existe como mínimo un subconjunto de \(r\) vectores LI entre ellos y no existe ninguno de \(r+1\) que sea LI.

En otras palabras, como bien se dijo anteriormente, es el número máximo de vectores LI que pueden extraerse del conjunto.

El rango de \(n\) vectores está relacionado con el rango de una matriz tal y como veremos a continuación.

En primer lugar, recordemos que dado un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión \(n\) y \(B=\{e_1,\dots,e_n\}\) una base cualquiera de \(E\), todo vector \(x\in E\) se escribe de manera única como combinación lineal de la base \(B\) de la forma \[x = \sum_{i = 1}^n\alpha_i\cdot e_i = \alpha_1\cdot e_1+\cdots+\alpha_n\cdot e_n\]

Por tanto, podemos dar la siguiente definición:

Coordenadas de un vector en base \(B\). Son los escalares \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) de la combinación lineal anterior

Más formalmente,

Coordenadas en una base. Dado un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial \(E\) con una base \(B = \{e_1,\dots,e_n\}\) y un vector \(u\in E\), se sabe que existen unos únicos escalares \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K}\) tales que:

\[u = \sum_{i = 1}^n\alpha_i\cdot e_i\]

Estos escalares se denominan coordenadas del vector \(u\) en la base \(B\).

\[u = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)_B\]

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión finita \(n\) y \(B=\{e_1,\dots,e_n\}\) una base de \(E\). Sean \(u_1,\dots,u_m\in E\) vectores de forma que cada \(u_j\) tiene coordenadas en la base \(B\) dadas por \[u_j = \sum_{i = 1}^n a_{ij}\cdot e_i = a_{1j}\cdot e_1+\cdots+a_{nj}\cdot e_n\]

Entonces,

• \(u_1,\dots,u_m\) son LI si, y solo si, \(\text{rg}(A) = m\le n\)
• \(\text{rg}(u_1,\dots,u_m) = \text{rg}(A)\)

Por la proposición anterior, un método para calcular el rango de un conjunto de vectores consiste en construir una matriz utilizando los vectores como columnas (o filas) y definir el rango de la matriz como el rango de sus vectores columna (o fila).

Observación. Si se nos facilitan las coordenadas de un vector sin especificar la base, se sobreentiende que se trata de la base canónica.

También reciben el nombre de coordenadas cartesianas y son las que en temas anteriores hemos definido como las componentes de un vector.

Sabemos que las coordenadas de un vector son únicas en cada base, pero distintas cuando cambian de base.

Partiendo de este punto, el problema que se nos plantea es el de calcular las coordenadas de un vector en cierta base \(B'\) dadas las coordenadas del mismo en otra base \(B\).

Se necesitará pues conocer la relación entre ambas bases.

Dadas las bases \(B_u = \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n\}\) y \(B_v = \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}\) de un espacio vectorial \(E\), si queremos calcular las coordenadas de los vectores de \(B_u\) en la base \(B_v\), se han de expresar los vectores \(\vec{u}_i\) como combinación lineal de los vectores de \(\vec{v}_i\)

Veamos de dónde sale la relación anterior:

Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión finita \(n\) y sean \(B_u = \{u_1,\dots,u_n\}\) y \(B_v = \{v_1,\dots,v_n\}\) dos bases de \(E\).

Considremos un vector \(x\in E\) y sean \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)_{B_u}\) y \((\beta_1,\dots,\beta_n)_{B_v}\) las coordenadas del vector \(x\) en las bases \(B_u\) y \(B_v\) respectivamente.

Entonces,

\[x = \sum_{i = 1}^n\alpha_i\cdot u_i\qquad x=\sum_{j = 1}^n\beta_j\cdot v_j\]

Ahora bien, los elementos de la base \(B_v\) tienen también unas coordenadas en la base inicial \(B_u\).

Digamos que \(v_j = \sum_{i = 1}^n a_{ij}\cdot u_i\quad j=1,\dots,n\)

y si sustituimos los \(v_j\) por sus expresiones, obtenemos

\[x=\sum_{j = 1}^n\beta_j\cdot v_j = x=\sum_{j = 1}^n\beta_j\cdot \left(\sum_{i = 1}^n a_{ij}\cdot u_i\right)\] \[= \sum_{j = 1}^n\sum_{i = 1}^n (\beta_j a_{ij})\cdot u_i = \sum_{i = 1}^n\left(\sum_{j = 1}^n \beta_ja_{ij}\right)\cdot u_i\]

Ahora como que las coordenadas de \(x\) en la base \(B\) son únicas, se debe verificar que

\[\alpha_i = \sum_{j = 1}^n\beta_ja_{ij}\quad \text{para todo }i=1,\dots,n\]

Esta expresión la podemos escribir de forma matricial como \(PX_v = X_u\) donde \(X_u\) es la matriz columna formada por las coordenadas de \(x\) en la base \(B_u\) (los \(\alpha_i\)), \(X_v\) es la matriz columna de las coordenadas de \(x\) en la base \(B_v\) y \(P\) es la matriz de las \(a_{ij}\)

Observación. La columna \(j\)-ésima de \(P\) está formada por las coordenadas, en la base \(B_u\), del correspondiente vector \(v_j\) de la base \(B_j\)

De esta manera tenemos la ecuación en forma matricial \[PB_v = B_u\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \]

que nos da las coordenadas de \(x\) en la base \(B_u\) en función de las coordenadas del propio \(x\) en la base \(B_v\)

Matriz de cambio de base. La matriz \(P\) anterior es la matriz del cambio de la base \(B_u\) a la base \(B_v\) y se obtiene escribiendo los vectores de la base \(B_v\) en columna como combinación lineal de la base \(B_u\).

Además, las coordenadas de un vector \(x\) en la base \(B_u\) se obtienen multiplicando las coordenadas de \(x\) en la base \(B_v\) por la matriz \(P\) del cambio de base

Proposición. Las matrices de cambio de base son siempre invertibles y, si \(P\) es la matriz del cambio de base de \(B_u\) a \(B_v\), entonces \(P^{-1}\) es la matriz del cambio de base de \(B_v\) a \(B_u\).

Proposición. Sea \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión \(n\) y sean \(B,B',B''\) bases de \(E\). Si \(P\) es la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) y \(Q\) es la matriz de cambio de base de \(B'\) a \(B''\), entonces la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B''\) es \(QP\)

Base ortogonal. Dada una base \(B = \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\}\) de un espacio vectorial \(E\), se dice que se trata de una base ortogonal si sus elementos son ortogonales dos a dos:

\[\langle\vec{u}_i,\vec{u}_j\rangle = 0\quad\forall i\ne j\]

Base ortonormal. Dada una base \(B = \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\}\) de un espacio vectorial \(E\), se dice que se trata de una base ortonormal si es ortogonal y todos sus elementos son unitarios:

\[\langle\vec{u}_i,\vec{u}_j\rangle = 0\quad\forall i\ne j\] \[||\vec{u}_i|| = 1\quad\forall i\]

Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Permite construir una base ortogonal a partir de una base cualquiera del espacio vectorial.

Vector ortogonal a un subespacio. Un vector \(\vec{u}\in E\) es ortogonal a un subespacio vectorial \(S\subseteq E\) si, y solo si, \[\langle\vec{u},\vec{x}\rangle = 0\quad\forall\vec{x}\in S\]

Teorema. Un vector \(\vec{u}\in E\) es ortogonal a un subespacio vectorial \(S\subseteq E\) si, y solo si, es ortogonal a todos los vectores de una base de \(S\).

Teorema. Dos subespacio \(V\) y \(W\) de \(E\) son ortogonales si:

\[\forall\vec{x}\in V,\ \forall\vec{y}\in W\Rightarrow \langle\vec{x},\vec{y}\rangle = 0\]

Teorema. Para que dos subespacios \(V\) y \(W\) sean ortogonales, es suficiente con que los vectores de una base de \(V\) sean ortogonales a los vectores de una base de \(W\)

Recordemos…

Proyección ortogonal. La proyección ortogonal de un vector \(\vec{u}\) sobre otro \(\vec{v}\), se expresa como

\[P_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\langle\vec{v},\vec{v}\rangle}\vec{v} = \frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \]

Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio. Dado \(S\) un subespacio vectorial de un espacio vectorial \(E\), todo vector \(\vec{u}\in E\) se descompone de manera única en:

\[\vec{u} = \vec{u}_S+\vec{u}_0\]

Con \(\vec{u}_S\in S\) y \(\vec{u}_0\in S^{\perp}\). En particular, el vector \(\vec{u}_S\in S\) se denomina vector proyección ortogonal de \(\vec{u}\) sobre \(S\).

Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio. Si se toma en \(S\) una base ortogonal \(\{\vec{s}_1,\vec{s}_2,\dots,\vec{s}_r\}\), la proyección de \(\vec{u}\) sobre \(S\) viene dada por \[P_{S}(\vec{u}) = \vec{u}_S = \sum_{i = 1}^r\frac{\langle\vec{u},\vec{s}_i\rangle}{||\vec{s}_i||^2}\vec{s}_i\]