Los vectores tienen un papel fundamental no solo en matemáticas sino también en la física, la ingeniería e incluso otros campos científicos.

Los vectores en general tienen dos vertientes íntimamente ligadas: la algebraica y la geométrica

En primer lugar, veremos los vectores desde un punto de vista geométrico.

Sea \(\mathbb{K}\) un cuerpo,

Punto en la recta \(\mathbb{K}\). Dados un origen y una unidad de longitud, cada punto de la recta viene definido por un, y solo un, escalar del cuerpo \(\mathbb{K}\) y viceversa

Punto en el plano \(\mathbb{K}^2\). Dados un origen, dos ejes (rectas) y una unidad de longitud, un punto del plano es un par \((x,y)\) donde \(x\) e \(y\) son dos elementos del cuerpo \(\mathbb{K}\)

Punto en el espacio \(\mathbb{K}^3\). Dados un origen, 3 ejes (rectas) y una unidad de longitud, un punto del espacio es una terna \((x,y,z)\) donde \(x,y\) y \(z\) son tres elementos del cuerpo \(\mathbb{K}\)

Punto en \(\mathbb{K}^n\). Se define como una \(n\)-tupla de números:

\[X = (x_1,\dots,x_n)\] donde \(x_1,\dots,x_n\in\mathbb{K}\) y \(n\) es la dimensión del espacio \(\mathbb{K}^n\)

Coordenadas de un punto. Son los valores \(x_1,\dots,x_n\in\mathbb{K}\) del punto \(X\)

Vector fijo. Es un par fijo de puntos \(P\) y \(Q\) que se denotará por \(\vec{PQ}\).

Origen. Punto \(P\) del vector \(\vec{PQ}\)

Extremo. Punto \(Q\) del vector \(\vec{PQ}\)

Normalmente los vectores en el plano o en el espacio de tres dimensiones se suelen representar mediante segmentos acabados en una punta de flecha en uno de sus dos extremos

Componentes cartesianas de un vector \(\vec{PQ}\) fijo. Vectores que se obtienen al proyectar el vector \(\vec{PQ}\) sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen, \(P\), de dicho vector

Componentes de un vector. El color rojo es para componentes positivas y el verde, para componentes negativas

Si denotamos \(P = (p_x,p_y)\) y \(Q = (q_x,q_y)\), entonces las componentes del vector \(\vec{PQ}\) se obtienen restando las coordenadas del punto extremo \(Q\) al punto de origen \(P\)

\[\vec{PQ} = (q_x-p_x,q_y-p_y)\]

El valor absoluto de las componentes del vector coincide con la de los catetos del triángulo rectángulo formado y tal que el vector sea su hipotenusa:

Triángulo rectángulo formado por las componentes del vector como catetos y el propio vector como hipotenusa

Caracterización de un vector fijo (I). En el contexto geométrico, las 4 características de un vector fijo son:

• Origen. Punto de aplicación donde empieza el vector
• Módulo. Longitud del segmento
• Dirección. Dirección de la recta a la cual pertenece el vector
• Sentido. Lo determina la punta de la flecha del vector

Caracterización de un vector fijo (II). Un vector fijo también queda completamente determinado por

• Sus componentes
• El punto origen

Caracterización de un vector fijo (III). Un vector fijo queda determinado si se conocen

• Las coordenadas del punto origen
• Las coordenadas del punto extremo

Vectores equivalentes. Diremos que dos vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{CD}\) son equivalentes si tienen las mismas componentes. Es decir, si \[(b_x-a_x,b_y-a_y) = (d_x-c_x,d_y-c_y)\]

Como acabamos de ver, todos los vectores fijos equivalentes entre sí tienen las mismas componentes.

En este sentido, es posible establecer una relación de equivalencia correspondiente, el vector libre.

Este representante define un conjunto infinito de vectores y los representa a todos ellos.

Vector libre. Conjunto de todos los vectores fijos equivalentes entre sí.

Un vector libre no tiene un origen fijo, sino que se puede ubicar en cualquier punto del espacio.

Cada vector fijo es un representante del vector libre.

Ejemplos de vectores libres: \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)

Vector fijo en el origen. Es el representante del vector libre que tiene su punto origen en el origen de coordenadas

En este caso, las coordenadas del punto extremo coinciden numéricamente con las componentes del vector, ya que el punto de origen es \(0 = (0,0)\)

Vector fijo en el origen

Por tanto, todo vector libre tiene un representante situado en el origen de coordenadas donde el punto extremo tiene las mismas coordenadas que las componentes del vector. Entonces, en este sentido podemos decir

Proposición. Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores libres y los puntos según el cual cada punto \(P = (p_x,p_y)\) del plano se identifica con un vector \(\vec{OP} = (p_x,p_y)\)

Caracterización de un vector libre (I). Para caracterizar un vector libre se necesita:

• Módulo. Al igual que para los vectores fijos, viene dado por la longitud del segmento

• Dirección. Viene dado por el ángulo que forma el vector con la dirección positiva del eje \(OX\)

• Sentido. Viene dado por el ángulo que forma el vector con la dirección positiva del eje \(OX\)

Caracterización de un vector libre (II). También se puede caracterizar un vector libre si se conocen las componentes

Suma de vectores. Dados \(\vec{u} = (u_1,\dots,u_n)\) y \(\vec{v} = (v_1,\dots,v_n)\), su suma es

\[\vec{w} = \vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,\dots,u_n+v_n)\]

Geométricamente es el vector formado por la diagonal del paralelogramo que tiene los dos vectores sumandos como lados y origen el mismo que ambos:

Suma de vectores

O bien, el vector que une el origen del primer sumando con el extremo del último, habiendo colocado cada origen de los vectores sumandos sobre el extremo del vector sumando precedente

Suma de vectores

Si se tuviesen que sumar más de dos vectores, resulta más útil la segunda forma que hemos mostrado,

Basta con colocar cada origen de los vectores sumandos sobre el extremo del vector sumando precedente

Suma de más de 2 vectores

Resta de vectores. Dados \(\vec{u} = (u_1,\dots,u_n)\) y \(\vec{v} = (v_1,\dots,v_n)\), su resta es

\[\vec{w} = \vec{u}-\vec{v} = (u_1-v_1,u_2-v_2,\dots,u_n-v_n)\]

Geométricamente, se realiza la suma entre el vector minuendo y el opuesto del sustraendo

Resta de vectores

Observación. Al realizar la resta \(\vec{u}-\vec{v}\) se busca un vector \(\vec{w}\) tal que si se le suma al sustraendo ha de dar el minuendo.

En definitiva,

\[\vec{u}-\vec{v} = \vec{w}\Leftrightarrow \vec{v}+\vec{w} = \vec{u}\]

Si se tiene un vector \(\vec{AB}\) obtenido a partir de los puntos \(A\) y \(B\) y se dibujan los vectores \(\vec{OA}\) y \(\vec{OB}\)

Entonces se puede ver como \(\vec{AB},\ \vec{OA},\ \vec{OB}\) forman un triángulo vectorial que cumple las relaciones siguientes:

Obtención de las componentes de un vector

Producto por escalar. Dados \(\vec{u} = (u_1,\dots,u_n)\in\mathbb{K}^n\) y \(\lambda\in\mathbb{K}\), su producto es

\[\lambda\vec{u} = (\lambda u_1,\lambda u_2,\dots,\lambda u_n)\]

Producto por escalar

El resultado de multiplicar un escalar \(\lambda \ne 0\) por un vector \(\vec{u}\) es otro vector \(\vec{v}\) de la misma dirección que \(\vec{u}\), de sentido igual o contrario dependiendo del signo del escalar (positivo o negativo, respectivamente) y de módulo igual a \(\lambda\) veces el de \(\vec{u}\)

Producto por escalar \(\lambda\)

Vectores paralelos. Dos vectores \(\vec{u} = (u_1,\dots,u_n)\) y \(\vec{v}=(v_1,\dots,v_n)\) son paralelos (o proporcionales) si existe un valor \(\lambda\ne0\) tal que \(\vec{u} = \lambda\vec{v}\)

Serán del mismo sentido si \(\lambda>0\) y de sentidos opuestos si \(\lambda<0\)

Combinación lineal de vectores. Dados \(V = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2,\dots,\vec{v}_k\}\) un conjunto de vectores de \(\mathbb{K}^n\) y \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\in\mathbb{K}\) se define la combinación lineal de los vectores de \(V\) como el vector \(\vec{w}\) tal que

\[\vec{w} = \sum_{i=1}^k\alpha_i\vec{v}_i = \alpha_1\vec{v}_1+\cdots+\alpha_k\vec{v}_k\]

La combinación lineal de vectores no es una operación nueva, sino que reune en un mismo lugar la suma de vectores y el porducto por escalares.

Para poder hacer combinaciones lineales de vectores, es necesario que todos ellos tengan el mismo número de componentes y el resultado será otro vector de estas mismas características.

Al definir las operaciones de suma y producto por un escalar, conviene tener presentes las diferencias y similitudes entre ambos

Ley de composición interna. La suma de vectores se denomina ley de composición interna ya que opera entre elementos de un conjunto dado, \(\mathbb{K}^n\) y el resultado es otro elemento de este conjunto

\[\begin{matrix}f:\mathbb{K}^n\times \mathbb{K}^n&\longrightarrow& \mathbb{K}^n\\ (\vec{u},\vec{v})&\mapsto&\vec{u}+\vec{v}\end{matrix}\]

Ley de composición externa. El producto de un escalar por un vector tiene como operandos conjuntos diferentes: escalares por un lado y vectores por el otro. El resultado cae del lado de los vectores y la operación se denomina ley de composición externa:

\[\begin{matrix}f:\mathbb{K}\times \mathbb{K}^n&\longrightarrow& \mathbb{K}^n\\ (\lambda,\vec{u})&\mapsto&\lambda\vec{u}\end{matrix}\]

Propiedades de la suma de vectores. Sean \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in\mathbb{K}^n\)

• Ley asociativa: \[(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} = \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\]
• Ley conmutativa: \[\vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}\]
• Elemento neutro de la suma: \[\vec{u}+\vec{0} = \vec{0}+\vec{u} = \vec{u}\]
• Vector opuesto: \[\vec{u}+(-\vec{u}) = (-\vec{u})+\vec{u} = 0\]

Propiedades del producto por un escalar. Sean \(\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{K}^n\) y \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\)

• Ley distributiva del producto por un escalar para la suma de vectores: \[\alpha(\vec{u}+\vec{v}) = \alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}\]
• Ley distributiva del producto de un vector por la suma de escalares: \[(\alpha+\beta)\vec{u} = \alpha\vec{u}+\beta\vec{u}\]
• Ley asociativa del producto entre escalares y vectores: \[(\alpha\beta)\vec{u} = \alpha(\beta\vec{u}) = \beta(\alpha\vec{u})\]
• Elemento unidad: \[1\vec{u} = \vec{u}\]

Producto escalar. Sean \(\vec{u} = (u_1,\dots,u_n)\) y \(\vec{v} = (v_1,\dots,v_n)\) dos vectores de \(\mathbb{R}^n\). Se define el producto escalar \(\vec{u}\cdot\vec{v}\text{ o } \langle\vec{u},\vec{v}\rangle\) como el número real

\[\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n\]

El producto escalar es la tercera operación básica entre vectores de \(\mathbb{R}^n\).

Del producto escalar es de donde se derivan los conceptos métricos como la ortogonalidad, la norma, el ángulo y se abre camino a múltiples aplicaciones geométricas y físicas del álgebra lineal.

Propiedades del producto escalar.

• Conmutativa: \(\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = \langle\vec{v},\vec{u}\rangle\)
• Distributiva respecto de la suma: \[\langle\vec{u},(\vec{v}+\vec{w})\rangle = \langle\vec{u},\vec{v}\rangle+\langle\vec{u},\vec{w}\rangle\]
• Asociativa y conmutativa entre escalares y vectores: \[\begin{matrix}\langle(\lambda\vec{u}),\vec{v}\rangle = \lambda\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\\ \langle\vec{u},(\lambda\vec{v})\rangle = \lambda\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\end{matrix}\]
• Si \(\vec{u} = 0\), entonces \(\langle\vec{u},\vec{u}\rangle = 0\)
• Si \(\vec{u}\ne 0\), entonces \(\langle\vec{u},\vec{u}\rangle >0\)

Norma. Dado \(\vec{u} = (u_1,u_2,\dots,u_n)\in\mathbb{R}^n\) su norma o longitud viene dada por

\[||\vec{u}|| = \sqrt{\langle\vec{u},\vec{u}\rangle} = \sqrt{{u}_1^2+{u}_2^2+\cdots+{u}_n^2}\]

Propiedades de la norma.

• \(||\vec{u}||>0,\ \forall\vec{u}\ne\vec{0}\)
• \(||\lambda\vec{u}|| = |\lambda|||\vec{u}||\)
• Desigualdad triangular: \(||\vec{u}+\vec{v}||\le ||\vec{u}||+||\vec{v}||\)
• Teorema de Pitágoras: \(||\vec{u}+\vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2\Leftrightarrow \vec{u}\perp\vec{v}\)
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: \(|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|\le||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\)

Vector unitario. Un vector \(\vec{e}\) es unitario si tiene norma 1. Es decir, si \[||\vec{e}|| = 1\]

Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos \(A\) y \(B\), se define la distancia entre ambos como \(\text{d}(A,B) = ||\vec{AB}|| = \sqrt{\langle\vec{AB},\vec{AB}\rangle}\)

Teorema. Dados dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) y \(\alpha\) el ángulo que forman ambos, entonces se cumple que

\[\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot \cos(\alpha)\]

Idea gráfica de lo que nos dice el Teorema

Teorema del coseno. En un triángulo \(\triangle{ABC}\) cualquiera y siendo \(\alpha,\beta,\gamma\) los ángulos y \(a,b,c\) los lados opuestos a los ángulos anteriores, entonces:

\[a^2 = b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}\]

Triángulo descrito en el Teorema

A continuación demostraremos el Teorema que nos da la igualdad

Ángulo entre dos vectores. Se define el ángulo que forman dos vectores como el valor real \(\alpha\) tal que

\[\cos(\alpha) = \frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}\]

Vectores ortogonales. Dos vectoresson ortogonales si su producto escalar es 0:

\[\vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow \langle\vec{u},\vec{v}\rangle= 0\Leftrightarrow \alpha =\frac{\pi}{2}\]

Vectores ortonormales. Dos vectores son ortonormales si son ortogonales y la norma de ambos es 1

Tal y como vimos anteriormente, una de las propiedades de la norma es que el producto escalar en valor absoluto de dos vectores es menor o igual al producto de sus normas

Proyección ortogonal. La proyección ortogonal de un vector \(\vec{v}\) sobre otro vector \(\vec{u}\) es un vector paralelo a \(\vec{u}\) tal que sumado a otro perpendicular a \(\vec{u}\) dará \(\vec{v}\)

Idea gráfica del significado de proyección ortogonal

Producto vectorial. Sean \(\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)\) y \(\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)\) dos vectores de \(\mathbb{R}^3\).El producto vectorial de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define como el vector

\[\vec{u}\wedge\vec{v} = (u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)\]

Propiedades del producto vectorial. Si se multiplica escalarmente,

\[\langle\vec{u},(\vec{u}\wedge\vec{v})\rangle = 0\] \[\langle\vec{v},(\vec{u}\wedge\vec{v})\rangle = 0\]

Donde se deduce que tanto \(\vec{u}\) como \(\vec{v}\) son ortogonales a su producto vectorial

Propiedades del producto vectorial. Geométricamente, el producto vectorial, \(\vec{u}\wedge\vec{v}\), representa el área del paralelogramo determinado por los dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\)

\[||\vec{u}\wedge\vec{v}|| = ||\vec{u}||\cdot h = ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\sin(\alpha)\]

Interpretación geométrica del producto vectorial

Producto vectorial como determinante.

\[\vec{u}\wedge\vec{v} = (u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)\] \[\vec{u}\wedge\vec{v} = (u_2v_3-u_3v_2)\vec{i}+(u_3v_1-u_1v_3)\vec{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\vec{k}\]

\[\vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}\]

Propiedades del producto vectorial.

• Propiedad anticonmutativa: \(\vec{u}\wedge\vec{v} = -\vec{v}\wedge\vec{u}\)
• Propiedad distributiva \[\vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}\\ (\vec{v}+\vec{w})\wedge\vec{u} = \vec{v}\wedge\vec{u}+\vec{w}\wedge\vec{u}\]
• Propiedad asociativa de vectores y escalares \[\alpha(\vec{u}\wedge\vec{v}) = (\alpha\vec{u})\wedge\vec{v}=\vec{u}\wedge\alpha\vec{v}\]
• \(\vec{u}\wedge\vec{0}=\vec{0}\wedge\vec{u} = \vec{0}\)
• \(\vec{u}\wedge\vec{u} = 0\)

Producto mixto. Sean \(\vec{u} = (u_1,u_2,u_3), \vec{v} =(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{w} = (w_1,w_2,w_3)\) tres vectores de \(\mathbb{R}^3\) distintos del 0. Entonces, el producto mixto de \(\vec{u},\vec{v}\) y \(\vec{w}\) se define como el vector

\[\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = \langle\vec{u},\vec{v}\wedge\vec{w}\rangle = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}\]

Vectores coplanarios. Si \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = 0\)

Esto ocurre porque si el determinante mostrado anteriormente vale 0, entonces tenemos que una de las filas es combinación lineal de las otras dos.

Propiedades del producto mixto.

• \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = u_1v_2w_3-u_1v_3w_2+u_2v_3w_1-u_2v_1w_3+u_3v_1w_2-u_3v_2w_1\)
• \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = \{\vec{v},\vec{w},\vec{u}\} = \{\vec{w},\vec{u},\vec{v}\} = -\{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\} = -\{\vec{u},\vec{w},\vec{v}\} = -\{\vec{w},\vec{v},\vec{u}\}\)
• Si los tres vectores son coplanarios, entonces \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = 0\)
• Si \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = 0\), entonces o algún vector es \(\vec{0}\) o los res vectores son coplanarios

3 vectores coplanarios

Propiedades del producto mixto. Geométricamente, el producto mixto, \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}\), representa el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores

Observación. \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} = ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}\wedge\vec{w}||\cdot\cos(\alpha)\) donde \(||\vec{v}\wedge\vec{w}||\) es el área de la base y \(||\vec{u}||\cos(\alpha)\) es la proyección escalar del vector \(\vec{u}\) sobre la dirección perpendicular a la base, es decir, la altura

Interpretación geométrica del producto mixto