Se resuelven transformando la ecuación inicial en otra equivalente utilizando las propiedades y definiciones vistas en el tema anterior.
Para hallar la incógnita necesitamos la matriz inversa
Método de resolución
Dada la ecuación matricial \[XP = Q-R\]
donde \(X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) es nuestra incógnita y \(P,Q,R\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) son matrices cuadradas conocidas.
Multiplicamos por la derecha en ambos miembros de la igualdad por \(P^{-1}\)
\[XPP^{-1}=(Q-R)P^{-1}\]
Como \(P^{-1}\) es la inversa de \(P\), se cumple que \(PP^{-1}=I_n\), donde \(I_n\) es la matriz identidad de orden \(n\). Entonces,
\[XI_n=(Q-R)P^{-1}\]
con lo cual \(X=(Q-R)P^{-1}\)
Ejemplo 1
Resolver la ecuación matricial \(P+QX=RS-TX\). ¿Qué condiciones tienen que cumplirse para poder hallar \(X\)?
En primer lugar, intentemos aislar \(X\):
\[P+QX=RS-TX\] \[QX+TX=RS-P\]
Ahora, podemos sacar factor común \(X\),
\[(Q+T)X = RS-P\]
Con lo cuál, para poder hallar \(X\), necesitamos que la matriz \((Q+T)\) sea invertible y así poder continuar multiplicando a la izquierda de cada miembro de la igualdad por \((Q+T)^{-1}\),
\[(Q+T)^{-1}(Q+T)X = (Q+T)^{-1}(RS-P)\] \[X = (Q+T)^{-1}(RS-P)\]
\[\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n & = & b_2\\ \vdots & \ & \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n & = & b_m\\\end{matrix}\right.\]
donde \(a_{ij},b_i\in\mathbb{K},\ i=1,2,\dots,m\) y \(j=1,2,\dots,n\)
\[\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n & = & 0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n & = & 0\\ \vdots & \ & \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n & = & 0\\\end{matrix}\right.\]
\[A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}\quad X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\quad B = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\]
\[(A|B) = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_m\\ \end{pmatrix}\]
Cada fila representa la ecuación correspondiente del sistema.
Dado un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas \(AX=B\), podemos clasificar los sistemas según tengan o no solución y, en caso de tener, según cuántas tienen:
\[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\]
siempre tiene, al menos, la
Con lo cual, el sistema homogéneo siempre es compatible.
Si rg\((A)<\)rg\((A|B)\), entonces el sistema es incompatible.
Ejemplo 2
Comprobemos si el siguiente sistema lineal tiene solución:
\[\left\{\begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &=& 9\\ 2x_1 &+& 4x_2 &-& 3x_3 &=& 1\\ 3x_1 &+& 6x_2 &-& 5x_3 &=& 0\end{matrix}\right.\]
Observemos que se trata de un sistema \(m = 3\) de ecuaciones y \(n = 3\) incógnitas.
Para averiguar de qué tipo de sistema se trata, calculemos rg\((A)\) y rg\((A|B)\), donde
\[A = \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 2&4&-3\\ 3&6&-5 \end{pmatrix},\qquad(A|B) = \begin{pmatrix} 1&1&2 &|& 9\\ 2&4&-3 &|& 1\\ 3&6&-5 &|& 0 \end{pmatrix}\]
Tenemos que rg\((A)=\)rg\((A|B)=3\). Por lo tanto, por el Teorema de Rouché-Frobenius, concluimos que el sistema es compatible determinado
De este modo, para resolver sistemas de la forma \(AX=B\), empezaremos comparando los rangos de las matrices \(A\) y \((A|B)\). A continuación, en caso de que ambos rangos sean iguales, procederemos a encontrar una solución utilizando el
En el Tema 1 vimos cómo utilizar el método de Gauss para obtener matrices escalonadas, escalonadas reducidas y calcular el rango de una matriz.
En este tema, veremos como aplicar dicho método para encontrar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales
Los pasos para hallar la solución de un sistema compatible son:
El objetivo de alcanzar una matriz escalonada por filas equivalente es debido a que una matriz escalonada tiene solución inmediata.
Ejemplo 3
Recordemos el sistema del ejemplo anterior:
\[\left\{\begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &=& 9\\ 2x_1 &+& 4x_2 &-& 3x_3 &=& 1\\ 3x_1 &+& 6x_2 &-& 5x_3 &=& 0\end{matrix}\right.\]
Habíamos concluido que era un sistema compatible determinado. Por tanto, ahora nos interesa calcular su solución, la cual sabemos que es única.
Por otro lado, tenemos que la matriz ampliada del sistema es:
\[(A|B) = \begin{pmatrix} 1&1&2 &|& 9\\ 2&4&-3 &|& 1\\ 3&6&-5 &|& 0 \end{pmatrix}\]
Nuestro objetivo ahora es utilizar el Método de Gauss para encontrar un sistema equivalente mucho más sencillo de resolver. Para ello, mediante operaciones elementales aplicadas a la matriz ampliada, obtendremos una matriz escalonada por filas de la matriz ampliada del sistema:
1.Eliminamos los coeficientes correspondientes a las variables \(x_1\) de las dos últimas filas:
Realizando las operaciones anteriores, obtenemos el sistema equivalente:
\[\begin{pmatrix} 1&1&2 &|& 9\\ 0&2&-7 &|& -17\\ 0&3&-11 &|& -27 \end{pmatrix}\]
2.Eliminamos los coeficientes respectivos a la variable \(x_2\) de la última fila:
Así, obtenemos:
\[\begin{pmatrix} 1&1&2 &|& 9\\ 0&2&-7 &|& -17\\ 0&0&-\frac{1}{2} &|& -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\]
Esta última matriz ampliada que acabamos de obtener es equivalente a la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales inicial y, lo más interesante de todo, se puede resolver de forma inmediata.
El sistema equivalente que acabamos de obtener es
\[\begin{matrix} x_1&+&x_2&+&2x_3 &=& 9\\ &&2x_2&-&7x_3 &=& -17\\ &&&-&\frac{1}{2}x_3 &=& -\frac{3}{2} \end{matrix}\]
De la última ecuación podemos aislar \(x_3\) y obtenemos:
\[x_3=3\]
Sustituyendo el valor de \(x_3\) en la segunda ecuación y aislando \(x_2\) obtenemos
\[2x_2-21=-17\] \[x_2 = 2\]
Finalmente, sustituyendo \(x_2 = 2\) y \(x_3=3\) en la primera ecuación y aislando \(x_1\), obtenemos
\[x_1+2+6 = 9\] \[x_1 = 1\]
Con lo cual, la única solución del sistema
\[\left\{\begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &=& 9\\ 2x_1 &+& 4x_2 &-& 3x_3 &=& 1\\ 3x_1 &+& 6x_2 &-& 5x_3 &=& 0\end{matrix}\right.\]
es \(s = (1,2,3)\)
Ejercicio 2
Resolved paso a paso el sistema
\[\left\{\begin{matrix}x_1&+&x_2&&&=&3\\ &&x_2&+&x_3&=&5\\ x_1&&&+&x_3&=&4\\ 5x_1&-&x_2&+&x_3&=&6 \end{matrix}\right.\]
La solución es \(s=(1,2,3)\)
Con lo cual, podemos concluir que los sistemas
\[\left\{\begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &=& 9\\ 2x_1 &+& 4x_2 &-& 3x_3 &=& 1\\ 3x_1 &+& 6x_2 &-& 5x_3 &=& 0\end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix}x_1&+&x_2&&&=&3\\ &&x_2&+&x_3&=&5\\ x_1&&&+&x_3&=&4\\ 5x_1&-&x_2&+&x_3&=&6 \end{matrix}\right.\]
son equivalentes, ya que tienen el mismo conjunto de soluciones: \(\{(1,2,3)\}\)
Ejemplo 4
Consideremos el sistema \[\left\{\begin{matrix} x&+&2y&+&z&+&t&=&0\\ &&y&+&z&+&t&=&1\\ 2x&+&2y&&&&&=&-2\\ x&&&-&z&+&t&=&-1\\ \end{matrix}\right.\]
La matriz ampliada del sistema es:
\[(A|B)=\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 2&2&0&0&|&-2\\ 1&0&-1&1&|&-1 \end{pmatrix}\]
Ejercicio 3. Comprobar que se trata de un sistema compatible indeterminado. Calculad rg\((A)\) y rg\((A|B)\) para luego aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius
\[(A|B)=\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 2&2&0&0&|&-2\\ 1&0&-1&1&|&-1 \end{pmatrix}\sim f_3-2f_1\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 0&-2&-2&-2&|&-2\\ 1&0&-1&1&|&-1 \end{pmatrix}\sim f_4-f_1\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 0&-2&-2&-2&|&-2\\ 0&-2&-2&0&|&-1 \end{pmatrix}\sim f_3+2f_2\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 0&0&0&0&|&0\\ 0&-2&-2&0&|&-1 \end{pmatrix}\sim f_4+2f_2\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 0&0&0&0&|&0\\ 0&0&0&2&|&1 \end{pmatrix}\sim f_3\to f_4\begin{pmatrix} 1 & 2& 1 & 1& |&0\\ 0 & 1& 1& 1& |&1\\ 0&0&0&2&|&1\\ 0&0&0&0&|&0 \end{pmatrix}\]
Hemos llegado a una matriz escalonada que se corresponde con el sistema
\[\left\{\begin{matrix} x &+& 2y&+& z &+& t& =&0\\ && y&+& z&+& t& =&1\\ &&&&&&2t&=&1 \end{matrix}\right.\]
Con lo cual
\[t=\frac{1}{2}\] \[y+z+\frac{1}{2}=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}-z\]
\[x+2\left(\frac{1}{2}-z\right)+z+\frac{1}{2}=0\] \[\Rightarrow x-z+\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=z-\frac{3}{2}\]
En definitiva, las infinitas soluciones de este sistema compatible indeterminado son:
\[\left\{\begin{matrix}x = z-\frac{3}{2}\\ y = \frac{1}{2}-z\\ t=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\]
con \(z\in\mathbb{R}\)
Observad que las variables dependientes (las que se corresponden con los pivotes) son \(x,y,t\); mientras que la única variable independiente es la \(z\)
##Ejemplo 5{.example}
Ejemplo 5
Consideremos el sistema
\[\left\{\begin{matrix} x &+&2y&+&z&=&1\\ &&2y&+&3z&=&-5\\ x &+&4y&+&4z&=&3 \end{matrix}\right.\]
Tenemos que \[A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&2&3\\ 1&4&4 \end{pmatrix}\]
la cual tiene rango 2:
\[A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&2&3\\ 1&4&4 \end{pmatrix}\sim f_3-f_1\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&2&3\\ 0&2&3 \end{pmatrix}\sim f_3-f_2\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&2&3\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\]
Mientras que la matriz ampliada del sistema tiene rango 3:
\[(A|B) = \begin{pmatrix} 1&2&1&|&1\\ 0&2&3&|&-5\\ 1&4&4&|&3 \end{pmatrix}\sim f_3-f_1\begin{pmatrix} 1&2&1&|&1\\ 0&2&3&|&-5\\ 0&2&3&|&2 \end{pmatrix}\sim f_3-f_2\begin{pmatrix} 1&2&1&|&1\\ 0&2&3&|&-5\\ 0&0&0&|&7 \end{pmatrix}\]
Con lo cual, por el teorema de Rouché-Frobenius, concluimos que el sistema es incompatible.