Matriz. Sea \((\mathbb{K},+,.)\) un cuerpo conmutativo y \(m,n\ge1\) enteros. Una matriz \(m\times n\) sobre \(\mathbb{K}\) (o de orden \(m\times n\) sobre \(\mathbb{K}\)) es una tabla formada por elementos de \(\mathbb{K}\) dispuestos en \(m\) filas y \(n\) columnas de la forma

\[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}\]

con \(a_{ij}\in\mathbb{K};\ i=1,2,\dots,m;\ j=1,2,\dots,n\)

Coeficientes de la matriz. Cada \(a_{ij}\) se denomina término, coeficiente o entrada de la matriz \(A\). El primer subíndice, \(i\), indica el número de la fila y el segundo, \(j\), el de la columna que ocupa el término de la matriz.

Conjunto de matrices. Se denotará por \(\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) el conjunto de todas las matrices de orden \(m \times n\) sobre \(\mathbb{K}\).

Una matriz cualquiera de \(\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) se denotará indistintamente por \(A\), \((a_{ij})_{m\times n}\) o \((a_{ij})\).

Cuando \(m=n\), el conjunto de todas las matrices de orden \(n \times n\), \(\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})\), se denota simplemente por \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\). Las matrices pertenecientes a este conjunto se dice que son de orden \(n\) en vez de \(n\times n\).

Igualdad de matrices. Dadas dos matrices del mismo orden \(m\times n\), \(A = (a_{ij})_{m\times n}\) y \(B = (b_{ij})_{m\times n}\), son iguales si

\[a_{ij} = b_{ij}\ \forall i = 1,\dots,m,\ \forall j=1,\dots,n\]

Matriz fila. Se denomina matriz fila a toda matriz que consta de una única fila \[A = (a_{11} \ a_{12}\ a_{13}\ \cdots \ a_{1n})\in\mathcal{M}_{1\times n}(\mathbb{K})\]

Matriz columna. Se denomina matriz columna a toda matriz que consta de una única columna \[A = \begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{m\times 1}(\mathbb{K})\]

Matriz nula. Se denota como \(O\) a la matriz nula, matriz con todos sus coeficientes nulos

\[O = \begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\]

Matriz cuadrada. Se denomina matriz cuadrada de orden \(n\) a toda matriz que consta de \(n\) filas y \(n\) columnas

\[A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Dentro del ámbito de las matrices cuadradas caben las siguientes definiciones y tipos particulares de matrices:

Diagonal principal. Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada \(A\) a los elementos \(a_{ii}\) con \(i = 1,\dots, n\).

\[A = \begin{pmatrix}\bf{a_{11}}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\bf{a_{22}}&\cdots&a_{2n}\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\bf{a_{nn}}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Matriz diagonal. Una matriz diagonal es aquella en la cual \(a_{ij}=0\) siempre que \(i\ne j\)

\[A = \begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\0&a_{22}&\cdots&0\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Matriz escalar. Una matriz escalar es una matriz diagonal en la cual \(a_{ii}=\lambda,\ \forall i=1,\dots,n\)

\[A = \begin{pmatrix}\lambda&0&\cdots&0\\0&\lambda&\cdots&0\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0&0&\cdots&\lambda\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Matriz identidad. Se denomina matriz unidad o matriz identidad de orden \(n\), y se denota como \(I_n\) a la matriz escalar en la cual todos los elementos de la diagonal son \(1\).

\[A = \begin{pmatrix}1&\cdots&0\\ \vdots & \ddots& \vdots\\0&\cdots&1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Matriz triangular superior. Se denomina matriz triangular superior a toda matriz en la cual \(a_{ij}=0,\ \forall i>j\). Es decir, todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos.

\[A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Matriz triangular inferior. Se denomina matriz triangular inferior a toda matriz en la cual \(a_{ij}=0,\ \forall i<j\). Es decir, todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.

\[A = \begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

Para matrices en general (no necesariamente cuadradas) se mantendrá la denominación de matriz triangular superior cuando \(a_{ij}=0,\forall\ i>j\). Más adelante se estudiarán en profundidad unos tipos especiales de estas matrices (las matrices escalonadas) que tendrán una importancia determinante en nuestros estudios.

Las matrices triangulares superiores, si no son cuadradas, se corresponden con los siguientes casos, dependiendo si \(m<n\) o \(n<m\) respectivamente

\[\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2m}&\cdots&a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{mm}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix}\]

Suma de matrices. La suma de dos matrices \(A\) y \(B\) solo es posible si ambas son del mismo orden \(m\times n\), entonces se suman término a término. Es decir, dadas \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) y \(B=(b_{ij})_{m\times n}\), se define la suma de \(A\) y \(B\) como la matriz:

\[C = (c_{ij})_{m\times n}\ \text{ donde}\ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\\ \forall i=1,\dots,m\ \forall j=1,\dots,n\]

Producto por un escalar. Sean \(\lambda\in\mathbb{K}\) y \(A=(a_{ij})_{m\times n}\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\), se define el producto \(\lambda A\) como una nueva matriz de orden \(m\times n\) dada por \[\lambda A = (\lambda\cdot a_{ij})_{m\times n}\]

Producto de matrices. Para poder realizar el producto de una matriz \(A\) por una matriz \(B\), el número de columnas de \(A\) ha de coincidir con el número de filas de \(B\), entonces cada entrada \(ij\) de la matriz producto se obtiene multiplicando la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\) y sumando los números resultantes.

Concretamente, si \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) y \(B\in\mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})\), el producto \(AB\) es una matriz \(C\in\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})\) definida como

\[\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots & a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots & a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&\cdots & a_{in}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1j}&\cdots & b_{1p}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2j}&\cdots & b_{2p}\\b_{31}&b_{32}&\cdots&b_{3j}&\cdots & b_{3p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nj}&\cdots & b_{np}\end{pmatrix} = (c_{ij})\]

con \(c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\). Nótese que \(A_{m\times \textbf{n}}\cdot B_{\textbf{n}\times p}=C_{m\times p}\)

Traza. Es la suma de los elementos de la diagonal principal

\[A = \begin{pmatrix}\bf{a_{11}}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\bf{a_{22}}&\cdots&a_{2n}\\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\bf{a_{nn}}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\]

\[\text{tr}(A) = a_{11}+\cdots+a_{nn} = \sum_{i = 1}^na_{ii}\]

Siempre que tengan sentido las operaciones indicadas (es decir, que las matrices son de los órdenes adecuados para poder realizarlas) se satisfacen las siguientes propiedades

Propiedad conmutativa. \(A+B=B+A\)

Propiedad asociativa de la suma. \((A+B)+C=A+(B+C)\)

Elemento neutro de la suma o elemento nulo. \(A+O=O+A=A\)

Matriz opuesta. \(\forall\ A=(a_{ij})_{m\times n}\) existe \(-A = (-a_{ij})_{m\times n}\) tal que \[A+(-A)=(-A)+A=O\]

Propiedad asociativa del producto. \((AB)C=A(BC)\)

Sea \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K}),\ B\in\mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K}),\ C\in\mathcal{M}_{p\times q}(\mathbb{K})\).

Se puede realizar el producto \(AB\), el resultado será una matriz \(m\times p\) que se podrá multiplicar por \(C\) y el producto \((AB)C\) será una matriz \(m\times q\).

Análogamente, se puede realizar el producto \(BC\) que dará una matriz \(n\times q\) y se puede realizar el producto \(A(BC)\) que dará una matriz \(m\times q\).

Entonces, la propiedad se puede expresar como \[(AB)C=A(BC)\]

¡Atención! La demostración de esta proposición se encuentra en pdf. Este pdf lo podréis encontrar en el Github, en la carpeta demostraciones, o bien como material de esta clase.

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma. \(A(B+C) = AB+AC\)

Elemento neutro del producto o elemento unidad. \[AI_n = A\qquad I_nB = B\]

Sean \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) y \(B\in\mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})\).

Se puede realizar el producto \(AI_n\) y el resultado será una matriz \(m\times n\).

Análogamente, se puede realizar el producto \(I_nB\) y el resultado será una matriz \(n\times p\).

Además, se puede comprobar que se verifica que \[AI_n = A\qquad\text{y}\qquad I_nB=B\]

Observación.Nótese que, en particular, para matrices cuadradas \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(I_n\) es un elemento neutro del producto, es decir: \(AI_n=I_nA=A\) para toda matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\).

Propiedad distributiva del producto por escalares respecto de la suma. \[\lambda(A+B) = \lambda A+\lambda B,\ \lambda\in\mathbb{K}\]

Elemento neutro del producto por escalar. \(1A=A\)

Propiedades distributiva del producto por matrices respecto de la suma de escalares.

\[(\lambda +\mu)A = \lambda A+\mu A,\ \lambda,\mu\in\mathbb{K}\]

Propiedad asociativa del producto de escalares por una matriz. \[(\lambda\mu)A = \lambda(\mu A), \ \lambda,\mu\in\mathbb{K}\]

Propiedad asociativa del producto de un escalar por dos matrices. \[\lambda(AB) = (\lambda A)B,\ \lambda\in\mathbb{K}\]

En general, no se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa. La multiplicación de matrices no es conmutativa.

Ley de simplificación. No se cumple la ley de simplificación en un producto.

Divisores de cero. Existen divisores de 0, es decir \(AB=0\not\Rightarrow A=0\text{ o }B=0\).

Proposición. Sean \(A,B\) dos matrices cuadradas de orden \(n\).

• Si \(A,B\) son matrices diagonales, entonces \(A\) y \(B\) conmutan y la matriz producto \(AB=BA\) también es diagonal.
• Si \(A,B\) son matrices triangulares superiores (inferiores) entonces el producto \(AB\) es también una matriz triangular superior (inferior).

Transpuesta de una matriz. Sea \(A=(a_{ij})_{m\times n}\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\). Se denomina transpuesta de la matriz \(A\) y se denota como \(A^t\) a la matriz \(A^t=(a_{ji})_{n\times m}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\). Es decir, la matriz obtenida a partir de \(A\) intercambiando filas por columnas.

Entre las propiedades de las matrices transpuestas destacan las siguientes

Idempotencia. Para toda matriz \(A\), \((A^t)^t = A\).

Transpuesta de una suma. Si \(A\) y \(B\) son matrices del mismo orden \(m\times n\), entonces \((A+B)^t = A^t+B^t\). Es decir, la transpuesta de una suma de matrices es la matriz obtenida por la suma de sus respectivas transpuestas. Además, el resultado se puede generalizar a \(r\) sumandos y se tiene que si \(A_i\) son todas del mismo orden, entonces

\[\left(\sum_{i=1}^r A_i\right)^t=\sum_{i=1}^rA_i^t\]

Transpuesta de un producto. Si \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) y \(B\in\mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})\), entonces la traspuesta del producto de \(A\) por \(B\) es el producto de las traspuestas pero con orden cambiado, es decir: \[(AB)^t=B^tA^t\in\mathcal{M}_{p\times m}(\mathbb{K})\]

Nótese que la transposición, en el caso de matrices cuadradas, es una operación interna

Transposición como operación interna. La transpuesta de una matriz cuadrada \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) es otra matriz cuadrada \(A^t\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\)

Por lo tanto, tienen sentido las siguientes definiciones

Sea \(A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) una matriz cuadrada

Matriz simétrica. \(A\) es simétrica si coincide con su transpuesta. Esto causa la simetría de la matriz respecto a su diagonal.

\[A\text{ simétrica }\Leftrightarrow A=A^t\Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}\ \forall i,j\]

Matriz antisimétrica. \(A\) es antisimétrica si su transpuesta coincide con su opuesta, lo cual exige que la diagonal esté compuesta únicamente por ceros y que los elementos simétricos sean opuestos entre sí.

\[A\text{ antisimétrica }\Leftrightarrow A^t=-A\Leftrightarrow a_{ij}=-a_{ji}\ \forall i,j\]

Matriz regular. \(A\) es invertible o regular si existe otra matriz cuadrada \(A^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) tal que \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\). Cuando existe esta matriz \(A^{-1}\) es siempre única, con la propiedad mencionada y se llama matriz inversa de \(A\).

Observación. Nótese que no basta con cumplir solo \(AA^{-1}=I_n\) (o solo \(A^{-1}A=I_n\)) ya que el producto no es en general conmutativo. Por tanto, la matriz inversa ha de verificar que los resultados de los dos productos son la matriz identidad.

Matriz singular. \(A\) es singular si no tiene inversa, es decir, cuando no es regular.

Matriz ortogonal. \(A\) es ortogonal si es regular y además su inversa coincide con su transpuesta. Dicho de otra manera

\[A\text{ ortogonal }\Leftrightarrow AA^t=A^tA = I_n\]

Proposición. Sean \(A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Entonces si \(A\) y \(B\) son invertibles, también lo es su producto y se cumple:

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]

Las operaciones anteriores conforman el llamado álgebra matricial. Este nombre es adecuado ya que gracias a ellas es posible realizar la manipulación habitual de ecuaciones con matrices igual que se hace con los números reales siempre y cuando se tenga precaución con aquellas propiedades que no se verifican, vistas todas ellas anteriormente.

Por ejemplo, en una ecuación con matrices todo lo que esté sumando pasa al otro término restando y viceversa.

De esta manera, se pueden resolver ecuaciones del tipo: encuentre una matriz \(X\) tal que \(A+\lambda X=\mu B\) donde \(A\) y \(B\) son matrices conocidas y \(\lambda\ne 0\) y \(\mu\) son valores de \(\mathbb{K}\) también conocidos. La solución será \(X=\frac{1}{\lambda}(\mu B-A)\).

Nótese sin embargo que las ecuaciones de la forma \(AX=B\) no se pueden manipular de la forma habitual a no ser que la matriz \(A\) sea cuadrada e invertible. Entonces se tendrá \(X=A^{-1}B\). Nótese que valdría multiplicar a la izquierda por \(A^{-1}\) pero no valdría hacerlo a la derecha. Si la ecuación que tiene es de la forma \(XA=B\) entonces, si \(A\) es invertible, será \(X=BA^{-1}\), multiplicando a la derecha por \(A^{-1}\).

Se pueden calcular también las potencias \(n\)-ésimas de las matrices de la forma habitual \(A^n=A\cdot A\cdot\cdots A\) (\(n\) veces). Nótese que el binomio de Newton para calcular \((A+B)^n\) solo se verifica en los casos en que \(A\) y \(B\) conmuten. Por ejemplo

\[(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\]

Si \(A\) y \(B\) conmutan, entonces \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

Vamos a introducir ahora un tipo especial de matrices triangulares superiores (inferiores), las llamadas matrices escalonadas por filas (por columnas).

Matriz escalonada por filas. Una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es escalonada por filas cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones siguientes:

• El primer elemento no nulo de cada fila, denominado pivote, está a la derecha del pivote de la fila superior
• Las filas nulas están en la parte inferior de la matriz.

Matriz escalonada reducida. Una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es escalonada reducida por filas si es escalonada y además cumple los siguientes requisitos:

• Los pivotes son todos 1's.
• Todos los elementos que están en la misma columna del pivote son nulos.

Operaciones elementales por filas. Sea \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\). Las siguientes operaciones se llaman operaciones elementales por filas de la matriz \(A\):

• Multiplicar una fila por un \(\lambda\in\mathbb{K},\ \lambda\ne 0\).
• Intercambiar dos filas.
• Sumar un múltiplo de una fila a otra.

De manera análoga se pueden definir las operaciones elementales por columnas.

Matrices equivalentes por filas. Dos matrices \(A,B\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) son equivalentes por filas (por columnas) si una de ellas se puede obtener a partir de la otra mediante un número finito de operaciones elementales por filas (columnas).

Teorema

• Toda matriz es equivalente por filas (columnas) a una matriz escalonada por filas (columnas).
• Toda matriz es equivalente por filas (columnas) a una única matriz escalonada reducida por filas (columnas).

La demostración la haremos de manera constructiva. Es decir, hallaremos un algoritmo (Método de Gauss) para encontrar la matriz escalonada en este caso.

Nótese que con el método de la demostración se obtiene la única matriz escalonada equivalente por filas cuyos pivotes son todos unos.

Para obtener la matriz escalonada reducida, si hay algún elemento \(a_{ij}\) distinto de cero por encima de algún determinado pivote, se resta a la fila de este elemento (la fila \(i\)), la fila del pivote multiplicada por \(a_{ij}\).

Se repite el paso anterior tantas veces como sea necesario y se llega así a la matriz escalonada reducida equivalente.

Dada la unicidad de la matriz escalonada reducida, se pueden definir conceptos sobre una matriz \(A\) mediante su matriz escalonada reducida por filas (por columnas) equivalente

Rango. Sea \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\). Se denomina rango de \(A\) y se denota como \(\text{rg}(A)\), al número de filas no nulas que tiene su única matriz escalonada (o su escalonada reducida) por filas equivalentes.

Teorema. Sea \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\). El rango de \(A\) coincidirá con el número de columnas no nulas de su única matriz escalonada reducida por columnas equivalente.

En realidad, el número de filas (columnas) no nulas es siempre el mismo en cualquier matriz equivalente por filas (por columnas) a la dada. Por tanto, para calcular el rango de una matriz \(A\) bastará con encontrar una matriz \(B\) escalonada por filas (columnas) equivalente a \(A\) y contar el número de filas (columnas) no nulas de \(B\).

Con las matrices escalonadas y las operaciones elementales, no solo se puede calcular el rango de una matriz sino que también resultan útiles en el cálculo de matrices inversas como veremos a continuación.

El primer aporte que pueden hacer es la caracterización de las matrices invertibles a través de su rango y de su matriz escalonada reducida.

Teorema. Sea \(A\) una matriz cuadrada \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Entonces son equivalentes:

• \(A\) es invertible
• \(rg(A)=n\)
• La matriz escalonada reducida por filas (por columnas) equivalente a \(A\) es la matriz identidad \(I_n\)

Además, la tercera equivalencia aporta un método para calcular la matriz inversa de una matriz invertible \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\): Este consiste en escribir la matriz identidad \(I_n\) a la derecha de la matriz (escrito de forma abreviada \((A|I_n)\)) y a través de transformaciones elementales por filas (o por columnas), calcular la matriz escalonada reducida que será de la forma \((I_n|B)\). La matriz \(B\) resultante es precisamente la matriz inversa de \(A\), es decir \(A^{-1}=B\).

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