En el tema anterior, vimos que para calcular la integral definida de una función \(f\) integrable en un cierto intervalo \([a,b]\), es fundamental saber calcular una primitiva \(F\) de dicha función ya que dicha integral, usando la regla de Barrow, se puede escribir de la siguiente forma: \[ \int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a). \]

En este tema, vamos a dar las técnicas para calcular primitivas de las funciones más usuales como pueden ser funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, funciones definidas como la raíz cuadrada de un polinomio hasta de grado 2, etc.

Recordad que dada una función \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) definida en un intervalo \([a,b]\), una primitiva es una función \(F:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) definida en el mismo intervalo tal que \(F'(x)=f(x)\).

Ésta es la razón que la primitiva de una función también se llame antiderivada ya que hallar primitivas es la operación inversa respecto a la operación de derivar. Si derivar es equivalente a dar un paso hacia delante, hallar una primitiva es dar un paso hacia atrás.

Recordemos que, dada una función \(f\), existen una multitud de primitivas de la misma: dada una primitiva \(F(x)\) de la misma, la función \(F(x)+C\) donde \(C\) es una constante cualquiera es también otra primitiva ya que si \(F'(x)=f(x)\), también se cumple que \((F(x)+C)'=f(x)\).

A hallar una primitiva de una función \(f\) también se conoce como hallar una integral indefinida de dicha función y lo denotaremos por: \[ \int f(x)\, dx = F(x)+C, \] sin escribir los extremos de integración y añadiendo una constante cualquiera \(C\) para poder de manifiesto que, como hemos indicado antes, existen una multitud de primitivas.

Supongamos que para una función \(f\) particular, nos dan una primitiva \(F\). Es decir \(F'(x)=f(x)\) o \(\displaystyle\int f(x)\, dx=F(x)+C\).

Entonces, si en lugar de considerar la función \(f\) consideramos la función siguiente \(f(g(x))\cdot g'(x)\), donde \(g(x)\) es una función cualquiera, tenemos que una primitiva de dicha función es \((F\circ g)(x)=F(g(x))\) ya que usando la regla de la cadena \[ (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x), \] como queríamos ver.

Es decir, si \(\displaystyle\int f(x)\,dx =F(x)+C\), entonces \(\displaystyle\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = F(g(x))+C\).

En resumen, si somos capaces de hallar una primitiva para una cierta función \(f\), somos capaces de hallar una primitiva para toda la familia de funciones \(f(g(x))\cdot g'(x)\), donde \(g(x)\) es una función cualquiera.

Hagamos un ejemplo ilustrativo.

En resumen, cualquier fórmula de cálculo de primitivas de una cierta función \(f\), equivale a tener un conjunto de fórmulas de cálculo de primitivas de la familia de funciones \(f(g(x))\cdot g'(x)\), para cualquier función \(g\).

Hemos de pensar que para la mayoría de las funciones no se puede hallar una primitiva usando las técnicas explicadas en este capítulo.

Es decir, dada una función \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) integrable, una función primitiva sería \[ F(x)=\int_a^x f(t)\, dt. \] El problema es que, en general, no podemos hallar una expresión de \(F(x)\) en términos de funciones conocidas. Se tienen que usar técnicas de análisis numérico para hallar la integral definida correspondiente.

Vamos a dar una lista de integrales indefinidas que serán la base para el cálculo de las demás.

Les llamaremos integrales inmediatas ya que para ver su veracidad, basta derivar la expresión correspondiente y ver que el resultado de la derivada es la función que integramos.

En cada fila, vamos a considerar aparte de la integral inmediata correspondiente, la versión de dicha integral usando una función cualquiera \(g(x)\) tal como hemos comentado en la introducción.

En esta sección vamos a aprender técnicas para calcular integrales indefinidas de funciones racionales, es decir, funciones del tipo \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios a coeficientes reales.

Distinguiremos dos casos:

Primer caso: Supongamos que el grado del polinomio \(P(x)\) es mayor o igual que el grado del polinomio \(Q(x)\): \(\mathrm{grado}(P)\geq \mathrm{grado}(Q)\).

En este caso, hemos de dividir el polinomio \(P(x)\) entre el polinomio \(Q(x)\) obteniendo un cociente \(C(x)\) y un resto \(R(x)\), donde \(\mathrm{grado}(R) < \mathrm{grado}(Q)\).

La relación entre los cuatro polinomios anteriores es la siguiente: \[ P(x)=Q(x)\cdot C(x)+R(x). \] Si dividimos la expresión anterior por el polinomio \(Q(x)\), obtenemos: \[ \frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}, \] y podemos escribir la integral indefinida de la función racional \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) como: \[ \int \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx=\int C(x)\, dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}\, dx. \]

La integral indefinida \(\displaystyle\int C(x)\, dx\) es sencilla de calcular ya que se trata de la integral indefinida de un polinomio que se puede escribir como la suma de integrales de monomios de la forma \(\displaystyle\int x^k\, dx\) multiplicadas por constantes. Las integrales \(\displaystyle \int x^k\, dx\) valen \(\frac{x^{k+1}}{k+1}+C\) como está indicado en la tabla de integrales inmediatas.

La integral restante \(\displaystyle \int \frac{R(x)}{Q(x)}\, dx\) se trata de una integral racional con la particularidad de que el grado del denominador es menor que el grado del numerado que sería el segundo caso a considerar.

En resumen, dada una integral racional, siempre podemos suponer que el grado del denominador es menor estricto que el grado del numerador ya que, en caso contrario, realizaríamos la operación indicada y estaríamos en este caso.

Segundo caso: Supongamos que el grado del polinomio \(P(x)\) es menor estrictamente que el grado del polinomio \(Q(x)\): \(\mathrm{grado}(P)< \mathrm{grado}(Q)\).

Supondremos además que el polinomio \(Q(x)\) del denominador es mónico, es decir, el coeficiente correspondiente al término principal o del monomio de mayor grado vale 1. Si éste no fuera el caso, dividimos todos los términos por dicho coeficiente y “sacamos” fuera de la integral dicho coeficiente.

Más concretamente, supongamos que \(Q(x)=C x^q+\cdots\), donde \(q\) es el grado del denominador \(Q(x)\). En este caso hacemos lo siguiente: \[ \int \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx =\frac{1}{C}\int \frac{P(x)}{\frac{Q(x)}{C}}\, dx, \] y ahora el polinomio \(\frac{Q(x)}{C}\) sería mónico. Por tanto, si no lo fuera, realizamos la operación indicada anteriormente y ya estaríamos en el caso en que el denominador es mónico.

Seguidamente, descomponemos el denominador \(Q(x)\) de la siguiente manera: \[ \begin{array}{rl} Q(x)= & (x-a_1)^{n_1}\cdot (x-a_2)^{n_2}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot \\ & ((x-b_1)^2+c_1^2)^{m_1}\cdot ((x-b_2)^2+c_2^2)^{m_2}\cdots ((x-b_l)^2+c_l^2)^{m_l}, \end{array} \] donde \(a_1, \ldots, a_k\) serían las raíces reales de multiplicidad \(n_1,\ldots, n_k\), respectivamente y los términos \(((x-b_1)^2+c_1^2),\ldots,((x-b_l)^2+c_l^2)\) representan los términos de las raíces no reales de multiplicidad \(m_1\ldots,m_l\), respectivamente.

En primer lugar, supongamos que estamos en el caso en que las multiplicidades de los términos correspondientes a las raíces no reales son simples, es decir, suponemos que \(m_1=\cdots =m_l=1\).

A continuación, descomponemos la fracción racional \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) de la siguiente manera: \[ \begin{array}{rl} \frac{P(x)}{Q(x)} = & \frac{A_{11}}{x-a_1}+\frac{A_{12}}{(x-a_1)^2}+\cdots +\frac{A_{1n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}+\cdots \\ & +\frac{A_{k1}}{x-a_k}+\frac{A_{k2}}{(x-a_k)^2}+\cdots +\frac{A_{kn_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\\ & +\frac{B_1x+C_1}{((x-b_1)^2+c_1^2)}+\cdots + \frac{B_l x+C_l}{((x-b_l)^2+c_l^2)} \end{array} \] hallando los coeficientes \(A_{ij}\), \(B_i\) y \(C_i\) correspondientes.

Para hallar dichos coeficientes hemos de sumar la parte de la derecha de la igualdad anterior reduciendo a común denominador y nos quedará una igualdad del tipo: \[ \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{H(x)}{Q(x)}, \] donde los coeficientes del polinomio \(H(x)\) dependen de los coeficientes \(A_{ij}\), \(B_i\) y \(C_i\). A continuación, para \(k=1,\ldots, \mathrm{grado\ } P\), igualamos los coeficientes de \(x^k\) del polinomio \(P(x)\) y del polinomio \(H(x)\).

Al final nos saldrá un sistema de ecuaciones lineal en los coeficientes \(A_{ij}\), \(B_i\) y \(C_i\) que tendremos que resolver.

Una vez hallados los coeficientes \(A_{ij}\), \(B_i\) y \(C_i\), descomponemos la integral racional \(\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\, dx\) de la siguiente manera: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\, dx = & \displaystyle A_{11}\int\frac{1}{x-a_1}\, dx+\cdots +A_{1n_1}\int \frac{1}{(x-a_1)^{n_1}}\, dx + \\ & \displaystyle +\cdots +A_{k1}\int \frac{1}{x-a_k}\, dx +\cdots +A_{kn_k}\int \frac{1}{(x-a_k)^{n_k}}\, dx+\\ & \displaystyle + \int \frac{B_1x+C_1}{((x-b_1)^2+c_1^2)}\, dx+\cdots + \int\frac{B_l x+C_l}{((x-b_l)^2+c_l^2)}\, dx. \end{array} \]

Hemos reducido el problema a hallar integrales indefinidas del tipo: \[ \int \frac{1}{(x-a)^i}\, dx,\quad \int\frac{Bx+D}{(x-b)^2+c^2}\, dx, \] para \(i=1,2,\ldots\)

El valor de las integrales indefinidas del tipo \(\displaystyle\int \frac{1}{(x-a)^i}\, dx\) es el siguiente:

• si \(i=1\): \(\displaystyle\int \frac{1}{(x-a)}\, dx=\ln |x-a|+C\), ver la segunda fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=x-a\).

• si \(i\geq 2\): \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \frac{1}{(x-a)^i}\, dx & = \displaystyle \int (x-a)^{-i}\, dx =\frac{(x-a)^{-i+1}}{-i+1}+C \\ & \displaystyle =\frac{1}{(1-i)\cdot (x-a)^{i-1}}+C, \end{array} \] ver la primera fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=x-a\).

El cálculo de las integrales del tipo \(\displaystyle \int\frac{Bx+D}{(x-b)^2+c^2}\, dx\) es el siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\frac{Bx+D}{(x-b)^2+c^2}\, dx & \displaystyle =\frac{B}{2}\int \frac{2x+\frac{2D}{B}}{(x-b)^2+c^2}\, dx\\ & =\displaystyle \frac{B}{2}\int \frac{2(x-b)+2b+\frac{2D}{B}}{(x-b)^2+c^2}\, dx \\ & \displaystyle = \frac{B}{2}\int \frac{2(x-b)}{(x-b)^2+c^2}\, dx +\frac{B}{2}\int \frac{2b+\frac{2D}{B}}{(x-b)^2+c^2}\, dx \end{array} \]

La primera de la integrales anteriores \(\displaystyle \frac{B}{2}\int \frac{2(x-b)}{(x-b)^2+c^2}\, dx\) es inmediata, ver segunda fila de la tabla de integrales inmediatas, con \(g(x)=(x-b)^2+c^2\): \[ \frac{B}{2}\int \frac{2(x-b)}{(x-b)^2+c^2}\, dx =\frac{B}{2}\ln |(x-b)^2+c^2|+C \]

El cálculo de la segunda integral es el siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\frac{B}{2}\int \frac{2b+\frac{2D}{B}}{(x-b)^2+c^2}\, dx & \displaystyle =B\left(b+\frac{D}{B}\right)\int \frac{1}{(x-b)^2+c^2}\, dx\\ & \displaystyle =\frac{B b+D}{c^2}\int \frac{1}{\left(\frac{x-b}{c}\right)^2+1}\, dx\\ & \displaystyle =\frac{B b+D}{c} \int \frac{\frac{1}{c}}{\left(\frac{x-b}{c}\right)^2+1}\, dx \end{array} \]

La integral \(\displaystyle \int \frac{\frac{1}{c}}{\left(\frac{x-b}{c}\right)^2+1}\, dx\) es inmediata, ver novena fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\frac{x-b}{c}\): \[ \int \frac{\frac{1}{c}}{\left(\frac{x-b}{c}\right)^2+1}\, dx =\arctan\left(\frac{x-b}{c}\right)+C. \]

En resumen: \[ \int\frac{Bx+D}{(x-b)^2+c^2}\, dx = \frac{B}{2}\ln |(x-b)^2+c^2|+\frac{(B b+D)}{c}\arctan\left(\frac{x-b}{c}\right)+C. \]

Falta estudiar el caso en que algún \(m_i >1\), donde \(i\) puede ser \(i=1,\ldots,l\).

En este caso, aplicaremos el llamado Método de Ostrogradski.

Recordemos que tenemos que hallar la integral indefinida \(\displaystyle \int\frac{P(x)}{Q(x)}\, dx\) donde suponemos que \(\mathrm{grado\ }P<\mathrm{\ grado\ }Q\).

Dicho método consiste en descomponer la integral indefinida a calcular de la siguiente manera: \[ \int\frac{P(x)}{Q(x)}\, dx = \frac{R(x)}{Q_1(x)}+\int\frac{T(x)}{Q_2(x)}\, dx, \] donde \(Q_1(x)=\mathrm{mcd}(Q(x),Q'(x))\), es decir, el máximo común divisor entre los polinomios \(Q(x)\) y su derivada \(Q'(x)\) y \(Q_2 =\frac{Q(x)}{Q_1(x)}\) es el cociente que resulta de dividir el polinomio \(Q(x)\) por el polinomio \(Q_1(x)\).

Los polinomios \(R(x)\) y \(T(x)\) son polinomios de grados \(\mathrm{grado\ }Q_1-1\) y \(\mathrm{grado\ }Q_2-1\), respectivamente cuyos coeficientes se tienen que hallar derivando la descomposición anterior: \[ \frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{R'(x)\cdot Q_1(x)-R(x)\cdot Q_1'(x)}{Q_1(x)^2}+\frac{T(x)}{Q_2(x)}. \]

Si volvemos a aplicar el método propuesto al cálculo de la integral racional \(\displaystyle\int\frac{T(x)}{Q_2(x)}\, dx\), los posibles exponentes \(m_i\) serán como máximo todos \(1\) que es el caso que se ha analizado.

En esta sección vamos a aprender a calcular integrales indefinidas que involucren funciones trigonométricas básicas como \(\sin x\), \(\cos x\) y \(\tan x\):

• \(\displaystyle \int \sin^m x\cos^n x\, dx\), donde \(m\) y \(n\) son números naturales.
• \(\displaystyle \int \tan^n x\, dx,\ \int \cot^n x\) donde \(n\) es un número natural.
• \(\displaystyle \int \sin (m x)\cos (n x)\, dx\), donde \(m\) y \(n\) son números naturales.
• \(\displaystyle \int R(\sin x, \cos x)\, dx\) donde \(R(\sin x,\cos x)\) quiere decir una función racional en las variables \(\sin x\) y \(\cos x\) como por ejemplo \(R(\sin x,\cos x)=\frac{\sin^2 x +\cos x+1}{\cos^2 x-\cos x-1}\).

Recordemos las identidades trigonométricas que usaremos en el cálculo de las integrales anteriores:

• Seno de la suma/diferencia: \[ \sin (A\pm B)=\sin A\cdot cos B\pm \cos A\cdot \sin B. \]

• El seno del ángulo doble:

\[\sin (2x)=2\sin x\cos x.\]

• Coseno de la suma/diferencia: \[ \cos (A\pm B)=\cos A\cdot \cos B\mp \sin A\cdot \sin B. \]

• El coseno del ángulo doble:

\[\cos (2x)=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x.\]

• De las identidades anteriores tenemos que

\[\sin^2 x=\frac{1}{2}(1-\cos (2x)),\ \cos^2 x=\frac{1}{2}(1+\cos (2x)).\]

• Relación entre el coseno y la tangente:

\[1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\]

o, si se quiere \[\tan^2 x=\sec^2 x-1 \ \mathrm{o}, \ \cot^2 x=\csc^2x -1.\]

• Fórmulas que transforman productos en sumas: \[ \begin{array}{rl} \sin x\cos y & = \frac{1}{2}(\sin (x+y)+\sin (x-y)),\\ \cos x\cos y & = \frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y)),\\ \sin x\sin y & = \frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y)). \end{array} \] Las expresiones anteriores se pueden generalizar: \[ \begin{array}{rl} \sin(m x)\cos (ny) & = \frac{1}{2}(\sin (mx+ny)+\sin (mx-ny)),\\ \cos(m x)\cos (ny) & = \frac{1}{2}(\cos (mx+ny)+\cos (mx-ny)),\\ \sin(m x)\sin (ny) & = \frac{1}{2}(\cos (mx-ny)-\cos (mx+ny)), \end{array} \] donde \(m\) y \(n\) son números naturales.

En esta sección vamos a explicar cómo calcular el siguiente tipo de integrales inmediatas \(\displaystyle\int \sin^m x\cos^n x\, dx\), con \(n\) y \(m\) números naturales.

Vamos a distinguir los casos siguientes:

• 1: Uno de los números \(n\) o \(m\) es cero. En este caso, distinguimos los subcasos siguientes:

1.1: \(m\) impar. En este caso, existe un natural \(m_1\) tal que \(m=2m_1+1\). La integral indefinida a calcular sería: \[ \int\sin^{2m_1+1}x\, dx =\int (\sin^2 x)^{m_1}\sin x\, dx=\int (1-\cos^2 x)^{m_1}\sin x\, dx. \]

A continuación, si desarrollamos la expresión \((1-\cos^2 x)^{m_1}\) nos quedará una suma de integrales de la forma \(\displaystyle\int \cos^j x\sin x\, dx\), con \(j\) natural. Dichas integrales son inmediatas y corresponden a la primera fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\cos x\): \[ \int \cos^j x\sin x\, dx =-\int \cos^j x (-\sin x)\, dx = -\frac{\cos^{j+1}x}{(j+1)}+C. \]

1.2: \(n\) impar. En este caso, existe un natural \(n_1\) tal que \(n=2n_1+1\). Este caso es parecido al anterior: \[ \int\cos^{2n_1+1}x\, dx =\int (\cos^2 x)^{n_1}\cos x\, dx=\int (1-\sin^2 x)^{n_1}\cos x\, dx. \]

A continuación, si desarrollamos la expresión \((1-\sin^2 x)^{n_1}\) nos quedará una suma de integrales de la forma \(\displaystyle\int \sin^j x\cos x\, dx\), con \(j\) natural. Dichas integrales son inmediatas y corresponden a la primera fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\sin x\):

\[ \int \sin^j x\cos x\, dx =\frac{\sin^{j+1}x}{(j+1)}+C. \]

1.3 \(n\) par. En este caso, existe un natural \(n_1\) tal que \(n=2n_1\). El cálculo de la integral es el siguiente:

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \cos^{2n_1} x\, dx & =\displaystyle \int (\cos^2 x)^{n_1}\, dx = \int\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{n_1}\, dx \\ & = \displaystyle \frac{1}{2^{n_1+1}}\int (1+\cos t)^{n_1}\, dt, \end{array} \] donde en la última igualdad hemos hecho el cambio de variable \(t=2x\).

Seguidamente si desarrollamos \((1+\cos t)^{n_1}\) nos van saliento integrales del tipo \(\displaystyle \int \cos^j x\, dx\) donde si \(j\) es impar, ya las hemos estudiado en el apartado 1.2 y si \(j\) es par, hemos reducido el exponente a la mitad. En el peor de los casos nos saldría la integral \(\displaystyle\int\cos^2 x\,dx\) que se resolvería de la forma siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle \int\cos^2 x\, dx & \displaystyle = \frac{1}{2}\int (1+\cos (2x))\, dx = \frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin(2x)}{2}\right)+C \\ & \displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin (2x)+C \end{array} \]

1.4 \(m\) par. En este caso, existe un natural \(m_1\) tal que \(m=2m_1\). El cálculo de la integral es el siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \sin^{2m_1} x\, dx & =\displaystyle \int (\sin^2 x)^{m_1}\, dx = \int\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{m_1}\, dx \\ & = \displaystyle \frac{1}{2^{m_1+1}}\int (1-\cos t)^{m_1}\, dt, \end{array} \] donde en la última igualdad hemos hecho el cambio de variable \(t=2x\). Seguidamente si desarrollamos \((1+\cos t)^{m_1}\) nos van saliento integrales del tipo \(\displaystyle \int \cos^j x\, dx\) que ya están estudiadas en los apartados 1.2 y 1.3.

• 2: Uno de los números \(n\) o \(m\) es par y el otro, \(impar\).

2.1: \(m\) es impar y \(n\) es par. En este caso, existen dos naturales más, \(m_1\) y \(n_1\) tal que \(m=2m_1+1\) y \(n=2n_1\). Para resolver la integral inmediata, hacemos lo siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \sin^{2m_1+1}x\cos^{2n_1}x\, dx & \displaystyle =\int (\sin^2 x)^{m_1}\cos^{2n_1} x \sin x\, dx \\ & \displaystyle =\int (1-\cos^2 x)^{m_1}\cos^{2n_1}x \sin x\, dx. \end{array} \] Seguidamente si desarrollamos \((1-\cos^2 x)^{m_1}\) nos van saliento integrales del tipo \(\displaystyle \int \cos^j x\sin x\, dx\), que son inmediatas, ver apartado 1.1.

2.2: \(m\) par y \(n\) impar. En este caso, existen dos naturales más, \(m_1\) y \(n_1\) tal que \(m=2m_1\) y \(n=2n_1+1\). Para resolver la integral inmediata, hacemos lo siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \sin^{2m_1}x\cos^{2n_1+1}x\, dx & \displaystyle =\int \sin^{2m_1}x (\cos^2 x)^{n_1} x \cos x\, dx \\ & \displaystyle =\int \sin^{2m_1}x (1-\sin^2 x)^{n_1} \cos x\, dx. \end{array} \] Seguidamente si desarrollamos \((1-\sin^2 x)^{n_1}\) nos van saliento integrales del tipo \(\displaystyle \int \sin^j x\cos x\, dx\) que son inmediatas, ver apartado 1.2.

• 3: Las dos potencias \(m\) y \(n\) son pares. En este caso, existen dos naturales más, \(m_1\) y \(n_1\) tal que \(m=2m_1\) y \(n=2n_1\). Para resolver la integral inmediata, hacemos lo siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \sin^{2m_1}x\cos^{2n_1}x\, dx & \displaystyle =\int (\sin^2 x)^{m_1}\cos^{2n_1} x \, dx \\ & \displaystyle =\int \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{m_1}\cdot\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)^{n_1}\, dx \\ & \displaystyle =\frac{1}{2^{m_1+n_1+1}}\int (1-\cos t)^{m_1}\cdot (1+\cos t)^{n_1}\, dt \end{array} \] En la última igualdad hemos hecho el cambio de variable \(t=2x\).

Si desarrollamos las expresiones \((1-\cos t)^{m_1}\cdot (1+\cos t)^{n_1}\) nos quedarán sumas de integrales del tipo \(\displaystyle \int \cos^j t\, dx\) que ya han sido estudiadas en los apartados 1.2 y 1.3.

• 4: Las dos potencias \(m\) y \(n\) son impares. En este caso, existen dos naturales más, \(m_1\) y \(n_1\) tal que \(m=2m_1+1\) y \(n=2n_1+1\). Para resolver la integral inmediata, hacemos lo siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \sin^{2m_1+1}x\cos^{2n_1+1}x\, dx & \displaystyle =\int \sin^{2m_1+1}x (\cos^2 x)^{n_1} \cos x\, dx \\ & \displaystyle =\int \sin^{2m_1+1}x (1-\sin^2 x)^{n_1} \cos x\, dx. \end{array} \]

A continuación, si desarrollamos la expresión \((1-\sin^2 x)^{n_1}\) nos quedará una suma de integrales de la forma \(\displaystyle\int \sin^j x\cos x\, dx\), con \(j\) natural. Dichas integrales son inmediatas, ver apartado 1.2.

Vamos a ver cómo se calculan las integrales indefinidas del tipo \(\displaystyle\int \tan^n x\, dx\) y \(\displaystyle\int\cot^n x\, dx\).

En primer lugar, calculemos las integrales anteriores para \(n=1\) y \(n=2\).

La integral \(\displaystyle\int\tan x\, dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\, dx =-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\, dx\) es inmediata y corresponde a la segunda fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\cos x\):

\[ \int\tan x\, dx =-\ln |\cos x|+C. \]

La integral \(\displaystyle\int\cot x\, dx=\int\frac{\cos x}{\sin x}\, dx\) es inmediata y corresponde a la segunda fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\sin x\):

\[ \int\cot x\, dx =\ln |\sin x|+C. \]

Usando que la derivada de la función \(\tan x\) vale \((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\), la integral indefinida \(\displaystyle\int \tan^2 x\, dx\) es sencilla de calcular:

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \tan^2 x\, dx & =\displaystyle\int (1+\tan^2 x-1)\, dx = \int (1+\tan^2 x)\, dx-\int 1\, dx \\ & \displaystyle =\tan x-x+C. \end{array} \] De la misma manera, la integral de \(\displaystyle\int \cot^2 x\, dx\) se puede calcular usando que \((\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\): \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int \cot^2 x\, dx & \displaystyle =-\int -(1+\cot^2 x-1)\, dx \\ & \displaystyle = -\int -(1+\cot^2 x)\, dx - \int 1\, dx =-\cot x-x+C. \end{array} \]

Sea un \(n\geq 3\) natural. La integral indefinida \(\displaystyle\int \tan^n x\, dx\) se calcularía de la forma siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\tan^n x\, dx & \displaystyle = \int\tan^{n-2} x (1+\tan^2 x-1)\, dx \\ & \displaystyle = \int\tan^{n-2} x (1+\tan^2 x)\, dx-\int \tan^{n-2} x\, dx \end{array} \]

La integral \(\displaystyle \int\tan^{n-2} x (1+\tan^2 x)\, dx\) es inmediata y corresponde a la primera fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\tan x\): \[ \int\tan^{n-2} x (1+\tan^2 x)\, dx =\frac{\tan^{n-1} x}{n-1}+C. \] En resumen, hemos reducido el cálculo de la integral \(\displaystyle\int \tan^n x\, dx\) al cálculo de la integral \(\displaystyle\int \tan^{n-2} x\, dx\).

Aplicando la técnica anterior unas \(\frac{n}{2}\) veces, llegaríamos a la integral \(\displaystyle\int \tan x\, dx\) o \(\displaystyle\int\tan^2 x\, dx\) dependiendo de la paridad de \(n\). El valor de dichas integrales ya ha sido calculado.

Para calcular \(\displaystyle\int \cot^n x\, dx\), usamos una técnica parecida: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\cot^n x\, dx & \displaystyle = -\int\cot^{n-2} x (-1-\cot^2 x+1)\, dx \\ & \displaystyle = -\int\cot^{n-2} x (-1-\cot^2 x)\, dx-\int \cot^{n-2} x\, dx \end{array} \]

La integral \(\displaystyle \int\cot^{n-2} x (-1-\cot^2 x)\, dx\) es inmediata y corresponde a la primera fila de la tabla de integrales inmediatas con \(g(x)=\cot x\): \[ \int\cot^{n-2} x (-1-\cot^2 x)\, dx =\frac{\cot^{n-1} x}{n-1}+C. \] En resumen, hemos reducido el cálculo de la integral \(\displaystyle\int \cot^n x\, dx\) al cálculo de la integral \(\displaystyle\int \cot^{n-2} x\, dx\).

Aplicando la técnica anterior unas \(\frac{n}{2}\) veces, llegaríamos a la integral \(\displaystyle\int \cot x\, dx\) o \(\displaystyle\int\cot^2 x\, dx\) dependiendo de la paridad de \(n\). El valor de dichas integrales ya ha sido calculado.

Para resolver dichas integrales consideraremos 3 casos:

• \(\displaystyle\int\sin(mx)\sin(nx)\, dx\). Usando la fórmula que transforma el producto de funciones trigonométricas en sumas, obtenemos lo siguiente:

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\sin(mx)\sin(nx)\, dx & =\displaystyle \frac{1}{2}\int (\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x))\, dx\\ & = \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\sin((m-n)x)}{m-n}-\frac{\sin((m+n)x)}{m+n}\right)+C, \end{array} \]

si \(m\neq n\).

Si \(m=n\): \[ \int\sin^2(nx)\, dx = \frac{1}{2}\int (1-\cos(2nx))\, dx = \frac{1}{2}\left(x-\frac{\sin (2nx)}{2n}\right)+C. \]

• \(\displaystyle\int\sin(mx)\cos(nx)\, dx\). Usando la fórmula que transforma el producto de funciones trigonométricas en sumas, obtenemos lo siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\sin(mx)\cos(nx)\, dx & =\displaystyle \frac{1}{2}\int (\sin((m-n)x)+\sin((m+n)x))\, dx\\ & = \displaystyle \frac{1}{2}\left(-\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}-\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}\right)+C, \end{array} \] si \(m\neq n\).

Si \(m=n\): \[ \int\sin(nx)\cos(nx)\, dx = \frac{1}{2}\int \sin(2nx)\, dx = -\frac{1}{4n}\cos (2nx)+C. \]

• \(\displaystyle\int\cos(mx)\cos(nx)\, dx\). Usando la fórmula que transforma el producto de funciones trigonométricas en sumas, obtenemos lo siguiente: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int\cos(mx)\cos(nx)\, dx & =\displaystyle \frac{1}{2}\int (\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x))\, dx\\ & = \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\sin((m-n)x)}{m-n}+\frac{\sin((m+n)x)}{m+n}\right)+C, \end{array} \] si \(m\neq n\).

Si \(m=n\): \[ \int\cos^2(nx)\, dx = \frac{1}{2}\int (1+\cos(2nx))\, dx = \frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin (2nx)}{2n}\right)+C. \]

En esta sección, vamos a dar un método para resolver integrales trigonométricas racionales del tipo \(R(\sin x,\cos x)=\frac{P(\sin x,\cos x)}{Q(\sin x,\cos x)}\) donde \(P\) y \(Q\) son dos polinomios en las variable \(\sin x\) y \(\cos x\).

Para resolver este tipo de integrales, hemos de realizar el cambio de variable general \(t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\).

Veamos cómo se transforman \(\sin x\) y \(\cos x\) como funciones de \(t\).

En primer lugar, usando que \(1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\), deducimos que \(\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+t^2}\).

A continuación, usando que \(\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1}{1+t^2}\), deducimos que \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\).

De la misma manera, \(\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)=2\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{2t}{1+t^2}\).

La relación entre los diferenciales será la siguiente: \[ dt = \frac{1}{2\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)}\, dx=\frac{\left(1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{2}dx = \frac{1+t^2}{2}dx\ \Rightarrow dx=\frac{2 dt}{1+t^2}. \]

Después de realizar el cambio, la integral indefinida nos quedará, en función de la nueva variable \(t\): \[ \int R(\sin x,\cos x)\, dx = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2 dt}{1+t^2}. \] Se trata de la integral indefinida de una función racional en \(t\) que ya hemos estudiado.

El cambio que hemos propuesto nos sirve para resolver cualquier integral racional en \(\sin x\) y \(\cos x\).

El problema es que la integral racional que nos sale, en muchas ocasiones, tiene el término \((1+t^2)^k\) con \(k\geq 2\) en el denominador. Esto obliga a que tengamos que aplicar el método de Ostrogradski haciendo que el cálculo de la integral sea muy tedioso.

En algunas ocasiones, si la función \(R\) verifica una cierta condición, podemos realizar otro cambio para transformar nuestra integral \(\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\, dx\) en una integral racional más simple. Veamos a continuación en qué casos podemos hacer estos cambios más sencillos indicando dichos cambios.

• Supongamos que la función \(R\) es par en las variables \(\sin x\) y \(\cos x\): \(R(\sin x, \cos x)=R(-\sin x, -\cos x)\). Entonces, sólo nos pueden salir potencias pares en \(\sin x\) y \(\cos x\).

En este caso hacemos el cambio \(t=\tan x\), con \(\cos^2 x=\frac{1}{1+t^2}\), \(\sin^2 x=\frac{t}{1+t^2}\), \(dx=\frac{dt}{1+t^2}\).

• Supongamos que la función \(R\) es impar en la variable \(\sin x\): \(R(\sin x, \cos x)=-R(-\sin x, \cos x)\). Entonces, sólo nos pueden salir potencias impares en \(\sin x\).

En este caso hacemos el cambio \(t=\cos x\), con \(\sin x = \sqrt{1-t^2}\), \(dx=-\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\).

• Supongamos que la función \(R\) es impar en la variable \(\cos x\): \(R(\sin x, \cos x)=-R(\sin x, -\cos x)\). Entonces, sólo nos pueden salir potencias impares en \(\cos x\).

En este caso hacemos el cambio \(t=\sin x\), con \(\cos x = \sqrt{1-t^2}\), \(dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\).

En esta sección vamos a estudiar la integral indefinida de un conjunto de funciones que contienen la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado \(\sqrt{ax^2+bx+c}\).

Concretamente, las integrales indefinidas que nos planteamos tienen la forma siguiente: \(\displaystyle\int\frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx\), donde \(P(x)\) es un polinomio en la variable \(x\).

Vamos a realizar el estudio del cálculo de la integral indefinida correspondiente dependiendo del signo del término principal \(a\) y de si el polinomio \(ax^2+bx+c\) tiene o no raíces reales.

En este caso, la ecuación \(a x^2+bx +c=0\) tiene dos raíces reales.

En primer lugar, “arreglamos” el término \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) de la siguiente manera: \[ \begin{array}{rl} \sqrt{ax^2+bx+c} & =\sqrt{a}\sqrt{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}=\sqrt{a}\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}}\\ & = \sqrt{a}\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}}\sqrt{y^2-1}, \end{array} \] con \(y=\frac{2a}{\sqrt{b^2-4 a c}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\).

A continuación, nos planteamos el cambio de variable siguiente: \(y=\sec t=\frac{1}{\cos t}\), o si se quiere: \[ \frac{2a}{\sqrt{b^2-4 a c}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\sec t=\frac{1}{\cos t}. \]

La relación entre los diferenciales es la siguiente: \[ \frac{2a}{\sqrt{b^2-4 a c}}\, dx=\frac{\sin t}{\cos^2 t}\, dt,\ \Rightarrow dx=\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{2a}\cdot \frac{\sin t}{\cos^2 t}\, dt. \]

El término \(\sqrt{a x^2+bx+c}\) se nos transforma en función de la variable \(t\) en: \[ \begin{array}{rl} \sqrt{a x^2+bx+c} & = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}}\sqrt{\frac{1}{\cos^2 t}-1}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}}\frac{\sin t}{\cos t}\\ & =\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}} \tan t. \end{array} \]

De esta manera, hemos transformado la integral indefinida que contiene el término \(\sqrt{a x^2+bx+c}\) en una integral racional en \(\sin t\), \(\cos t\), \(\displaystyle\int R(\sin t,\cos t)\, dx\), que ya han sido estudiadas: \[ \int\frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx =\frac{1}{\sqrt{a}}\int \frac{P\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a\cos t}-\frac{b}{2a}\right)}{ \cos t}\, dt \]

En este caso, la ecuación \(a x^2+bx +c=0\) no tiene raíces reales.

El “arreglo” del término \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) será, en este caso: \[ \begin{array}{rl} \sqrt{ax^2+bx+c} & =\sqrt{a}\sqrt{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}=\sqrt{a}\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}}\\ & = \sqrt{a}\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4a^2}}=\sqrt{\frac{4 a c-b^2}{4a}}\sqrt{y^2+1}, \end{array} \] con \(y=\frac{2a}{\sqrt{4 a c-b^2}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\).

A continuación, nos planteamos el cambio de variable siguiente: \(y=\tan t\), o si se quiere: \[ \frac{2a}{\sqrt{4 a c-b^2}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\tan t. \]

La relación entre los diferenciales es la siguiente: \[ \frac{2a}{\sqrt{4 a c-b^2}}\, dx=\frac{1}{\cos^2 t}\, dt,\ \Rightarrow dx=\frac{\sqrt{4 a c-b^2}}{2a}\cdot \frac{1}{\cos^2 t}\, dt. \]

El término \(\sqrt{a x^2+bx+c}\) se nos transforma en función de la variable \(t\) en: \[ \sqrt{a x^2+bx+c} = \sqrt{\frac{4 a c-b^2}{4a}} \sqrt{\tan^2 t+1}=\sqrt{\frac{4 a c-b^2}{4a}}\frac{1}{\cos t}. \]

De esta manera, hemos transformado la integral indefinida que contiene el término \(\sqrt{a x^2+bx+c}\) en una integral racional en \(\sin t\), \(\cos t\), \(\displaystyle\int R(\sin t,\cos t)\, dx\), que ya han sido estudiadas: \[ \int\frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx =\frac{1}{\sqrt{a}}\int \frac{P\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}\tan t}{2a}-\frac{b}{2a}\right)}{ \cos t}\, dt. \]

En este caso, la ecuación \(a x^2+bx +c=0\) tiene dos raíces reales.

El “arreglo” del término \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) será, en este caso: \[ \begin{array}{rl} \sqrt{ax^2+bx+c} & =\sqrt{-a}\sqrt{-x^2-\frac{b}{a}x- \frac{c}{a}}=\sqrt{-a}\sqrt{-\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}\\ & = \sqrt{-a}\sqrt{-\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2-4 a c}{4a^2}}=\sqrt{\frac{4 a c-b^2}{4a}}\sqrt{1-y^2}, \end{array} \] con \(y=\frac{2|a|}{\sqrt{b^2-4 a c}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{-2 a}{\sqrt{b^2-4 a c}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\).

A continuación, nos planteamos el cambio de variable siguiente: \(y=\sin t\), o si se quiere: \[ \frac{-2 a}{\sqrt{b^2-4 a c}}\left(x+\frac{b}{2a}\right) =\sin t. \]

La relación entre los diferenciales es la siguiente: \[ \frac{-2 a}{\sqrt{b^2-4 a c}}\, dx=\cos t\, dt,\ \Rightarrow dx=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot \cos t\, dt. \]

El término \(\sqrt{a x^2+bx+c}\) se nos transforma en función de la variable \(t\) en: \[ \sqrt{a x^2+bx+c} = \sqrt{\frac{4 a c-b^2}{4a}} \sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\frac{4 a c-b^2}{4a}} \cos t. \]

De esta manera, hemos transformado la integral indefinida que contiene el término \(\sqrt{a x^2+bx+c}\) en una integral racional en \(\sin t\), \(\cos t\), \(\displaystyle\int R(\sin t,\cos t)\, dx\), que ya han sido estudiadas: \[ \int\frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx =-\frac{1}{\sqrt{-a}}\int P\left(-\frac{\sqrt{b^2-4ac}\sin t}{2a}-\frac{b}{2a}\right)\, dt. \]

En este caso, la ecuación \(a x^2+bx +c=0\) no tiene raíces reales.

Este caso no tendría sentido considerarlo ya que para todo valor \(x\in\mathbb{R}\) real, \(ax^2+bx+c<0\). Por tanto, el dominio de la función \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) sería el conjunto vacío, \(\emptyset\).

Veamos otras integrales indefinidas donde se pueden aplicar las técnicas de integración vistas en esta sección.

Para calcular la integral indefinida del tipo \(\displaystyle\int\frac{dx}{(e x+f)\sqrt{a x^2+b x+c}}\, dx\), donde \(a,b,c,e\) y \(f\) son constantes, podemos considerar el cambio siguiente: \(t=\frac{1}{e x+f}\).

La relación entre los diferenciales es el siguiente: \(dt=-\frac{e}{(ex+f)^2}\,dx=-e t^2\, dx\). Por tanto, \(dx=-\frac{1}{e t^2}\, dt\). Entonces la integral en la nueva variable \(t\) sería: \[ \int\frac{dx}{(d x+e)\sqrt{a x^2+b x+c}} =-\int \frac{dt}{\sqrt{(a f^2-b e f+c e^2) t^2+(b e-2 a f)t+a}}. \] La última integral sería del tipo que hemos estudiado antes.

Para calcular una integral indefinida del tipo \(\displaystyle\int\sqrt{ax^2+bx+c}\, dx\), podemos realizar los cambios indicados en esta sección y quedarán transformadas en integrales trigonométricas del tipo \(\displaystyle\int R(\sin x,\cos x)\, dx\) que ya han sido estudiadas.

En esta sección nos planteamos el cálculo de integrales indefinidas del tipo \[ \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+e}\right)^{r_1},\left(\frac{ax+b}{cx+e}\right)^{r_2},\ldots, \left(\frac{ax+b}{cx+e}\right)^{r_k}\right)\, dx, \] donde \(R\) es una función racional en las variables \(x\), \(\left(\frac{ax+b}{cx+e}\right)^{r_1},\ldots,\left(\frac{ax+b}{cx+e}\right)^{r_k}\), y los valores \(r_i\) son valores racionales de la forma \(r_i=\frac{p_i}{q_i}\), \(i=1,\ldots,k\).

Para el cálculo de integrales de este tipo, consideramos el cambio de variable siguiente: \(t^n =\frac{ax+b}{cx+e}\), donde \(n\) es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los valores \(r_i\): \(n=\mathrm{mcm}(q_1,\ldots,q_k)\).

La relación entre los diferenciales es la siguiente: \[ m t^{m-1}\, dt = \frac{ae-bc}{(cx+e)^2}\, dx\ \Rightarrow dx=\frac{(ae-bc) m t^{m-1}}{(c t^m-a)^2}\, dt. \] Sean los números naturales \(\alpha_i = \frac{m p_i}{q_i}\), \(i=1,\ldots, k\). Dichos números son naturales ya que como \(m\) és múltiplo de \(p_i\), \(\frac{m}{q_i}\in\mathbb{N}\).

El valor de la integral a calcular en la nueva variable \(t\) sería: \[ \int R\left(\frac{e t^m-b}{a-c t^m},t^{\alpha_1},t^{\alpha_2},\ldots, t^{\alpha_k}\right)\frac{(ae-bc) m t^{m-1}}{(c t^m-a)^2}\, dt. \] Se trataría de una integral racional en la variable \(t\) y, por tanto, ya las sabemos resolver ya que han sido estudiadas anteriormente.