La idea de integración nace de la necesidad de calcular áreas.

El cálculo de un área es la medición de la cantidad de unidades de superficie necesarias para una cobertura exacta de una determinada figura plana.

A partir de un cuadrado unitario el área de un rectángulo se puede calcular multiplicando la longitud por la anchura del mismo.

Dado que un triángulo se puede diseccionar y volver a montar para formar un rectángulo, el área del mismo se puede calcular dividiendo por dos el área del rectángulo correspondiente.

Usando la mismo idea, y dado que un polígono se puede diseccionar en triángulos, el área de cualquier polígono también se puede calcular sumando el área de los triángulos involucrados.

Sin embargo, cuando la figura es curva, el cálculo de su área se complica mucho. Usando el mismo razonamiento que el cálculo del área de polígonos, podíamos considerar los polígonos inscritos y circunscritos como cotas inferiores y superiores del área de la figura a calcular.

Si hacemos dichos polígonos más “precisos” progresivamente, podemos considerar que el área de la figura curva sería el límite del área de cada colección de dichos polígonos. Ver figura siguiente.

Ésta es la idea fundamental de la integración de Riemman y es la que vamos a desarrollar seguidamente.

Para definir las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos como aproximaciones al área de una figura curva cualquiera, necesitamos definir el concepto de partición de un intervalo que será dónde “descansarán” los polígonos anteriores.

Definición de partición de un intervalo.

Sea \([a,b]\subset\mathbb{R}\) un intervalo de la recta real. Una partición \(P=\{x_0=a< x_1<\ldots,x_n=b\}\) del intervalo anterior es un conjunto finito de puntos ordenados dentro del intervalo donde el mínimo coincide con \(a\) y el máximo, con \(b\). A los subintervalos \([x_i,x_{i+1}]\), para \(i=0,\ldots,n-1\) se le denomina subintervalos de la partición \([a,b]\):

Para aproximar cada vez más el área de la figura curva al área de la colección de polígonos, necesitamos introducir el concepto de partición más fina en el sentido de que cuánta más fina sea una partición, más buena será la aproximación del área de los polígonos que descansan sobre ella:

Definición de partición más fina.

Sea \([a,b]\subset\mathbb{R}\) un intervalo de la recta real. Sean \(P\) y \(P'\) dos particiones del intervalo \([a,b]\). Diremos que la partición \(P'\) es más fina que la partición \(P\) si \(P\subseteq P'\), es decir si todos los puntos de la partición \(P\) son puntos de la partición \(P'\), o si se quiere decir en otros términos, si todo subintervalo de \(P'\) está incluido en algún subintervalo de \(P\).

El diámetro de una partición es una forma de medir la finura de la misma:

Definición de diámetro de una partición.

Sea \([a,b]\subset\mathbb{R}\) un intervalo de la recta real. Sea \(P=\{x_0=a<x_1<\ldots <x_n\}\) una partición del intervalo. Llamaremos diámetro de la partición \(P\) y lo denotaremos por \(|P|\) a la longitud máxima de los subintervalos de la misma: \[ |P|=\max_{i=1,\ldots,n} (x_i-x_{i-1}). \]

Observación.

Dadas dos particiones, si \(P'\) es más fina que \(P\), se verifica que el diámetro de la más fina es menor o igual que el diámetro de la menos fina ya que ésta incluye todos los subintervalos de la más fina: \(|P'|\leq |P|\).

A continuación vamos a definir las aproximaciones inferior y superior del área de la función curva a calcular usando como colección de polígonos los rectángulos con base en los subintervalos de las particiones y cuyas alturas serán los valores ínfimo y supremo, respectivamente, de la función en cada subintervalo:

Definición de sumas inferiores y superiores.

Sea \([a,b]\subset\mathbb{R}\) un intervalo de la recta real. Sea \(P=\{x_0=a<x_1<\ldots <x_n\}\) una partición del intervalo. Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada en dicho intervalo. Definimos para cada subintervalo \([x_{i-1},x_i]\) el valor ínfimo y supremo de la función en dicho subintervalo: \[ m_i =\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x),\quad M_i =\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x). \]

La suma inferior correspondiente a la partición \(P\) a la función \(f\) se define como: \[ L(f,P)=\sum_{i=1}^n m_i\cdot (x_i-x_{i-1}), \] y la suma superior correspondiente a la partición \(P\) a la función \(f\) se define como: \[ U(f,P)=\sum_{i=1}^n M_i\cdot (x_i-x_{i-1}). \]

Observación.

El nombre de \(L\) en la notación de suma inferior viene del inglés “lower” y el nombre de \(U\) en la suma superior, de “upper”.

En las dos figuras siguientes se puede ver un ejemplo de una partición de 6 puntos indicando los infimos \(m_i\) y los supremos \(M_i\) de la función representada en verde en cada subintervalo de la partición.

La suma de las áreas de los rectángulos en azul sería la suma inferior \(L(f,P)\) correspondiente a la partición \(P\) de la función \(f\) y la suma de las áreas de los rectángulos en rojo, la suma superior \(U(f,P)\) correspondiente a dicha partición \(P\) de la función \(f\).

El resultado siguiente nos dice cómo se comportan las sumas inferiores y superiores a medida que hacemos más finas las particiones del intervalo en cuestión:

Proposición.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una función acotada. Sean \(P\) y \(P'\) dos particiones del intervalo \([a,b]\). Entonces:

• Si la partición \(P'\) es más fina que la partición \(P\), se verifica: \[ L(f,P')\geq L(f,P), \quad U(f,P')\leq U(f,P). \]

• Siempre se verifica que: \[ L(f,P)\leq U(f,P'). \]

Observación.

La proposición anterior nos dice que a medida que las particiones se hacen más finas, las sumas inferiores van creciendo y las sumas superiores van disminuyendo.

O, dicho en otros términos, cuánto más fina es la partición, el área por defecto de la función \(f\) va creciendo y el área por exceso va disminuyendo.

La segunda parte nos dice que cualquier suma superior de cualquier partición siempre supera cualquier suma inferior de otra partición cualquiera. Es decir, cualquier área por exceso siempre supera cualquier área por defecto.

Dada una función acotada \(f\), usando la proposición anterior, a medida que hagamos más finas las particiones del intervalo de definición de dicha función, las sumas inferiores irán aumentando y las sumas superiores irán disminuyendo.

Como cualquier suma inferior está acotada superiormente por una suma superior cualquiera, existirá el supremo de dichas sumas inferiores para todas las particiones del intervalo.

De la misma manera, como cualquier suma superior está acotada inferiormente por una suma inferior cualquiera, existirá el ínfimo de dichas sumas superiores para todas las particiones del intervalo.

A dicho supremo y a dicho ínfimo se le conoce como integral inferior y superior de la función \(f\), respectivamente:

Definición de integral superior e inferior.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada. Definimos integral inferior e integral superior de la función \(f\) al supremo y al ínfimo de las sumas inferiores e superiores respectivamente para todas las particiones del intervalo: \[ \underline{\int_a^b} f =\sup_P L(f,P),\quad \overline{\int_a^b} f =\inf_P U(f,P). \]

Observación.

Dada una partición cualquiera del intervalo \([a,b]\) se verifica siempre: \[ L(f,P)\leq \underline{\int_a^b} f\leq \overline{\int_a^b} f \leq U(f,P). \] La primera desigualdad es consecuencia de que un elemento (suma inferior de \(f\) respecto de una partición \(P\)) siempre es menor que el supremo del conjunto (supremo de las sumas inferiores de \(f\) respecto de las particiones).

La segunda desigualdad es consecuencia de que siempre cualquier suma inferior respecto de una partición \(P\) es menor que cualquier suma superior respecto de cualquier partición \(P'\) no necesariamente la misma que \(P\) (ver proposición anterior): \(L(f,P)\leq U(f,P')\). Si consideramos ínfimos en la parte derecha de la desigualdad anterior, tendremos: \[ L(f,P)\leq\inf_{P'} U(f,P')=\overline{\int_a^b} f. \]

Y ahora, como \(\overline{\int_a^b} f\) es un valor fijo, si consideramos supremos en la parte izquierda de la desigualdad anterior, tenemos: \[ \underline{\int_a^b} f =\sup_P L(f,P)\leq \overline{\int_a^b} f, \] tal como queríamos ver.

Por último, la tercera desigualdad es consecuencia de que el ínfimo de un conjunto de elementos (sumas superiores respecto de particiones) siempre es menor que cualquiera de sus elementos (suma superior respecto de la partición \(P\)).

La proposición siguiente nos dice que siempre es posible hallar una partición \(P\), tan fina como sea posible, tal que la integral superior e inferior de \(f\) se puede aproximar tanto como se quiera a la suma superior e inferior de \(f\) respecto la partición \(P\).

Proposición.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada. Entonces, para todo valor \(\epsilon >0\), siempre es posible hallar un valor \(\delta >0\) tal que si \(P\) es una partición del intervalo \([a,b]\) con diámetro menor que \(\delta\), \(|P|<\delta\), entonces: \[ 0\leq \underline{\int_a^b} f -L(f,P)<\epsilon, \quad 0\leq U(f,P)-\overline{\int_a^b} f <\epsilon. \]

Observación.

La proposición anterior es equivalente a la siguiente: Si \(\{P_n\}_n\) es una sucesión de particiones con diámetros tendiendo a cero, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_n|=0\), entonces: \[ \lim_{n\to\infty} L(f,P_n)=\underline{\int_a^b} f,\quad \lim_{n\to\infty} U(f,P_n)=\overline{\int_a^b} f. \]

En estos momentos ya estamos en condiciones de definir cuándo una función acotada cualquiera será integrable.

La idea es que la integral superior e inferior de la misma deben coincidir.

Es decir, los límites de las sumas superiores e inferiores cuando las particiones se hacen más y más finas deben ser los mismos:

Definición de función integrable.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada. Diremos que dicha función es integrable si su integral inferior y superior coinciden y en este caso, llamaremos integral de \(f\) en el intervalo \([a,b]\) al valor de dichas integrales: \[ \int_a^b f = \underline{\int_a^b}= \overline{\int_a^b} f. \] La integral también se indica por \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\).

A continuación vamos a dar condiciones y criterios para verificar si una determinada función es o no integrable.

La proposición siguiente nos dice que afirmar que una función es integrable es equivalente a decir que podemos encontrar un partición del intervalo correspondiente tal que la diferencia entre la sumas inferior y la superior de dicha partición se puede hacer tan pequeña como se quiera:

Proposición: condición necesaria y suficiente de integrabilidad. Criterio de Riemann

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada. Entonces \(f\) es integrable si, y sólo si se verifica la condición siguiente: para todo valor positivo \(\epsilon >0\), existe una partición \(P\) del intervalo \([a,b]\) tal que \(U(f,P)-L(f,P)<\epsilon\).

La condición anterior es difícil de aplicar en la práctica y en su lugar se usa la proposición equivalente siguiente:

Proposición: condición necesaria y suficiente de integrabilidad.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada. Sea \(\{P_n\}_n\) una sucesión de particiones del intervalo \([a,b]\) tal que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_n|=0\), es decir, los diámetros tienden a cero. Entonces \(f\) es integrable si, y sólo si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}U(f,P_n)=\lim_{n\to\infty}L(f,P_n)\) y, en este caso, \[\lim_{n\to\infty}L(f,P_n)=\int_a^b f=\lim_{n\to\infty}U(f,P_n).\]

Dicha proposición nos dice que para verificar que una función \(f\) sea integrable en un intervalo \([a,b]\), basta hallar una sucesión de particiones \((P_n)_n\) con diámetros cada vez más pequeños y tendiendo a cero tal que el límite de las sumas superiores e inferiores tienden hacia el mismo límite siendo dicho límite el valor de la integral de la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\).

En esta sección vamos a estudiar un conjunto de propiedades relacionadas con la integrabilidad de funciones. Dichas propiedades grosso modo son las siguientes:

• Aditividad respecto del intervalo.
• Linealidad de la integral.
• Composición de una función continua con una función integrable es integrable.
• Producto y cociente de funciones integrables son también integrables.
• Monotonía y continuidad de funciones.

• Relación entre la monotonia y continuidad de funciones con integrabilidad.
• Montonía de la integral respecto de la función.
• Teorema de la media para integrales: ver cómo se puede escribir la integral de una función como el producto de la longitud del intervalo de integración por un cierto valor real. También generalizaremos dicho resultado.

Teorema.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada y sea \(c\in (a,b)\) de tal forma que \(a<c<b\). Entonces, \(f\) es integrable en \([a,b]\) si, y sólo si, \(f\) es integrable en \([a,c]\) y \([c,b]\) y, en este caso: \[ \int_a^b f = \int_a^c f+\int_c^b f. \]

Observación:

Una consecuencia del teorema anterior es que si \(f\) es integrable en todo el intervalo \([a,b]\), lo es en cualquier subintervalo.

Observación.

Dos consecuencias del teorema anterior son las siguientes: \[ \int_a^a f=0,\quad \int_b^a f=-\int_a^b f. \]

Teorema:

Sean \(f, g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) dos funciones integrables en el intervalo \([a,b]\). Sean \(\alpha\) y \(\beta\) dos valores reales. Entonces la función \(\alpha f+\beta g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) es integrable en \([a,b]\) y además: \[ \int_a^b \alpha f+\beta g =\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g. \]

Observación.

El teorema anterior es equivalente a afirmar lo siguiente:

1. Si \(f, g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) son integrables en \([a,b]\), entonces \(f+g\) es integrable en \([a,b]\) y además: \(\displaystyle\int_a^b f+g =\int_a^b f+\int_a^b g\).

2. Si \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) es integrable en \([a,b]\) y \(\alpha\) un valor real, entonces \(\alpha f\) es integrable en \([a,b]\) y además \(\displaystyle\int_a^b \alpha f=\alpha \int_a^b f\).

Teorema:

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función integrable en el intervalo \([a,b]\) y \(\phi:[c,d]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua en el intervalo \([c,d]\) tal que \(f([a,b])\subset [c,d]\). Entonces la función composición \(\phi\circ f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) definida por \(\phi\circ f(x)=\phi(f(x))\) es también integrable en el intervalo \([a,b]\).

Teorema.

Sean \(f, g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) dos funciones integrables en el intervalo \([a,b]\). Entonces la función \(f\cdot g\) también es integrable en \([a,b]\).

Si además existe una constante \(k\) tal que \(|g(x)|\geq k\), para todo valor \(x\in [a,b]\), entonces la función \(\frac{f}{g}\) también es integrable en \([a,b]\).

Teorema.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función monótona en el intervalo \([a,b]\). Entonces la función \(f\) es integrable en dicho intervalo.

Teorema.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua en el intervalo \([a,b]\). Entonces la función \(f\) es integrable en dicho intervalo.

Proposición.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función integrable en el intervalo \([a,b]\) tal que \(f(x)\geq 0\), para todo valor \(x\in [a,b]\). Entonces la integral de la función \(f\) también es positiva: \[\displaystyle\int_a^b f\geq 0.\]

Observación.

Usando la proposición anterior podemos afirmar que si tenemos dos funciones \(f,g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) integrables en el intervalo \([a,b]\) tales que \(f(x)\leq g(x),\) para cualquier valor \(x\in [a,b]\), entonces \(\displaystyle\int_a^b f\leq \int_a^b g\) ya que basta considerar la función diferencia \(h(x)=f(x)-g(x)\) y aplicar la proposición a la función anterior \(h(x)\) usando la linealidad de la integral provada anteriormente.

A continuación veamos que la integral de una función continua que es estrictamente positiva en un punto, es también estrictamente positiva:

Corolario.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua en el intervalo \([a,b]\) tal que \(f(x)\geq 0\) para todo valor \(x\in [a,b]\). Supongamos que existe un punto \(c\in [a,b]\) tal que \(f(c)>0\). Entonces \[\int_a^b f >0.\]

Otra de las consecuencias de la monotonía de la integral es que el valor absoluto de una integral siempre es menor que la integral del valor absoluto:

Teorema.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función integrable en el intervalo \([a,b]\). Entonces la función \(|f|\) definida por: \(|f|:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\), con \(|f|(x)=|f(x)|\) es también integrable y además, \[ \left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|. \]

Antes de pasar a su demostración, necesitamos la condición siguiente que dejamos como ejercicio:

En esta sección vamos a escribir la integral de una función integrable en un cierto intervalo \([a,b]\) como el área de un cierto rectángula cuya longitud de la base es la longitud del intervalo, \(b-a\) y cuya altura es un valor que se encuentra entre el ínfimo y el supremo de la función.

En la figura siguiente se indica lo que queremos decir: el àrea de la función en rojo equivale al área del rectángulo en azul.

El Teorema del valor medio de la integral nos asegura precisamente esto: para cualquier función, siempre es posible encontrar un rectángulo cuya altura estará siempre entre el ínfimo y el supremo de la función cuyas áreas serán la misma.

Teorema de la media de la integral.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una función integrable en el intervalo \([a,b]\) y sea \(\displaystyle m=\inf_{x\in [a,b]} f(x)\) y \(\displaystyle M=\sup_{x\in [a,b]} f(x)\). Entonces siempre es posible hallar un valor \(\lambda\in [m,M]\) tal que \(\displaystyle \int_a^b f=\lambda\cdot (b-a)\).

Observación.

El valor \(\lambda\) es precisamente la altura del rectángulo del que nos referíamos antes. Además, observar que si la función, además de ser integrable, es continua, podemos decir por el Teorema del valor intermedio que existe un valor \(c\in [a,b]\) tal que \(\lambda =f(c)\). Entonces, en este caso, podemos escribir la integral de \(f\) en \([a,b]\) como: \(\displaystyle \int_a^b f=f(c)\cdot (b-a)\).

Corolario.

Sean \(f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) dos funciones integrables en el intervalo \([a,b]\), donde suponemos que \(g(x)\geq 0\) para todo valor \(x\in [a,b]\) y sea \(\displaystyle m=\inf_{x\in [a,b]} f(x)\) y \(\displaystyle M=\sup_{x\in [a,b]} f(x)\). Entonces siempre es posible hallar un valor \(\lambda\in [m,M]\) tal que \[\int_a^b f\cdot g =\lambda\cdot \int_a^b g.\]

Observación.

El teorema anterior generaliza el Teorema del valor medio ya que basta considerar \(g(x)=1\geq 0\) y obtenemos el Teorema del valor medio para integrales. Además, igual que pasaba con el Teorema del valor medio, conviene observar que si la función \(f\), además de ser integrable, es continua, podemos decir por el Teorema del valor intermedio que existe un valor \(c\in [a,b]\) tal que \(\lambda =f(c)\). Entonces, en este caso, podemos escribir la integral de \(f\cdot g\) en \([a,b]\) como: \[\int_a^b f\cdot g=f(c)\cdot \int_a^b g.\]

Recapitulemos lo que hemos hecho hasta el momento.

A partir de la idea intuitiva de área de una función hemos definido y formalizado la integral de una función en un intervalo estudiando posteriormente las propiedades que se derivan de dicho concepto.

Ahora bien, usando todo lo que sabemos, no sabemos o no podemos calcular el área de funciones “conocidas” como polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., recordemos por ejemplo todo el desarrollo que tuvimos que hacer para calcular el área de la función \(f(x)=x^k\) en el intervalo \([0,1]\).

Es decir, nos falta un método efectivo para calcular áreas de funciones.

El Teorema Fundamental del Cálculo nos resuelve este problema relacionando el problema del cálculo de integrales con el de derivadas.

Más concretamente, consideremos una función \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) integrable en el intervalo \([a,b]\) y definamos a partir de ella la función área \(F:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) como \(F(x)=\int_a^x f\), ver gráfica adjunta:

El Teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivada de la función \(F(x)\) es precisamente la función \(f(x)\) sobre la que integrábamos o calculábamos el área: \(F'(x)=f(x)\).

El problema es que nosotros tenemos la función \(f(x)\) y queremos hallar precisamente la función que da el área \(F(x)\). A la función \(F(x)\) se le llama primitiva de la función \(f(x)\) o antiderivada ya que si \(F'(x)=f(x)\), para calcular \(F(x)\) a partir de \(f(x)\) hemos de realizar la operación contraria de derivar.

Gracias a dicho Teorema, de cara a calcular áreas, hemos de aprender a calcular primitivas. En el capítulo siguiente, vamos a aprender a calcular primitivas de las funciones más conocidas.

Seguidamente, vamos a formalizar el Teorema Fundamental del Cálculo y a demostarlo.

Antes de pasar a su definición, necesitamos introducir la función área \(F(x)\) y ver que en general, es una función continua.

Teorema.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función integrable, y sea la función área definida de la forma siguiente: \(F:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\), \(F(x)=\int_a^x f\). Entonces \(F(x)\) es continua para todo valor de \(x\in [a,b]\).

Observación.

Como el intervalo \([a,b]\) es un intervalo cerrado y acotado, la función área \(F(x)\) no sólo es continua en todo valor \(x\in [a,b]\) sino que es uniformemente continua en el intervalo

Teorema Fundamental del Cálculo.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua, y por tanto, integrable, y sea la función área \(F(x)\) definida en el Teorema anterior. Entonces la función \(F\) es derivable en todo el intervalo \([a,b]\) y además, \(F'(x)=f(x)\), para todo valor \(x\in [a,b]\).

Observación.

Tal como hemos indicado anteriormente, a la función \(F\) se le llama primitiva o antiderivada de la función \(f\). Observar que dada una función \(f\), ésta tiene infinitas primitivas ya que si \(F\) es una de ellas, también lo es \(F+C\), donde \(C\) es una constante cualquiera. Efectivamente: \((F+C)'(x)=F'(x)=f(x)\).

La Regla de Barrow da la expresión del área o la integral de la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) usando el Teorema fundamental del cálculo:

Regla de Barrow.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua, y por tanto, integrable, y sea \(F:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una primitiva de \(f\). Entonces, el área de la función \(f\) entre \(a\) y un punto cualquiera del intervalo \(x\in [a,b]\) se puede expresar como: \[ \int_a^x f = F(x)-F(a). \]

Observación.

Si se usa la expresión anterior para \(x=b\), se obtiene la expresión del área de la función \(f\) entre \(a\) y \(b\): \(\displaystyle\int_a^b f = F(b)-F(a).\)

Usando el Teorema fundamental del cálculo vamos a generalizar el Teorema del valor medio en el siguiente sentido:

Segundo Teorema de la media.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una función integrable en \([a,b]\) y sea \(g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función monótona, decreciente y no negativa. Entonces, existe un valor \(c\in [a,b]\) tal que: \[ \int_a^b f\cdot g = g(a)\cdot\int_a^c f. \]

El teorema siguiente es otra versión del segundo teorema de la media:

Segundo Teorema del valor medio.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una función integrable en \([a,b]\) y sea \(g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función monótona, creciente y no negativa. Entonces, existe un punto \(c\in [a,b]\) tal que: \[ \int_a^b f\cdot g = g(b)\cdot\int_c^b f. \]

En esta sección vamos a ver dos técnicas de integración que nos serán útiles para calcular áreas o integrales:

• cambio de variable: algunas veces, cambiar de variable de integración puede simplificar los cálculos a la hora de hallar una primitiva de la función de integración \(f\).

• integración por partes: sería aplicar la fórmula de la derivada del producto al cálculo de primitivas.

Pero antes de introducir dichas técnicas vamos a cambiar de notación para denotar la integral de una función \(f\) en un intervalo \([a,b]\). En concreto, usaremos la notación siguiente: \[ \int_a^b f:=\int_a^b f(x)\, dx, \] ya que de esta manera indicamos cuál es la variable que se integra o, dicho en otros términos, cuál es la variable sobre la cual está definida la función de integración \(f(x)\).

El valor \(dx\) se llama diferencial de \(x\) y es para indicar precisamente cuál es la variable de integración. Por ejemplo si escribo \(\displaystyle \int_a^b f(t)\, dx\), significa que integro la función \(f(t)\) que está en función de una variable \(t\) pero la variable sobre la que integramos es \(x\) debido al \(dx\).

Para que la integral anterior se pueda realizar, necesitamos saber cuál es la relación entre las variables \(t\) y \(x\), es decir, cuál es la función \(g\) que pasa de una variable a la otra de la forma siguiente \(t=g(x)\) y de esta manera la integral anterior sería: \(\displaystyle \int_a^b f(g(x))\, dx\).

Teorema del cambio de variable.

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua en el intervalo \([a,b]\) y por tanto, integrable. Sea \(\phi\) una función de clase \({\cal C}^1\) en su intervalo de definición, es decir, una función derivable con función derivada continua. Supongamos el intervalo de definición de \(\phi\) es \([\alpha,\beta]\), es decir \(\phi:[\alpha,\beta]\longrightarrow\mathbb{R}\) con \(\phi(\alpha)=a\) y \(\phi(\beta)=b\) de tal forma que \(\phi([\alpha,\beta])=[a,b]\). Entonces, en estas condiciones: \[ \int_a^b f(x)\, dx= \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\cdot \phi'(t)\, dt. \]

Observación.

El Teorema del cambio de variable nos permite pasar de integrar la función \(f\) respecto de la variable \(x\) a integrar dicha función pero respecto de una nueva variable \(t\) de tal forma que la relación entre \(x\) y \(t\) nos la da la función \(\phi\): \(x=\phi(t)\).

Para aplicar el teorema anterior en la práctica, lo que hacemos es lo siguiente:

• Escribimos \(x=\phi(t)\) la relación entre las variables. Si tenemos \(t=\phi^{-1}(x)\), no hace falta obtener la relación \(x=\phi(t)\).

• Hallamos la relación entre los diferenciales (diferencial de \(x\), \(dx\) y diferencial de \(t\), \(dt\)):
  • Si tenemos la relación \(x=\phi(t)\), la relación entre diferenciales es \(dx=\phi'(t)dt\).
  • Si tenemos la relación \(t=\phi^{-1}(x)\), la relación entre diferenciales es \(dx=\frac{dt}{\phi^{-1'}(x)}\), asegurándose que la parte de la derecha sólo dependa de \(t\).
• Miramos cómo cambian los extremos de integración, es decir para \(x=a\), hallamos el valor de \(t\) correspondiente: \(a=\phi(\alpha)\) y para \(x=b\), hacemos lo mismo, \(b=\phi(\beta)\).

• Por último escribimos la integral a hallar en función de la nueva variable \(t\) usando los cambios anteriores: \[ \int_a^b f(x)\, dx= \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\cdot \phi'(t)\, dt. \]

Muchas veces integrar respecto la variable \(t\) es mucho más sencillo que integrar respecto la variable original \(x\).

Hallar la variable \(t\) que permite simplificar o hacer más sencilla la integral es todo un arte y necesita de mucha práctica.

Supongamos que podemos escribir nuestra función de integración \(f(x)\) de la siguiente manera: \(f(x)=u(x)\cdot v'(x)\), es decir, como el producto de una función \(u(x)\) por la derivada de otra función \(v(x)\).

La técnica de integración por partes nos permite escribir la integral de la función anterior pero en lugar de integrar \(u(x)\cdot v'(x)\), integrar \(u'(x)\cdot v(x)\), es decir, cambiando los papeles de las funciones \(u(x)\) y \(v(x)\).

Muchas veces es más sencillo integrar \(u'(x)\cdot v(x)\) que integrar \(u(x)\cdot v'(x)\) y de ahí su aplicación.

La demostración de dicha técnica está basada como veremos en la fórmula de derivación del producto.

Teorema de integración por partes.

Sean \(u,v:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) dos funciones de clase \({\cal C}^1\) (es decir, derivables con derivada continua) en el intervalo \([a,b]\). Entonces: \[ \int_a^b u(x)\cdot v'(x)\, dx=(u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a))-\int_a^b u'(x)\cdot v(x)\, dx. \]

Observación.

La aplicación de la fórmula de integración por partes se aplica en la práctica de la siguiente manera:

• Para realizar la integral \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\), tenemos que descomponer el integrando, \(f(x)\, dx\) en dos partes de la forma \(f(x)\, dx=u(x)\cdot dv(x)\).
  • La parte correspondiente a \(u(x)\) tiene que ser de tal forma que cuando derivemos \(u(x)\), ésta se simplifique bastante.
  • La parte correspondiente a \(dv(x)\) tiene que ser de tal forma que cuando la integremos, ésta no se complique demasiado porque pensemos que se complicará.

• Derivamos la parte que hemos llamado \(u(x)\) obteniendo \(u'(x)\) y integramos la parte que hemos llamado \(dv(x)\) hallando \(v(x)\).

• Aplicamos la fórmula de integración por partes intentando integrar \(u'(x)\cdot v(x)\) en lugar de \(u(x)\cdot v'(x)\): \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int_a^b u(x)\cdot v'(x)\, dx= & (u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a))\\ &\displaystyle -\int_a^b u'(x)\cdot v(x)\, dx. \end{array} \]

La teoría de integración de Riemann que hemos visto se introdujo básicamente para poder calcular áreas de funciones reales de variable real.

Sin embargo, su aplicación puede extenderse al

• cálculo de longitudes de curvas: vamos a ver cómo calcular la longitud de una curva dada por una función \(y=f(x)\) entre los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\),
• cálculo de áreas de figuras planas dadas en forma paramétrica: vamos a generalizar el cálculo de áreas de figuras planas cuyas ecuaciones vienen dadas por ecuaciones del tipo \(x=x(t)\) e \(y=y(t)\), donde \(t\) es el parámetro del área y se encuentra entre dos valores \(t=t_0\) y \(t=t_1\). Si la figura está cerrada, suponemos que \(x(t_0)=x(t_1)\) e \(y(t_0)=y(t_1)\),

• cálculo de volúmenes de revolución: si tenemos una función \(f\) definida en un intervalo \([a,b]\) y la hacemos girar respecto de los ejes coordenados \(X\) e \(Y\), vamos a ver cómo calcular el volumen de la figura 3D que generamos y,
• cálculo de áreas de revolución: estamos en el mismo caso anterior pero ahora, en lugar de calcular el volumen de la figura 3D que se genera, nos planteamos cómo calcular su área de revolución.

Las demostraciones de muchas fórmulas que vamos a ver en esta sección se salen de los objectivos de un primer curso de cálculo ya que son necesarios conceptos de cálculo deferencial e integral de más de una variable. Por dicho motivo, vamos a ver su expresión con algún ejemplo sin la demostración correspondiente.

Dada una función \(y=f(x)\) integrable definida en el intervalo \([a,b]\), la longitud del trozo de curva que va del punto \((a,f(a))\) al punto \((b,f(b))\) es la siguiente: \[ L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx. \] Si la curva viene dada en forma paramétrica \(x=x(t)\) e \(y=y(t)\), la longitud de la curva que va del punto \((x(t_0),y(t_0))\) al punto \((x(t_1),y(t_1))\) viene dada por: \[ L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\, dt. \]

Sabemos que dada una función \(f\) integrable en un intervalo \([a,b]\), el valor de la integral \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) es el área de \(f\) entre \(a\) y \(b\).

Ahora bien, pensemos que si la función \(f\) va por debajo del eje de las \(X\), el área será negativa por propia definición de las sumas superiores e inferiores para definir la integral. Veamos un ejemplo:

¿Qué pasaría si la función tuviese zonas con valores positivos y negativos? En este caso se restarían las dos áreas: el área global sería la resta entre la zona donde la función \(f\) es positiva y la zona donde la función \(f\) es negativa.

Veamos el ejemplo siguiente:

Del ejemplo anterior, vemos que es clave hallar los valores donde \(f\) se anula en el eje \(X\) o hallar los ceros de \(f\) ya que en dichos valores la función \(f\) puede cambiar de signo y el área puede pasar de positiva a negativa o viceversa.

Generalicemos el problema anterior: imaginemos que tenemos dos funciones \(f\) y \(g\) definidas en el mismo intervalo \([a,b]\) y queremos hallar el área que hay entre dichas funciones.

Veamos un ejemplo para ilustrar nuestro problema:

En general para hallar el área que enmarcan dos funciones \(f\) y \(g\) en un intervalo \([a,b]\) hay que seguir los pasos siguientes:

• Resolver la ecuación \(f(x)=g(x)\) para todos los valores \(x\in [a,b]\). Sean \(a\leq x_1 < x_2 <\cdots < x_n \leq b\).

• Mirar el signo de la diferencia de funciones \(f(x)-g(x)\) en el intervalo \([x_i,x_{i+1}]\). Para ello, basta considerar un punto de dicho intervalo, por ejemplo el punto medio \(x_m=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\) y mirar que signo tiene el valor \(f(x_m)-g(x_m)\). Sea \(s_i\) el valor que nos indica el signo de \(f(x)-g(x)\) en dicho intervalo: \[ s_i =\begin{cases} 1, & \mbox{si } f(x)-g(x)\geq 0,\\ -1, & \mbox{si } f(x)-g(x)\leq 0. \end{cases} \]

El área buscada será entonces: \[ \begin{array}{rl} \mathrm{Área} = & \displaystyle s_0\int_a^{x_1} (f(x)-g(x))\, dx+s_1\int_{x_1}^{x_2} (f(x)-g(x))\, dx+\cdots \\ & \displaystyle +s_n\int_{x_n}^b (f(x)-g(x))\, dx. \end{array} \]

Consideremos una función \(f(x)\) definida entre dos valores \(a\) y \(b\) y consideremos el sólido de revolución generado por dicha función al girar alrededor del eje \(X\). El volumen de dicho sólido es el siguiente: \[ V_X =\pi\int_a^b f(x)^2\, dx. \]

Si en lugar de girar alrededor del eje \(X\), giramos alrededor del eje \(Y\), el volumen del sólido de revolución generado es el siguiente: \[ V_Y =2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\, dx. \]

Consideremos una función \(f(x)\) definida entre dos valores \(a\) y \(b\) y consideremos el sólido de revolución generado por dicha función al girar alrededor del eje \(X\). El área de la superficie generado por dicho sólido es el siguiente: \[ \mathrm{Área}_X=2\pi \int_a^b f(x)\cdot \sqrt{1+f'(x)^2}\, dx. \] Si en lugar de girar alrededor del eje \(X\), queremos girar alrededor del eje \(Y\), tenemos que escribir la variable \(x\) en función de \(y\), de la forma \(x=g(y)\), la función \(g\) será \(f^{-1}\) y hallar los dos valores extremos \(c\) y \(d\) en el eje \(Y\). El área de la superficie de revolución generada será, en este caso: \[ \mathrm{Área}_Y=2\pi \int_c^d g(y)\cdot \sqrt{1+g'(y)^2}\, dy. \]

Las integrales que hemos visto hasta ahora están definidas en intervalos cerrados y acotados de la forma \([a,b]\).

En esta sección vamos a generalizar la definición de integral de una función a intervalos de la forma \([a,\infty)\), \((-\infty,b]\) o incluso \((-\infty,\infty)\).

También vamos a considerar intervalos semiabiertos de la forma \((a,b]\), \([a,b)\) donde la función \(f\) tenga una asíntota vertical en \(x=a\) o \(x=b\), respectivamente.

Vayamos por partes, ¿cómo se realizará dicha generalización? Usando el concepto de límite:

• para funciones \(f\) definidas en intervalos de la forma \([a,\infty)\), \((-\infty,b]\), definiremos \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) o \(\displaystyle\int_{-\infty}^b f(x)\, dx\) de la siguiente forma: \[ \int_a^\infty f(x)\, dx =\lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\, dx,\quad \int_{-\infty}^b f(x)\, dx=\lim_{t\to -\infty}\int_{t}^b f(x)\, dx. \]

A este tipo de integración se le denomina integración impropia de primera especie y se necesita que la función \(f\) sea integrable en todo intervalo cerrado de la forma \([a,t]\) (\(t>a\)) o \([t,b]\) (\(t<b\)), respectivamente, para que tenga sentido realizar los límites correspondientes.

Si el límite anterior existe, diremos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, diremos que es divergente

• para funciones \(f\) definidas en intervalos de la forma \([a,b)\) o \((a,b]\), en donde \(f\) tiene una asíntota vertical en \(x=a\) o \(x=b\), respectivamente, definiremos \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\) o \(\displaystyle\int_{a}^b f(x)\, dx\) de la siguiente forma: \[ \int_a^b f(x)\, dx =\lim_{t\to b^{-}}\int_a^t f(x)\, dx,\quad \int_{a}^b f(x)\, dx=\lim_{t\to a^+}\int_{t}^b f(x)\, dx. \]

A este tipo de integración se le denomina integración impropia de segunda especie y se necesita que la función \(f\) sea integrable en todo intervalo cerrado de la forma \([a,t]\) (\(a<t<b\)) o \([t,b]\) (\(a<t<b\)), respectivamente, para que tenga sentido realizar los límites correspondientes.

Si el límite anterior existe, diremos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, diremos que es divergente

• para funciones \(f\) definidas en intervalos de la forma \((-\infty,\infty)\) o \((a,b)\), en donde \(f\) tiene una asíntota vertical en \(x=a\) y \(x=b\), definiremos \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx\) o \(\displaystyle\int_{a}^b f(x)\, dx\) de la siguiente forma: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx & =\displaystyle\lim_{t\to -\infty}\int_t^c f(x)\, dx + \lim_{t\to \infty}\int_c^t f(x)\, dx,\\ \displaystyle\int_{a}^b f(x)\, dx & =\displaystyle\lim_{t\to a^+}\int_{t}^c f(x)\, dx + \lim_{t\to b^-}\int_{c}^t f(x)\, dx, \end{array} \] donde \(c\in (-\infty,\infty)\) o \(c\in (a,b)\).

A este tipo de integración se le denomina integración impropia de tercera especie y se necesita que la función \(f\) sea integrable en todo intervalo cerrado de la forma \([t,c]\) (\(t<c\)), \([c,t]\) (\(c<t\)) o \([t,c]\) (\(t<c\)), \([c,t]\) (\(c<t\)) respectivamente, para que tenga sentido realizar los límites correspondientes.

Si los dos límites anteriores existen, diremos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, diremos que es divergente.

La definición formal de integral impropia de primera especie es la siguiente:

Definición de integral impropia de primera especie.

Sea \(f:[a,\infty]\longrightarrow \mathbb{R}\) una función tal que es integrable en todo intervalo cerrado y acotado de la forma \([a,t]\) con \(t>a\). En este caso, definimos la función \(F\) como: \[ F(t)=\int_a^t f(x)\, dx. \] Sea \(\displaystyle L=\lim_{t\to\infty} F(t)\). Entonces:

• si \(L\) no existe, diremos que la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) no existe en sentido impropio.
• si \(L=\infty\), diremos que la integral impropia existe, pero no es convergente y escribiremos \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx=\infty\).
• si \(L\in\mathbb{R}\), diremos que la integral impropia converge hacia \(L\) y escribiremos \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx=L\).

A continuación vamos a dar un conjunto de criterios para saber si una integral impropia de primera especie es convergente o no sin necesidad de calcular el valor de las integrales \(\displaystyle\int_a^t f(x)\, dx\) y sin necesidad de calcular el límite correspondiente.

En primer lugar, necesitamos el siguiente lema previo:

Lema.

Sea \(g:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función monótona creciente. Entonces:

• si \(g\) no está acotada, \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\) y
• si \(g\) está acotada, \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)=M\), donde \(M=\sup\{g(x),\ |\ x\in [a,\infty)\}\).

La proposición siguiente nos dice que si \(f\) es positiva y la función \(\displaystyle F(t)=\int_a^t f(x)\,dx\) está acotada, la integral impropia correspondiente es convergente:

Proposición.

Sea \(f:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función positiva, \(f(x)\geq 0\), para todo valor \(x\geq a\). Entonces, la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) es convergente si, y sólo si, la función \(\displaystyle F(t)=\int_a^t f(x)\,dx\) está acotada.

Veamos el criterio de convergencia por comparación:

Proposición. Criterio de comparación.

Sean \(f, g:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) funciones positivas, tal que, \(f(x)\geq g(x)\geq 0\), para todo valor \(x\geq a\). Entonces, \[ \int_a^\infty g(x)\, dx \leq \int_a^\infty f(x). \] En particular, si \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) converge, también lo hace \(\displaystyle\int_a^\infty g(x)\, dx\) y si la integral \(\displaystyle\int_a^\infty g(x)\, dx\) diverge, también lo hace la integral \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\).

Proposición. Criterio de comparación por cociente.

Sean \(f,g:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) dos funciones positivas, \(f(x)\geq 0\), \(g(x)\geq 0\), para todo \(x\geq a\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\neq 0\), entonces las integrales \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) y \(\displaystyle\int_a^\infty g(x)\, dx\) tienen el mismo carácter, es decir, una es convergente si, y sólo si, la otra también es convergente.

Observación.

En el caso en que \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0\), podemos afirmar lo siguiente:

• si \(\displaystyle\int_a^\infty g(x)\, dx\) es convergente, también lo es \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\).
• si \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) es divergente, también lo es \(\displaystyle\int_a^\infty g(x)\, dx\).

Proposición. Criterio de convergencia de Cauchy.

Sea \(f:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función tal que para todo \(t>a\), la función \(f\) es integrable en el intervalo \([a,t]\). Entonces las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. La integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) converge.

2. Existe un valor \(L\in\mathbb{R}\) tal que para todo valor de \(\epsilon >0\), existe un valor \(M_\epsilon >a\) tal que si \(t\geq M_\epsilon\), entonces \(\displaystyle\left|\int_a^\infty f(x)\, dx-L\right|<\epsilon\).

3. Existe un valor \(N\in\mathbb{R}\) tal que si \(\{t_n\}_n\) es una sucesión que tiende a infinito, \(t_n\to\infty\) con \(t_n>a\) para todo \(n\), entonces \(\displaystyle F(t_n)=\int_a^{t_n} f(x)\, dx\to N\).
4. Para todo valor \(\epsilon >0\), existe un \(b>a\) tal que si \(b_2\geq b_1\geq b\), entonces \(\displaystyle\left|\int_{b_1}^{b_2}f(x)\,dx\right|<\epsilon\).

Teorema. Criterio integral de convergencia de una serie numérica.

Sea \(\{a_n\}_n\) una sucesión de números reales positiva y decreciente, \(a_n\geq 0\), \(a_{n+1}\leq a_n\), para todo \(n\). Sea \(f:[1,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función positiva y decreciente, \(f(x)\geq 0\) y \(f(x)\geq f(y)\), para todo \(x, y\in [1,\infty)\) con \(x<y\) tal que \(f(n)=a_n\), para todo \(n\), es decir, el valor de \(f\) en los naturales es precisamente el valor de la sucesión anterior \((a_n)_n\). Entonces, la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) y la integral impropia \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\, dx\) tienen el mismo carácter, es decir, una es convergente si, y sólo si, la otra lo es y viceversa.

El concepto de convergencia absoluta es importante para estudiar la convergencia de integrales impropias que van cambiando de signo:

Definición de convergencia absoluta.

Sea \(f:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función tal que para todo \(t>a\), la función es integrable en el intervalo \([a,t]\). Entonces diremos que la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dx\) es absolutamente convergente si la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty |f(x)|\,dx\) es convergente.

La proposición siguiente nos dice que la convergencia absoluta implica la convergencia:

Proposición.

Sea \(f:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función tal que para todo \(t>a\), la función es integrable en el intervalo \([a,t]\). Entonces si la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dx\) es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Los criterios de convergencia de Leibniz y de Abel-Dirichlet son claves para estudiar la convergencia de integrales impropias cuya función puede cambiar de signo.

Teorema. Criterio de convergencia de Leibniz.

Sea \(f:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función tal que para todo \(t>a\), la función es integrable en el intervalo \([a,t]\). Sean \(a_1<a_2<\cdots < a_n <\cdots\) las raíces reales simples de la función \(f\) en el intervalo \([a,\infty)\), es decir \(f(a_i)=0\), \(i=1,2,\ldots\) y el signo de \(f\) en el intervalo \((a_i,a_{i+1})\) y en el intervalo \((a_{i+1},a_{i+2})\) es distinto. Suponiendo que \(a_n\to \infty\), definimos \(\displaystyle b_n =\int_{a_n}^{a_{n+1}} f(x)\, dx\), para \(n=1,2,\ldots\) Los valores \(b_n\) son valores alternados y, por tanto, la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\) es una serie alternada. Si \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}b_n =0\) y \(|b_n|\geq |b_{n+1}|\), para todo \(n\), la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx\) es convergente.

Teorema. Criterio de Abel-Dirichlet.

Sea \(g:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función con derivada continua a trozos donde suponemos que la función \(g'\) es absolutamente integrable en \([a,\infty)\). Además suponemos que \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)=0\).

Sea \(s:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función integrable en todo intervalo de la forma \([a,t]\) con \(t>a\). Sea \(S\) una primitiva de la función \(s\), por ejemplo \(\displaystyle S(t)=\int_a^t s(x)\, dx\). Suponemos que la función \(S(t)\) está acotada en el intervalo \([a,\infty)\).

Bajo las condiciones anteriores, la integral impropia \(\displaystyle\int_a^\infty g(x)\cdot s(x)\, dx\) es convergente.

Los dos teoremas siguientes nos dicen que la técnica de integración por cambio de variable y por partes siguen siendo válidas en el caso de la integración impropia.

Teorema. Cambio de variable en una integral impropia.

Sea \(f:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) una función acotada en el intervalo \([a,\infty)\) e integrable en todo intervalo de la forma \([a,t]\) con \(t>a\). Sea \(\phi\) una función de clase \({\cal C}^1\) en su intervalo de definición, es decir, una función derivable con función derivada continua. Supongamos el intervalo de definición de \(\phi\) es \([\alpha,\beta]\), es decir \(\phi:[\alpha,\beta]\longrightarrow\mathbb{R}\) con \(\phi(\alpha)=a\) y \(\displaystyle\lim_{s\to\beta}\phi(s)=\infty\) de tal forma que \(\phi([\alpha,\beta])=[a,\infty)\). Entonces, en estas condiciones: \[ \int_a^\infty f(x)\, dx= \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\cdot \phi'(t)\, dt, \] con la condición de que al menos una de las dos integrales anteriores exista.

Observación.

A partir del ejemplo anterior, podemos observar que el valor de \(\beta\) en el teorema anterior puede ser \(\infty\).

Teorema. Integración por partes en una integral impropia.

Sean \(u,v:[a,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}\) dos funciones acotadas y de clase \({\cal C^1}\) en \([a,\infty)\). Entonces: \[ \int_a^\infty u(x)\cdot v'(x)\, dx=\lim_{t\to\infty}u(t)\cdot v(t)-u(a)\cdot v(a)-\int_a^\infty u'(x)\cdot v(x)\, dx, \] con el convenio de que si existen dos de los tres límites anteriores, existe el otro y se calcula según la expresión anterior.

Recordemos la definición de una integral impropia de segunda especie:

Definición de integral impropia de segunda especie.

Sea \(f:(a,b]:\longrightarrow\mathbb{R}\) una función integrable en todo intervalo de la forma \([t,b]\), con \(a<t\leq b\). Si existe el límite siguiente \(\displaystyle\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\, dx\), diremos que la integral impropia \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\) existe. Si el límite anterior es finito de valor \(L\), diremos que la integral impropia es convergente y escribiremos \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx=L\). En caso en que la integral no converja, diremos que es divergente.

Observación.

Tiene sentido considerar la integral impropia de segunda especie cuando la función \(f\) tiene una asíntota vertical en el extremo de la izquierda \(x=a\). Si tuviese una asíntota vertical en el extremo derecho \(x=b\), podríamos definir de manera parecida la integral impropia de segunda especie con el límite siguiente: \[\displaystyle\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\, dx.\]

Para entender el concepto de integral impropia de tercera especie necesitamos introducir el concepto de punto singular:

Definición de punto singular. Sea \(f\) una función definida en un intervalo \((a,b)\) donde admitimos que \(a\) pueda ser un valor real o \(-\infty\) y \(b\) pueda ser un valor real o \(b=\infty\). Diremos que un punto \(c\in (a,b)\) es un punto singular de la función \(f\) en los casos siguientes:

• \(c=-\infty\) o \(c=\infty\).
• si \(f\) no es integrable en el sentido ordinario en ningún entorno de \(c\), por ejemplo si \(f\) tiene una asíntota vertical en \(x=c\).
• si \(c\) coincide en alguno de los extremos \(a\) o \(b\) y \(f\) no es integrable en el sentido ordinario en la intersección del intervalo \((a,b)\) con ningún entorno de \(c\), por ejemplo, si \(f\) tiene una asíntota vertical en \(x=c\).

Definición de integral impropia de tercera especie.

Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathrm{R}\) una función real de variable real donde admitimos que \(a\) pueda ser un valor real o \(-\infty\) y \(b\) pueda ser un valor real o \(b=\infty\). Supongamos que \(f\) tiene un número finito de puntos singulares en su dominio de definición \((a,b)\), los llamamos \(c_1 < c_2<\cdots < c_n\). Si \(f\) es continua a trozos en el conjunto \((a,b)\setminus\{c_1,\ldots,c_n\}\) diremos que la integral \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) es impropia de tercera especie.

Para estudiar la convergencia de una integral impropia de tercera especie, hemos de calcular para cada intervalo \((c_i,c_{i+1})\) los límites siguientes: \[ \lim_{t\to c_i^+}\int_t^{p_i}f(x)\, dx,\quad \lim_{t\to c_{i+1}^-}\int_{p_i}^t f(x)\, dx, \] donde \(p_i\in (c_i,c_{i+1})\) es un valor del interior del intervalo \((c_i,c_{i+1})\), por ejemplo, si \(c_i\) y \(c_{i+1}\) son valores reales, su punto medio, \(p_i=\frac{c_i+c_{i+1}}{2}\), y si \(a\neq c_1\), hay que calcular aparte el límite \(\displaystyle \displaystyle \lim_{t\to c_1-}\int_a^t f(x)\, dx\) y si \(c_n\neq b\), el límite \(\displaystyle \lim_{t\to c_n+}\int_t^b f(x)\, dx\).

Si todos los límites anteriores existen y son finitos, diremos que la integral impropia de tercera especie converge y su valor es: \[ \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^{c_1}f(x)\, dx+\sum_{i=1}^{n-1}\int_{c_i}^{c_{i+1}}f(x)\, dx+\int_{c_n}^b f(x)\, dx, \]

donde \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int_a^{c_1}f(x)\, dx & =\displaystyle \lim_{t\to c_1-}\int_a^t f(x)\, dx, \\ \displaystyle\int_{c_i}^{c_{i+1}}f(x)\, dx & = \displaystyle \lim_{t\to c_i^+}\int_t^{p_i}f(x)\, dx+\lim_{t\to c_{i+1}^-}\int_{p_i}^t f(x)\, dx, \\ \displaystyle\int_{c_n}^{b}f(x)\, dx & =\displaystyle \lim_{t\to c_n+}\int_t^b f(x)\, dx. \end{array} \]