Supondremos que son conocidos el concepto de función, en tanto que una aplicación entre conjuntos de números. En particular, nos concentraremos en funciones reales de variable real, es decir en funciones \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\).

Tambien suponemos conocidos los conceptos de rango y dominio de una función, así como los términos variable independiente y dependiente.

Aunque seran tratadas con detalle más adelante, es conveniente tener presentes las principales características de funciones elementales como las polinómicas \(f(x)= P_n(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0\), la exponencial \(f(x)=e^x\) y las trigonométricas \(f(x)=\sin(x)\), \(f(x)=\cos(x)\), \(f(x) =\tan(x)\), entre otras.

Uno de los principales objetivos del cálculo es el estudio las funciones. De hecho, como ya se ha mencionado, el cálculo diferencial trata del estudio de la medida del cambio, precisamente a través de relaciones que vienen expresadas como funciones, principalmente como funciones reales de variable real.

La primera cuestión que se aborda tiene que ver con los números reales, en particular cómo evaluar las funciones reales de variable real cuando la variable independiente es un número irracional. Nuevamente el concepto de límite viene a ayudar en la solución de esta cuestión.

Definición. Límite de una función en un punto.

Sea \(f:A \subset \mathbb{R}\) una función definida sobre el conjunto \(A \subset \mathbb{R}\) y sea \(c\) un punto de acumulación de \(A\). \(L \in \mathbb{R}\) es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(c\) si para toda sucesión \(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) de puntos de \(A\) tal que \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = c}\) es \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}f(x_n)=L}\).

Escribiremos, \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}f(x)=L}\), para indicar el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(c\).

Observaciones.

1. Igual que hemos hecho con las sucesiones y los números irracionales, con esta definción convertimos el problema de evaluar una función en un punto irracional en el de calcular el límite de una sucesión.

2. El hecho requerir que \(c\) sea un punto de acumulación de \(A\), nos garantiza que existan sucesiones \(\{x_n\}\) de puntos de \(A\) tales que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = c}\) y, por lo tanto, la definición tiene sentido.

3. Si \(c\) es un punto aislado de \(A\), es decir si hay un entorno de \(c\) en el cual no hay puntos de \(A\) diferentes de \(c\), entonces no tiene sentido hablar del límite de \(f\) en ese punto.

Este resultado se puede comprobar con Wolfram Alpha en este enlace:

Proposición

Sea \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función definida sobre el conjunto \(A \subset \mathbb{R}\) y sea \(c\) un punto de acumulación de \(A\). entonces son equivalentes las tres afirmaciones siguientes:

1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}f(x)=L}\)

2. Para todo \(\epsilon >0\) existe un \(\delta >0\) tal que siempre que \(0<|x-c|< \delta\), entonces es \(|f(x)-L|<\epsilon\). (Propiedad \(\epsilon-\delta\)).

3. Para todo entorno abierto de \(L\), \(V_{\epsilon}(L)\), existe un entorno abierto de \(c\), \(V_{\delta} (c)\) tal que para todo \(x \in V^*_{\delta} (c)\) es \(f(x) \in V_{\epsilon}(L)\), donde \(V^*_{\delta}= V_{\delta} \setminus \{c\}\), es decir el entorno reducido de \(c\) y radio \(\delta\)

Observaciones

1. La propiedad \(\epsilon -\delta\), significa que dada una precisión cualquiera, \(\epsilon\), para el resultado, \(L\), podemos determinar la precisión, \(\delta\), con la que hay que tomar la aproximación, \(x\) de \(c\), para tener asegurada la precisión requerida para \(L\).

2. Los ejemplos anteriores muestran que \(\delta\) puede depender de \(\epsilon\) y del punto \(c\), por lo que sería más apropiado escribir \(\delta(\epsilon,c)\), lo que no se acostumbra a hacer para evitar complicar la notación en exceso, lo cual no es óbice para olvidar esta dependencia.

3. Los ejemplos anteriores también pueden producir la impresión, equivocada, que es más conveniente usar la primera definición de límite que la propiedad \(\epsilon-\delta\), pero veremos que, en ocasiones, resulta más conveniente esta última que la primera.

Definición

Sea \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(c\) un punto de acumulación de \(A\). \(f\) está acotada en un entorno de \(c\), \(V_{\delta}(c)\), si existe una constante \(M \in \mathbb{R}\) tal que \(|f(x)| \leq M\) para todo \(x \in A \cap V_{\delta}(c)\).

Proposición

Sea \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(c\) un punto de acumulación de \(A\). Si \(\lim _{x \rightarrow c} f(x) =L\), entonces \(f\) está acotada en un entorno de \(c\).

Definición

Sean \(f,g:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones reales de variable real. Entonces

1. \(f+g: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es la función definida por \((f+g)(x) = f(x)+g(x)\)

2. \(f \cdot g: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es la función definida por \((f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)

3. Si \(g(x)\neq 0\) en un \(A\), entonces \(\dfrac{1}{g}:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es la función definida por \(\dfrac{1}{g}(x)= \dfrac{1}{g(x)}\)

4. Si \(\lambda \in \mathbb{R}\), entonces \(\lambda \cdot f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es la función definida por \((\lambda \cdot f)(x)= \lambda \cdot f(x)\).

Proposición

Sean \(f,g:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones reales de variable real y \(c\) un punto de acumulación de \(A\), tales que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c} f(x) = L_1}\) y \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c} g(x)= L_2}\). Entonces

P1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}(f+g)(x) = L_1+L_2}\).

P2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}(f \cdot g)(x) = L_1 \cdot L_2}\).

P3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c} (\lambda \cdot f)(x) = \lambda \cdot L_1}\).

P4. Si \(L_2 \neq 0\), entonces \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L_1}{L_2}}\).

Proposición

Si para todo \(x \in A\) es \(a \leq f(x) \leq b\), entonces \(\displaystyle{a \leq \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq b}\)

Proposición

Sean \(f,g,h :A\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), tales que \(h(x) \leq f(x) \leq g(x)\), para todo \(x \in A\), y

que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c} g(x) = \lim_{x \rightarrow c} h(x) = L}\), entonces
\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = L. \]

Proposición

Sean \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(c\) un punto de acumulación de \(A\). Si \(\lim _{x \rightarrow c} f(x) = L>0\), entonces existe \(\delta > 0\) tal que \(f(x)>0\) para todo \(x \in V^*_{\delta}(c) \cap A\).

Análogamente, si \(\lim _{x \rightarrow c} f(x) = L <0\), entonces existe \(\delta > 0\) tal que \(f(x)<0\) para todo \(x \in V^*_{\delta}(c) \cap A\).

La función \(f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x}{|x|}\), no està definida en el punto \({0}\), de hecho, se trata de la función \[ f(x) = \begin{cases} \;\; 1, & \mbox { si } x>0 \\ -1, & \mbox { si } x<0 \end{cases} \] conocida como la función signo de \(x\), que se acostumbra a indicar por \(\text{sgn}(x)\)

\(0\) es un punto de acumulación del dominio de \(f\), pero no existe el \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \text{sgn}(x)}\)

No existe el \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\text{sgn}(x)}\).

En efecto, consideremos la sucesión de término general \(x_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\), entonces es \(\text{sgn}(x_{2k})= 1\) en tanto que \(\text{sgn}(x_{2k+1})=-1\), para todo \(k \in \mathbb{N}\), es decir que la sucesión de término general \(\text{sgn}(x_n)\) tiene dos subsucesiones con límite diferente y, por lo tanto, \(\text{sgn}(x_n)\) no tiene límite.

En definitiva no existe el \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\text{sgn}(x)}\).

Definición de límite lateral

1. Sea \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función real de variable real y sea \(c\) un punto de acumulación de \(A\). \(L \in \mathbb{R}\) es el límite lateral por la derecha de \(f\) en \(c\), si para toda sucesión \(x_n\) tal que \(x_n \rightarrow c\) con \(x_n \geq c\), es \(f(x_n)\rightarrow L\). Escribiremos \[ L = \lim_{x \rightarrow c^+}f(x). \]

2. Análogamente, \(L \in \mathbb{R}\) es el límite lateral por la izquierda de \(f\) en \(c\), si para toda sucesión \(x_n\) tal que \(x_n \rightarrow c\) con \(x_n \leq c\), es \(f(x_n)\rightarrow L\). Escribiremos \[ L = \lim_{x \rightarrow c^-}f(x). \]

Proposición

Sea \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y sea \(c\) un punto de acumulación de \(A\). Entonces existe el \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c}f(x)}\) si, y sólo si, los dos límites laterales \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c^+}f(x)}\) y \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow c^-}f(x)}\) existen y son iguales.

Definición

Sean \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(c\) un punto de acumulación de \(A\),

1. Diremos que \(\lim_{x \rightarrow c}f(x) = +\infty\), si para cada \(K >0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(x \in V^*_{\delta}(c)\) entonces es \(f(x)>K\).

2. Diremos que \(\lim_{x \rightarrow c}f(x) = - \infty\), si para cada \(K >0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(x \in V^*_{\delta}(c)\) entonces es \(f(x)< -K\)

El ejemplo anterior también sirve para justificar la siguiente definición:

Definición

Sean \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(L \in \mathbb{R}\), \(L = \lim_{x \rightarrow \infty}f(x)\) si para toda sucesión \(x_n\) tal que \(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n= +\infty\) entonces \(\lim_{n \rightarrow +\infty} f(x_n)= L\).

Análogamente, \(L = \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)\) si para toda sucesión \(x_n\) tal que \(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n= -\infty\) entonces \(\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)= L\).

Dada la definición de límite de una función en un punto que hemos hecho, vinculada a la de límite de sucesiones, no debería sorprendernos que una buena parte de las técnicas exploradas para el cálculo de límites de sucesiones sean también de aplicación para el cálculo de límite de funciones.

Así, por ejemplo \(\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\), puesto que, como hemos visto en el tema anterior, dada una sucesión \(a_n\) tal que \(a_n \rightarrow 0\), es \(\lim (1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}=e\), como esta igualdad es cierta para cualquier sucesión que tenga límite \(0\), es \(\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} =e\).

Aparecen algunas técnicas nuevas, como las relacionadas con la consideración de límites laterales o la de los infinitésimos equivalentes, y algunas dejan de tener sentido, como por ejemplo, las que involucran el criterio de Stoltz.

Gráficas de la funciones \(f(x)=\cos \frac{1}{x}\) y \(g(x)=x \cos \frac{1}{x}\), respectivamente:

Definición

Sea \(c\) un punto de acumulación del dominio de una función \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). \(f\) es un infinitésimo en \(c\) si \(\lim_{x \rightarrow c}f(x) =0\). Análogamente, diremos que \(f\) es un infinitésimo en \(\pm \infty\) si \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=0\).

Definición

Sean \(f\) y \(g\) dos infinitésimos en \(c\), entonces \(f\) y \(g\) son equivalentes si \[ \lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1. \]

Proposición

Las funciones \(\sin x\) y \(x\) son infinitésimos equivalentes en \(x=0\).

El área del triangulo \(ABE\) es \(\frac{1}{2} \sin \alpha\)

El área del sector circular \(ABE\) es \(\frac{1}{2} \alpha\)

El área del triángulo \(ADE\) es \(\frac{1}{2} \tan \alpha\)

Claramente, la relación entre estas tres áreas es la siguiente \[ \frac{1}{2} \sin (\alpha) < \frac{1}{2} \alpha < \frac{1}{2} \tan \alpha. \] Dividiendo por \(\frac{1}{2} \sin \alpha\) y tomando recíprocos, queda \[ \cos \alpha < \dfrac{\sin \alpha}{\alpha} < 1. \] Por lo tanto, \[ 1 = \lim_{x \rightarrow 0^+} \cos x \leq \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{\sin x}{x} \leq 1. \]

Análogamente tenemos \[ 1 = \lim_{x \rightarrow 0^-} \cos x \leq \lim_{x \rightarrow 0^-}\dfrac{\sin x}{x} \leq 1. \] En definitiva, como los dos límites laterales existen y son iguales, resulta que \[ \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} =1. \] Por lo tanto, \(\sin x\) y \(x\) son infinitésimos equivalentes en \(0\).

Proposición

\(1-\cos x\) y \(\dfrac{x^2}{2}\) son infinitésimos equivalentes en \(x=0\).

Proposición

Sean \(f,g,h: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y sea \(c\) un punto de acumulación de \(a\). Supongamos, además que \(f(x)\) y \(g(x)\) son infinitésimos equivalentes en \(x =c\). Entonces

1. Existe el \(\lim_{x \rightarrow c} f(x)h(x) = L\) si, y sólo si, existe el \(\lim_{x \rightarrow c} g(x)h(x)=L\).

2. Existe el \(\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)}{h(x)} = L\) si, y sólo si, existe el \(\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{g(x)}{h(x)}=L\).

Definición

Sean \(c\) un punto de acumulación de \(A\) y sean \(f\) y \(g\) dos infinitésimos en \(c\).

1. \(f\) y \(g\) son del mismo orden si \(\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = k \neq 0\) y \(|k| < +\infty\). Se indica por \(f(x)=O(g(x))\) cuando \(x \rightarrow c\).

2. \(f\) es de orden superior a \(g\) si \(\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\), se indica por \(f(x)=o(g(x))\), cuando \(x \rightarrow c\).

3. \(f\) es de orden inferior a \(g\) si \(g\) es de orden superior a \(f\), o equivalentemente, si \(\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty\).

Observaciones

1. Dos infinitésimos equivalentes son del mismo orden, pero no todos los infinitésimos del mismo orden son equivalentes.

2. Habitualmente se usan como referencia los infinitésimos en \(c\), \((x-c)^n\), donde el exponente se usa para indicar el orden del infinitésimo.

Dada una función \(f:A\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), si \(x \in A\) es irracional cabe preguntarse cómo podemos evaluar \(f(x)\). Dado que podemos aproximar \(x\) por racionales tanto como queramos, sería conveniente poder determinar la precisión de esta aproximación una vez que conozcamos la precisión requerida para \(f(x)\).

Las funciones continuas son precisamente las funciones para las que, una vez fijada la precisión requerida a \(f(x)\), es posible determinar la precisión de \(x\), para tener asegurada la precisión requerida.

En lo que sigue, veremos que esta condición tiene consecuencias muy notables.

Definición

Sean \(f: A\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(x_0 \in A\), \(f\) es continua en \(x_0\) si para cada \(\epsilon >0\) existe un \(\delta >0\) tal que para todo \(x \in A\) que verifique que \(|x-x_0|<\delta\), entonces \(|f(x)-f(x_0)|< \epsilon\).

Diremos que \(f\) es continua en \(A\), si es continua para todo \(x \in A\).

Dicho de otra forma, \(f\) es continua en \(x_0\) si, una vez fijada la precisión, \(\epsilon\), que se requiere para \(f(x_0)\), es posible determinar la precisión, \(\delta\), que hay que exigir a \(x_0\) para tener asegurada la precisión de \(f(x_0)\).

La gráfica siguiente ilustra esta definición.

\(\epsilon\) es la precisión con la queremos \(f(x_0)\) y \(\delta\) es la precisón para \(x_0\). Es decir, \(f(x_0) \in (f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)\), siempre que \(x_0 \in (x_0 -\delta, x_0 + \delta)\).

Observaciones

1. Es fàcil comprobar que si \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\), entonces \(f\) es continua en \(x_0\) si, y sólo sí, \(\displaystyle{\lim _{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)}\).

2. Si \(x_0\) es un punto aislado de \(A\), es decir, que no es de acumulación, entonces, dado que existe un entorno de \(x_0\) donde este es el único punto de \(A\), para que \(f\) sea continua en \(x_0\) es suficiente que \(f\) esté definida en ese punto.

Observación importante

Pese a que la definición de continuidad sobre un conjunto pueda inducir a pensar lo contrario, el concepto de continuidad es esencialmente local: una función es continua en un punto. No hay que olvidar, pues, que aunque la función sea continua sobre un conjunto \(A\), la precisión \(\delta\) para cada \(x_0 \in A\), depende de \(\epsilon\) y de \(x_0\), por lo que se debería escribir \(\delta(\epsilon,x_0)\), aunque no se haga, se debe tener siempre en cuenta esta dependencia. Por otra parte, veremos algunos casos en los que \(\delta\) sólo depende de \(\epsilon\), es la llamada continuidad uniforme.

Proposición

La función \(\sin : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es continua para todo \(x \in \mathbb{R}\).

Observaciones

1. Puede ocurrir que una función \(f : A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) no esté definida en un punto de acumulación \(c\) de \(A\) y, sin embargo exista el \(\lim_{x \rightarrow c} f(x) = L\), entonces la función \(F :A \cup \{c\} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[ F(x)= \begin{cases} L, \quad \text{ si } x=c, \\ f(x), \text{ si } x \in A, \end{cases} \] es una función continua en \(A \cup \{c\}\).

2. Caso que no exista el \(\lim_{x \rightarrow c} f(x)\), entonces no es posible extender \(f\) a una función continua en \(A \cup \{c\}\), puesto que sea cual sea el valor, \(L\) que asignemos a la extensión \(F\) en \(c\), dicha función no podría ser continua, puesto que si fuera continua tendríamos que \(\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L\), y hemos supuesto dicho límite no existía.

Las consideraciones anteriores, juntamente con la coincidencia o no de los limites laterales en un punto, lleva a la siguiente clasificación de las dicontinuidades

1. Evitable: \(f\) no está definida en \(x_0\), pero existe el \(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)\).

2. De primera especie (o de salto): \(\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) \neq \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)\).

3. De segunda especie: No existe alguno o ninguno de los límites laterales.

Observación

Las discontinuidades de salto, como la de la función sgn\((x)\) en el punto \(0\), ayudan a entender el nombre continua para las funciones que lo son: su gráfica no presenta saltos de ningún tipo, es decir -y valga la redundancia- la gráfica de una función continua es continua.

Recordemos la definición siguiente:

Definición

Sean \(f,g: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones reales de variable real. Entonces

1. \(f+g\) es la función de \(A\) en \(\mathbb{R}\) definida por \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\).
2. \(f \cdot g\) es la función de \(A\) en \(\mathbb{R}\) definida por \((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\).
3. Si \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(\lambda \cdot f\) es la función de \(A\) en \(\mathbb{R}\) definida por \(( \lambda \cdot f)(x) =\lambda \cdot f(x)\).
4. Si \(g(x) \neq 0\), \(\dfrac{f}{g}\) es la función de \(A\) en \(\mathbb{R}\) definida por \(\dfrac{f}{g}(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}\).

Proposición

Sean \(f,g : A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tales que \(f\) y \(g\) són continuas en en \(x_0 \in A\). Entonces

1. \(f+g\) es continua en \(x_0\).
2. \(f \cdot g\) es continua en \(x_0\).
3. Si \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(\lambda f\) es continua en \(x_0\).
4. Si \(g(x) \neq 0\) para todo \(x \in A\), entonces \(\dfrac{f}{g}\) es continua en \(x_0\).

Proposición

Sean \(f,g : A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tales que \(f\) y \(g\) són continuas en en \(A\). Entonces

1. \(f+g\) es continua en \(A\).
2. \(f \cdot g\) es continua en \(A\).
3. Si \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(\lambda f\) es continua en \(A\).
4. Si \(g(x) \neq 0\) para todo \(x \in A\), entonces \(\dfrac{f}{g}\) es continua en \(A\).

Definición

Sean \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: B \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tales que \(f(A) \subset B\). La función compuesta de \(f\) y \(g\), \(g \circ f\), es la función \(g \circ f : A \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[ (g \circ f) (x)= g(f(x)). \]

Observación

Por \(f(A)\) se entiende el conjunto de los elementos de \(\mathbb{R}\) tales que son imagen por \(f\) de algún elemento de \(A\), es decir \[ f(A) =\{y \in \mathbb{R}: y=f(x)\text{ para algún } x \in A \}. \]

Proposición

Sean \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g : B \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), tales que \(f(A) \subset B\). Si \(f\) es continua en \(x_0\) y \(g\) es continua en \(f(x_0)\), entonces \(g \circ f\) es continua en \(x_0\).

Proposición

Sean \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g : B \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), tales que \(f(A) \subset B\). Si \(f\) es continua en \(A\) y \(g\) es continua en \(B\), entonces \(g \circ f\) es continua en \(A\).

Al considerar funciones continuas sobre intervalos aparece, con todo su esplendor, la potencia y la magia de la propiedad de continuidad. Veremos que el hecho que la gráfica de la función entre los extremos del intervalo no se interrumpa -es decir, que sea continua- se convierte en un potente instrumento para la localización de raíces de una ecuación, polinómica o no.

También se demuestra que si el intervalo es cerrado, entonces la función está acotada y, el que posiblemente sea el resultado más importante, es que en este caso, las funciones continuas son uniformemente continuas, es decir que el \(\delta\) de la propiedad \(\epsilon -\delta\), que depende de \(\epsilon\) y del punto, pasa a depender sólo de \(\epsilon\), un hecho que tiene importantes consecuencias, como se verá posteriormente.

Proposición: Teorema de la conservación del signo

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua y sea \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c) >0\). Entonces existe un \(\delta >0\) tal que \(f(x) >0\) para todo \(x \in (c-\delta, c+\delta)\). Análogamente, si \(f(c) <0\), entonces existe un \(\delta >0\) tal que \(f(x) <0\) para todo \(x \in (c-\delta, c+\delta)\).

Corolario

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua y sea \(c \in (a,b)\) tal que en todo entorno de \(c\) hay puntos en los que \(f\) es positiva y puntos en los que \(f\) es negativa, entonces \(f(c) =0\) .

Proposición: Teorema de Bolzano

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua tal que \(f(a)\cdot f(b) < 0\), entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).

La condición \(f(a)\cdot f(b) < 0\) es una forma sencilla para expresar que \(f(a)\) y \(f(b)\) son de signo diferente como se ilustra en el gráfico siguiente:

Proposición: Teorema de los valores intermedios

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua y sean \(x_1,x_2 \in [a,b]\) tales que \(x_1 < x_2\) y \(f(x_1)\neq f(x_2)\), entonces \(f\) toma todos los valores comprendidos entre \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\).

Definición

Sea \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\):

1. \(f\) está acotada superiormente si existe \(K \in \mathbb{R}\) tal que \(f(x) < K\), para todo \(x \in A\).

2. \(f\) está acotada inferiormente si existe \(K \in \mathbb{R}\) tal que \(f(x) > K\), para todo \(x \in A\).

3. \(f\) está acotada si lo está inferiormente y superiormente, es decir si existe \(K \in \mathbb{R}\) tal que \(|f(x)|<K\), para todo \(x \in A\).

Proposición: Teorema de Weierstrass.

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua, entonces \(f\) está acotada.

Proposición. Teorema del extremo

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua, entonces existen \(x_1\) y \(x_2\) tales que \(f(x_1) = \inf_{[a,b]}f\) y que \(f(x_2) = \sup_{[a,b]}f\).

Proposición. Corolario del teorema del extremo.

La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un intervalo cerrado.

Definición

Sea \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función y sea \(B \subset A\).

1. \(f\) es creciente en \(B\) si, para todo par \(x,y \in B\) tales que si \(x <y\), entonces \(f(x) \leq f(y)\). Si esta última desigualdad es estricta, es decir \(f(x) <f(y)\), entonces \(f\) es estrictamente creciente.

2. \(f\) es decreciente en \(B\) si, para todo par \(x,y \in B\) tales que \(x < y\), entonces \(f(x) \geq f(y)\). Si \(f(x) > f(y)\), entonces \(f\) es estrictamente decreciente en \(B\).

3. \(f\) es monótona en \(B\), si es creciente o decreciente en \(B\). Estrictamente monónotona seria, por consiguiente una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Proposición

\(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función monótona en \(A\). Entonces \(f\) no puede tener ninguna discontinuïdad de segunda especie.

Recordemos que una aplicación biyectiva o correspondencia uno a uno es una aplicación que es, a la vez, inyectiva y exhaustiva.

Una propiedad importante de esta aplicaciones biyectivas es que se puede invertir el sentido de las flechas y el resultado continua siendo una aplicación biyectiva.

Proposición

Sea \(f: A \rightarrow B\) una aplicación biyectiva. Entonces la aplicación \(f^{-1}: B \rightarrow A\), definida por \(f^{-1}(y)= x\) si \(f(x)=y\) es una aplicación biyectiva.

Está claro que \(f\) y \(f^{-1}\) son tales que \((f \circ f^{-1})(x) = x = (f^{-1}\circ f)(x)\)

En el caso de funciones, es decir, aplicaciones entre conjuntos de números, la aplicación inversa recibe el nombre de función inversa.

Las gràficas de una función, \(f\), y la de su inversa, \(f^{-1}\) són simétricas respecto de la recta \(y=x\):

Proposición

Sea \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua y estrictamente creciente. Entonces

1. Existe la función inversa \(f^{-1} : [f(a),f(b)] \rightarrow [a,b]\).
2. \(f^{-1}\) es continua y estrictamente creciente.

Proposición

Sea \(f: [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua y estrictamente decreciente. Entonces

1. Existe la función inversa \(f^{-1} : [f(b),f(a)] \rightarrow [a,b]\).
2. \(f^{-1}\) es continua y estrictamente decreciente.

A pesar de las múltiples e interesantes propiedades que tienen la funciones continuas en un punto, en determinadas situaciones, el hecho que el \(\delta\) dependa de \(\epsilon\) y del punto se convierte en una limitación importante. Así, por ejemplo, la convergencia de determinadas series de funciones está vinculada a que \(\delta\) sea el mismo para todos los \(x\), una vez fijado el \(\epsilon\).

En este apartado se estudia un tipo de continuidad en la que \(\delta\) sólo depende de \(\epsilon\), es la llamada continuidad uniforme.

Definición

Sea \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f\) es uniformemente continua en \(A\) si para todo \(\epsilon > 0\) existe \(\delta >0\) tal que si \(x,y \in A\) son tales \(|x-y| < \delta\), entonces \(|f(x) -f(y)| < \epsilon\).

Más adelante veremos más ejemplos de funciones continuas.

Sea \(f:A\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). \(f\) es uniformemente continua en \(A\) si, y sólo si, para todo par de sucesiones \(x_n\) y \(y_n\) de puntos de \(A\) tales que \(\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n - y_n) =0\) es \(\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)- f(y_n)) =0\).

Corolario

Sea \(f:A\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Si \(f\) no es uniformemente continua en \(A\) entonces existen \(\epsilon > 0\) y dos sucesiones \(x_n\) y \(y_n\) de puntos de \(A\) tales que \(\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n - y_n) =0\) y \(|f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon\).

Proposición

Sean \(f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: B \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tales que \(f(A) \subset B\). Entonces si \(f\) y \(g\) son uniformemente continuas, también lo es la función compuesta \(g \circ f\).

Un ejemplo de condición que implica la continuidad uniforme sobre un conjunto -pero no al revés- és la llamada propiedad de Lipschitz:

Definición

Sea \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f\) cumple la propiedad de Lipschitz si existe \(M>0\) tal que para todo \(x,y \in A\) es \[ |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|. \] A una función que cumpla esta propiedad, se le acostumbra a llamar función lipschitziana.

Observación

Si una función \(f\) verifica la propiedad de Lipschitz entonces el conjunto \[ {\cal{M}}=\left\{\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}: x,y \in A, \quad x \neq y \right\} \] es no vacío y está acotado superiormente, por lo que existe \(M_0 = \sup \cal{M}\). \(M_0\) recibe el nombre de constante de Lipschitz para \(f\).

Proposición

Sea \(f:A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función lipschitziana en \(A\), entonces \(f\) es uniformemente continua en \(A\).

Proposición. Teorema de Heine-Cantor

Toda función continua sobre un intervalo cerrado es uniformemente continua.

Una consecuencia notable del resultado anterior es que, dada una función continua sobre un intervalo cerrado, podemos aproximar esta función por una función constante a trozos.

Definición

Una partición de un intervalo \([a,b] \subset \mathbb{R}\) és una colección de subintervalos disjuntos,\([a,x_1]\),\((x_i,x_{i+1}]\), con \(i \in \{1, \ldots, n-1\}\) y \(a <x_1< \ldots < x_n=b\), tales que \[ [a,x_1] \cup (x_1,x_2] \ldots \cup (x_i,x_{i+1}] \cup \dots \cup (x_{n-1}, x_n] = [a,b] \] Representaremos la partición por el conjunto de extremos de los subintervalos que la definen: \(\{a,x_1, \ldots,x_{n-1},b\}\)

Definición

Dada una partición \(\{a,x_1, \ldots,x_{n-1},b\}\) de un intervalo \([a,b]\), \(S:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) es una función escalonada sobre \([a,b]\) si \(S\) es constante sobre cada uno de los subintervalos de la partición.

Proposición

Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua. Entonces, para cada \(\epsilon > 0\) existen una partición \(\{a,x_1, \ldots,x_{n-1},b\}\) del intervalo \([a,b]\), con todos los subintervalos de igual longitud, y una función escalonada \(S_{\epsilon}: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) tales que, para todo \(x \in \mathbb{R}\), es \[ |f(x)-S_{\epsilon}(x)| < \epsilon. \]

Definición

Función lineal entre dos intervalos, \(f:[a,b] \rightarrow [c,d]\), es la función que tiene por gráfica el segmento que une los puntos \((a,c)\) y \((b,d)\), es decir la función definida por \[ f(x) = \dfrac{d-c}{b-a}(x-a)+c. \]

Está claro que una función lineal entre dos intervalos es siempre continua.

Definición

Una función entre dos intervalos \(f:[a,b] \rightarrow [c,d]\) es lineal a trozos si existe una partición del intervalo \(I_k\), \(k=1, \ldots ,n\), tal que \(f\) restringida a cada \(I_k\) es una función lineal sobre dicho intervalo.

Una función lineal a trozos es siempre continua.

Proposición

Sea \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua. Entonces, para cada \(\epsilon >0\) existe una función lineal a trozos \(g_{\epsilon}: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) tal que, para todo \(x \in [a,b]\) es \[ |f(x)-g_{\epsilon}(x)|<\epsilon. \]