El término Cálculo identifica un conjunto de instrumentos matemáticos para efectuar medidas.

El Cálculo Diferencial trata de la medida de tasas de variación: objetos en movimiento, crecimiento de seres vivos, transmisión de calor, campos electromagnéticos y un largo etcétera.

Por su parte, el Cálculo Integral, trata de medidas de longitudes, áreas, volúmenes, flujos de fluidos, \(\ldots\)

Los números reales, \(\mathbb{R}\), proporcionan la base para expresar los resultados de estas medidas. Por ello empezaremos describiendo estos números, su estructura y propiedades más significativas.

Los números naturales \(\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots ,n, \ldots \}\)

Suma de números naturales:

PC. Propiedad conmutativa: \(m+n =n+m\), para todo \(m,n \in \mathbb{N}\)

PA. Propiedad asociativa: \(m+(n+p) = (m+n)+p\), para todo \(m,n,p \in \mathbb{N}\)

Producto de números naturales:

EN. Elemento neutro, \(1\): \(n \times 1 = 1 \times n =n\), para todo \(n \in \mathbb{N}\).

PC. Propiedad conmutativa: \(n \times m = m \times n\), para todo \(m,n \in \mathbb{N}\).

PA. Propiedad asociativa: \(n\times (m \times p) = (n \times m)\times p\), para todo \(m,n,p \in \mathbb{N}\)

PD. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: \(m \times (n+p) = m\times n +m\times p\), para todo \(m,n,p \in \mathbb{N}\).

Principio de inducción:

Si un subconjunto \(A\) de números naturales es tal que

1. \(1 \in A\), y

2. Siempre que \(n \in A\) es \(n+1 \in A\)

entonces \(A = \mathbb{N}\).

Principio de la buena ordenación:

Todo subconjunto de números naturales no vacío tiene primer elemento.

Los números enteros \(\mathbb{Z} = \{ \ldots ,-n, \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots , n \ldots\}\)

Suma:

EN. Elemento neutro, \(0\): \(a+0=0+a=a\), para todo \(a \in \mathbb{Z}\)

ES. Elemento simétrico, \(-a\): \(a +(-a) = -a+a = 0\), \(a \in \mathbb{Z}\).

PC. Propiedad conmutativa: \(a+b =b+a\), para todo \(a,b \in \mathbb{Z}\)

PA. Propiedad asociativa: \(a+(b+c) = (a+b)+c\), para todo \(a,b,c \in \mathbb{Z}\)

Producto:

EN. Elemento neutro, \(1\): \(a \times 1 = 1 \times a =a\), para todo \(a \in \mathbb{Z}\).

PC. Propiedad conmutativa \(a \times b = b \times a\), para todo \(a,b \in \mathbb{Z}\).

PA. Propiedad asociativa: \(a\times (b \times c) = a \times b)\times c\), para todo \(a,b,c \in \mathbb{Z}\)

PD. Distributiva del producto respecto de la suma: \(a \times (b+c) = a\times b +a \times c\), para todo \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).

División entera

Dados dos números enteros \(a\) y \(b\), existen otros dos enteros \(q\) y \(r\), con \(0 \leq r<q\) tales que

\[ a=bq+r \] \(q\): cociente, \(r\): resto

Si \(r=0\), entonces decimos que \(a\) es un múltiplo de \(b\) y tambien que \(b\) es un divisor de \(a\)

Si \(r>0\) entonces \(a\) y \(b\) son primos entre si.

Los números racionales: \(\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{p}{q}: p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right\}\)

Suma:

EN. Elemento neutro, \(0\): \(p+0=0+p=p\), para todo \(p \in \mathbb{Q}\)

ES. Elemento simétrico, \(-p\): \(p +(-p) = -p+p = 0\), \(p \in \mathbb{Q}\).

PC. Propiedad conmutativa: \(p+q =q+p\), para todo \(p,q \in \mathbb{Q}\)

PA. Propiedad asociativa: \(p+(q+r) = (p+q)+r\), para todo \(p,q,r \in \mathbb{Q}\)

Producto:

EN. Elemento neutro, \(1\): \(p \cdot 1 = 1 \cdot p =p\), para todo \(p \in \mathbb{Q}\).

ES. Elemento simétrico, \(\dfrac{1}{p}\). \(p \cdot \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{p} \cdot p =1\), para todo \(p \in \mathbb{Q}\), \(p \neq 0\)

PC. Propiedad conmutativa \(p \cdot q = q \cdot p\), para todo \(p,q \in \mathbb{Q}\).

PA. Propiedad asociativa: \(p\cdot (q \cdot r) = p \cdot q)\cdot r\), para todo \(p,q,r \in \mathbb{Q}\)

PD. Distributiva del producto respecto de la suma: \(p \cdot (q+r) = p \cdot q + p \cdot r\), para todo \(p,q,r \in \mathbb{Q}\).

Orden: El conjunto de los racionales está ordenado de la forma \[ \dfrac{p}{q} \leq \dfrac{r}{s} \quad \text{ si } \quad p\cdot s \leq p \cdot r \]

Se trata de un orden denso: Dados dos números racionales tales que \(\dfrac{p}{q} < \dfrac{r}{s}\), entonces existen números racionales \(\dfrac{m}{n}\) tales que

\[ \dfrac{p}{q} < \dfrac{m}{n} < \dfrac{r}{s} \]

Es suficiente considerar \(m=p+r\) y \(n=q+s\).

Los números racionales no son suficientes puesto que hay medidas cuyo resultado no és un número racional:

• La longitud de la diagonal de un cuadrado con el lado como unidad (\(\sqrt{2}\))
• La longitud de una circunferencia tomando el diámetro como unidad (\(\pi\))

Proposición

No existe ningún número racional \(q \in \mathbb{Q}\) tal que \(q^2=2\).

Supondremos la existencia de un conjunto \(\mathbb{R}\) de números en el que hay definidas dos operaciones, suma y producto, con las siguientes propiedades:

• Propiedades de la suma:

  • Conmutativa: \(a+b= b+a\), para todos los \(a,b \in \mathbb{R}\)

  • Asociativa: \(a+(b+c) = (a+b)+c\) para todos los \(a,b,c \in \mathbb{R}\)

  • Existe un elemento neutro, \(0 \in \mathbb{R}\), para la suma: \(a+0=a=0+a\).

  • Para cada \(a \in \mathbb{R}\) existe un elemento \(-a \in \mathbb{R}\), simétrico de \(a\), tal que \(a+(-a)=0=(-a)+a\)

• Propiedades del producto de números reales:

  • Conmutativa: \(a\cdot b=b \cdot a\), para todos los \(a,b \in \mathbb{R}\).

  • Asociativa: \(a \cdot (b \cdot c) = (a\cdot b)\cdot c\) para todos los \(a,b,c \in \mathbb{R}\)

  • Existe un elemento neutro, \(1 \in \mathbb{R}\), para el producto: \(a\cdot1=a=1\cdot a\).

  • Para cada \(a \in \mathbb{R}\), \(a\neq 0\), existe un elemento \(\dfrac{1}{a} = a^{-1} \in \mathbb{R}\), inverso de \(a\), tal que \(a \cdot a^{-1}=1=a ^{-1}\cdot a\)

  • El producto es distributivo respecto de la suma: \(a\cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c\) para todos los \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

• Dado que en \(\mathbb{R}\) existe un elemento neutro para el producto, \(1\), podemos asimilar el número natural \(n\) con el número real \(1+ \ldots \overset{n)}{} \ldots + 1\), es decir \(\mathbb{N} \subset \mathbb{R}\)

• Dado que en \(\mathbb{R}\), existe \(-1\), el simétrico de \(1\), podemos asimilar el número entero \(-n\) con el número real \((-1)+(-1)+ \ldots \overset{n)}{} \ldots +(-1)\). En definitiva \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}\)

• Dado que para cada \(a \in \mathbb{R}, \quad a\neq 0\) existe \(\dfrac{1}{a}\), el inverso de \(a\). Entonces para cada \(n,m \in \mathbb{Z}\), con \(m \neq 0\), será \(\dfrac{n}{m} \in \mathbb{R}\), es decir, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).

Para definir una relación de orden entre los números reales, supondremos que existe un subconjunto \(P\) de números reales tal que:

\[ P \cup \{ 0 \} \cup (-P) = \mathbb{R} \]

donde \(-P = \{-x: x \in \mathbb{R} \}\), tales que \(P\cap (-P) = \emptyset\).

Es decir, todo número real o está en \(P\) o és igual a \(0\) o su simétrico está en \(P\), y sólo una de estas tres opciones.

Además, \(P\), satisface las propiedades:

1. \(P+P \subset P\), es decir, la suma de dos números de \(P\) és un número de \(P\), y

2. \(P \cdot P \subset P\), el producto de dos números de \(P\) también es un número de \(P\)

Definición

Dados dos números reales, \(a\) y \(b\), diremos que \(a\) és menor o igual que \(b\) y escribiremos \(a \leq b\), si \(b-a \in P \cup \{0\}\).

Es decir, \(a \leq b\) si la diferencia \(b-a\) está en \(P\) o \(a=b\).

Si \(a\neq b\) diremos que \(a\) es estrictamente menor que \(b\) y escribiremos \(a<b\).

Diremos que \(a \geq b\), es decir que \(a\) es mayor o igual que \(b\), si \(b \leq a\).

Obsérvese que \(a \in P\) es equivalente a decir que \(a > 0\). De ahí que a los elementos de \(P\) se les llame números positivos

Proposición

1. \(a \leq a\) (Propiedad reflexiva),

2. Si \(a \leq b\) y \(b \leq a\), entonces \(a=b\) (Propiedad antisimétrica)

3. Si \(a \leq b\) y \(b \leq c\), entonces \(a \leq c\) (Propiedad transitiva)

Proposición

• Si \(a \in \mathbb{R}\), entonces \(a^2 \in P \cup \{0\}\),
• \(1 \in P\),
• \(\mathbb{N} \subset P\).

Proposición.

Sean \(a,b, c \in \mathbb{R}\)

1. Si \(a>b\), entonces \(a+c > b+c\).
2. Si \(a>b\) y \(c>d\), entonces \(a+c >b+d\).
3. Si \(a>b\) y \(c>0\), entonces \(ac>bc\).
4. Si \(a>b\) y \(c<0\), entonces \(ac<bc\).
5. Si \(a>0\), entonces \(\dfrac{1}{a} >0\).
6. Si \(a<0\), entonces \(\dfrac{1}{a} <0\)

Proposición.

Sean \(a,b \in \mathbb{R}\)

1. Si \(a < b\) entonces \(a < \dfrac{a+b}{2} <b\).
2. Si \(b>0\), entonces \(0<\dfrac{b}{2} < b\)
3. Si \(0\leq a < \epsilon\) para todo número real positivo \(\epsilon\), entonces \(a=0\).
4. Si \(a-\epsilon < b\) para todo \(\epsilon > 0\), entonces \(a\leq b\)

Definición

Dado un número real \(a\), el valor absoluto de \(a\), representado por \(|a|\), es el mayor de los dos valores \(\{a,-a \}\).

Así \(|-3|=3\) y \(|45|=45\), es decir \(|a| = a\), si \(a \geq 0\) y, si \(a <0\), entonces \(|a| = -a\),

Es fácil comprobar que \(|a| = \sqrt{a^2}\).

Un error frecuente que se debe evitar es considerar que \(\sqrt{a^2}=a\).

Proposición

• \(|a| \geq 0\) y \(|a|=0\) si, y sólo si, \(a=0\).
• \(|-a|=|a|\), para todo \(a \in \mathbb{R}\).
• \(|ab|= |a||b|\), para toda \(a,b \in \mathbb{R}\).
• Si \(c \geq 0\), entonces \(|a| \leq c\), si y sólo si \(-c \leq a \leq c\)
• \(-|a| \leq a \leq |a|\), para todo \(a \in \mathbb{R}\).

Proposición

Para toda \(a,b \in \mathbb{R}\):

• \(|a+b| \leq |a| + |b|\) (Desigualdad triangular).
• \(||a|-|b|| \leq |a-b|\).
• \(|a-b| \leq |a|+|b|\).

Definición

Dados números reales \(a,b \in \mathbb{R}\) tales que \(a<b\), el intervalo cerrado de extremos \(a\) y \(b\) es el conjunto

\[ [a,b] = \{x\in \mathbb{R}: a \leq x \leq b \} \] Por su parte, intervalo abierto de extremos \(a\) y \(b\) es el conjunto:

\[ (a,b) = \{x\in \mathbb{R}: a < x < b \} \] Intervalos semiabiertos:

\[ (a,b] = \{ x \in \mathbb{R}: a<x \leq b \} \quad \text{ y } \quad [a,b) = \{ x \in \mathbb{R}: a \leq x < b \} \]

\[ a-\epsilon \leq x \leq a+ \epsilon \]

\[ x \in [a-\epsilon,a+\epsilon] \]

Las consideraciones anteriores llevan a las siguientes

Definiciones

Entorno abierto: Dados un punto \(a \in \mathbb{R}\) y un \(\epsilon >0\), el entorno abierto de centro \(a\) y radio \(\epsilon\) es el conjunto de puntos \(V_{\epsilon}(a)=\{ x \in \mathbb{R}: |x-a|<\epsilon \} = (a-\epsilon, a+\epsilon)\).

Entorno cerrado: Dados un punto \(a \in \mathbb{R}\) y un \(\epsilon >0\), el entorno cerrado de centro \(a\) y radio \(\epsilon\) es el conjunto de puntos \(\overline{V}_{\epsilon}(a)=\{ x \in \mathbb{R}: |x-a| \leq \epsilon \} = [a-\epsilon, a+\epsilon]\).

Definición

Entorno reducido de un punto: un entorno abierto (cerrado) sin el punto, es decir \(V^*_{\epsilon}(a)=V_{\epsilon}(a) \setminus \{a\}\) \(\left(\overline{V}^*_{\epsilon}(a) = \overline{V}_{\epsilon}(a) \setminus \{a\}\right)\)

Vecindad o bola son también nombres habituales para los entornos.

Entorno de un punto

Definición

• Un subconjunto \(A \subset \mathbb{R}\) está acotado superiormente si existe un \(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que \(a \leq \alpha\) para todo \(a \in A\). Al elemento \(\alpha\) se le llama cota superior del conjunto \(A\).

• Un subconjunto \(A \subset \mathbb{R}\) está acotado inferiormente si existe un \(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que \(a \geq \alpha\) para todo \(a \in A\). En este caso \(\alpha\) es una cota inferior de \(A\).

• Un subconjunto \(A \subset \mathbb{R}\) está acotado si si està acotado superiormente e inferiormente.

Definición

• El supremo de un conjunto acotado superiormente es la menor de las cotas superiores de dicho conjunto. Un conjunto puede estar acotado superiormente, pero no tener supremo (en \(\mathbb(Q)\)).

• El ínfimo de un conjunto acotado inferiormente es la mayor de las cotas inferiores de dicho conjunto. Tambien puede pasar que un conjunto acotado inferiormente no tenga ínfimo.

Proposición

El supremo (el ínfimo) de un conjunto, si existe, és único.

Proposición

Un número \(s\) es el supremo de un subconjunto no vacío \(A\) de \(\mathbb{R}\) si, y sólo si, \(s\) satisface las condiciones:

1. Es cota superior: \(s\geq a\), para todo \(a \in A\).

2. Es la menor de las cotas superiores: Si \(b < s\), entonces existe \(a' \in A\) tal que \(b<a'\).

Proposición

Una cota superior \(s\) de un subconjunto no vacío \(A\) de \(\mathbb{R}\), es el supremo de \(A\), si, y sólo si, para cada \(\epsilon >0\) existe un \(s_{\epsilon} \in A\), tal que \(s-\epsilon < s_\epsilon\)

Definición

Si el supremo de un conjunto es un elemento del conjunto, entonces recibe el nombre de máximo.

Análogamente, si el ínfimo de un conjunto es un elemento del conjunto, entoces recibe el nombre de mínimo

Axioma del supremo

Esta es, efectivamente, una propiedad que no se satisface en \(\mathbb{Q}\), como se ha demostrado con el conjunto \(A =\{q \in \mathbb{Q}\) tal que \(q^2 \leq 2 \}\).

Resulta fácil comprobar que si \(s= \sup A\), entonces \(-s= \inf(-A)\), por lo que el axioma del supremo tambien implica que

Proposición. (Propiedad arquimediana)

El conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales no está acotado superiormente en \(\mathbb{R}\).

Corolario

Sean \(y,z\) reales positivos. Entonces:

• Existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(z<ny\).
• Existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(0 <\dfrac{1}{n}<y\).
• Existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(n-1 <z < n\).

Proposición

Existe un número real \(p \in \mathbb{R}\) tal que \(p^2 = 2\).

Corolario

Para todo número real positivo \(b\), existe un número real positivo \(\beta\) tal que \(\beta^2 =b\).

Acabamos de demostrar que hay números en \(\mathbb{R}\) que no estan \(\mathbb{Q}\), como seria el caso de \(\sqrt{2}\). Por lo tanto el conjunto de los números reales que no son racionales, \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), és un conjunto no vacio. Es el conjunto de los números irracionales .

Este nombre indica que estos números no se pueden expresar como el cociente -la razón- de dos enteros.

Conviene observar que ni la suma ni el producto de dos números irracionales tienen porqué ser números irracionales. (Por ejemplo \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\))

Hemos visto que todo número real está entre dos enteros, es decir, dado un \(r \in \mathbb{N}\), existe un \(n \in \mathbb{Z}\) tal que \(n \leq r < n+1\). Se puede demostrar que dado un número irracional existe una representación decimal de dicho número, es decir, existen \(b_1,b_2, \ldots, b_n, \ldots\), con no todos igual a \(9\), tales que \[ r = n.b_1b_2b_3 \ldots b_n \ldots \]

Es importante observar que, la representación decimal de los números irracionales constará siempre de un número ilimitado de cifras que no se repiten de forma periódica, puesto que como es sabido, una representación decimal con un número limitado de cifras o que se repitan periódicamente siempre corresponde a un número racional.

Proposición. \(\mathbb{Q}\) es denso en \(\mathbb{R}\)

Sean \(x,y \in \mathbb{R}\) tales que \(x<y\), entonces existe \(q \in \mathbb{Q}\) tal que \(x<q<y\). Es decir, entre dos números reales siempre hay un número racional.

Corolario

Si \(x,y \in \mathbb{R}\), con \(x<y\), entonces existe un número irracional z (es decir que \(z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)) tal que \(x<z<y\). Es decir, entre dos numeros reales, siempre hay un número irracional.

Esta sección está destinada a comparar el “tamaño” de los conjuntos de números \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) y \(\mathbb{R}\). Veremos que, en tanto que los tres primeros tienen el mismo tamaño, en un sentido que se definirá, el de los números reales es mayor, es decir que hay muchos más números irracionales que racionales. Cantor fue el primero que lo descubrió, la cual cosa le supuso no pocos problemas ante la incomprensión de una buena parte de los matemáticos contemporáneos.

Para lo que sigue, es conviente recordar que una aplicación, \(f\) de un conjunto \(A\) en otro \(B\), representada por \(f: A \rightarrow B\), es una asignación de elementos de \(B\) a elementos de \(A\), de tal manera a que cada elemento de \(A\) le corresponde uno, y sólo uno, elemento de \(B\).

Escribiremos \(b=f(a)\), y diremos que \(b\) es la imagen de \(a\) por \(f\), para indicar que \(b\) es un elemento asignado a \(a\).

Una aplicación, \(f\), es inyectiva si a elementos distintos de \(A\) le corresponden elementos diferentes de \(B\), es decir si \(a_1 \neq a_2\) entonces \(f(a_1) \neq f(a_2)\), para todo \(a_1\) y \(a_2\) de \(A\).

Una aplicación es exhaustiva si todos los elementos de \(B\) son la imagen de algún elemento de \(A\), es decir si para todo \(b \in B\), existe un \(a \in A\) tal que \(b=f(a)\).

Finalmente, una aplicación es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez. A menudo, una aplicación biyectiva también es llamada correspondencia uno a uno.

Definición: Conjunto finito

Sea \(N_n\) el conjunto de los \(n\) primeros números naturales. Diremos que un conjunto \(A\) tiene \(n\) elementos si existe una correspondencia uno a uno entre \(A\) y \(N_n\).

Un conjunto finito es un conjunto con \(n\) elementos. Es decir, un conjunto \(A\) es finito si existe una aplicación biyectiva de \(A\) en un subconjunto de números naturales de la forma \(N_n\).

Un conjunto es infinito si no es finito.

Definición. Cardinal de un conjunto

Dos conjuntos \(A\) y \(B\) tienen el mismo cardinal si existe una correspondencia uno a uno entre ellos.

Proposición

El conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), es infinito.

La técnica aplicada en la demostración anterior, se conoce con el nombre del Principio del palomar y resulta ser extremadamente útil en la resolución de diversos tipos de problemas.

Está claro que dos conjuntos finitos con el mismo número de elementos tienen el mismo cardinal, pero ¿qué pasa con los conjuntos infinitos?

Hemos visto un ejemplo de una aplicación biyectiva entre los conjuntos \(\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{N}\) y, por lo tanto tienen el mismo cardinal, aunque \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). Conviene observar que esta es una característica de los conjuntos infinitos: pueden tener el mismo cardinal que alguno de sus subconjuntos propios.

Definición: Conjunto numerable

Diremos que un conjunto es numerable si tiene el mismo cardinal que \(\mathbb{N}\). Diremos que un conjunto es contable si es finito o numerable.

Proposición

Si \(A\) es contable y \(B \subset A\), entonces \(B\) es contable.

Proposición (Cantor)

El conjunto \(\mathbb{Q}\) es numerable.

A continuación se muestra una “demostración” visual de que \(\mathbb{Q}\) es numerable.

El gráfico muestra cómo disponer los elementos de \(\mathbb{Q}\) para numerarlos.

Proposición

El conjunto de los números reales, \(\mathbb{R}\), no es numerable.

Proposición

La reunión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.

La reunión de dos conjuntos numerables es numerable.

La reunión de dos conjuntos contables es contable.

Proposición

El conjunto de los numeros irracionales no es numerable.

Definición: Sucesión de intervalos anidados

Una sucesión de intervalos anidados es un conjunto de intervalos cerrados y acotados de \(\mathbb{R}\), \(I_n = [a_n,b_n]\), tal que para todo \(n \in \mathbb{N}\), es \(I_{n+1} \supset I_n\) o, lo que es equivalente, tal que \(a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n\)

Observación

Como se verá más adelante, un conjunto indexado por los números naturales, como lo son \(\{I_n\}\), \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\), recibe el nombre de sucesión

Proposición.

Sea \(\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) una sucesión de intervalos anidados de \(\mathbb{R}\). Entonces existe un \(\xi \in \mathbb{R}\) tal que \(\xi \in I_n\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), o lo que es lo mismo, tal que \(a_n \leq \xi \leq b_n\), para todo \(n \in \mathbb{N}\)

Proposición: Principio de los intervalos anidados

Sea \(I_n = [a_n,b_n]\) una sucesión de intervalos anidados tales que \(\inf\{b_n-a_n: n \in \mathbb{N}\}=0\). Entoces existe un único punto \(\xi\) que está en todos los intervalos \(I_n\).

Veremos en el apartado de funciones que, a menudo, tenemos una función definida en todos los puntos próximos a uno dado, pero que no lo está es ese punto. Tal sería el caso, por ejemplo de la función \(f(x)= \frac{\sin x}{x}\): no está definida en el punto \(0\), pero si lo está en todos los puntos de cualquier entorno reducido del \(0\). Para tratar este tipo de situaciones será útil lo que sigue.

Definición: Punto de acumulación

Sean \(A\) y \(\xi\) un subconjunto y un punto de \(\mathbb{R}\) respectivamente. \(\xi\) es un punto de acumulación de \(A\), si en todo entorno abierto de \(\xi\) hay puntos de \(A\) diferentes de \(\xi\).

Obsérvese que la definición anterior también se puede hacer en términos de los entornos reducidos de un punto, es decir del conjunto de puntos del entorno diferentes del centro: Un punto \(\xi\) es de acumulación del conjunto \(A\) si en todo entorno reducido del punto \(\xi\) hay puntos de \(A\).

Proposición

\(\xi \in \mathbb{R}\) es un punto de acumulación de \(A\) si, y sólo si, en cada entorno de \(\xi\) hay infinitos puntos de \(A\).

Proposición: Teorema de Bolzano-Weierstrass

Todo conjunto de números reales infinito y acotado tiene un punto de acumulación.

A menudo será conveniente considerar conjuntos como \(\{ x \in \mathbb{R}: x \geq a \}\) o \(\{x \in \mathbb{R}: x \leq a \}\), donde \(a\) indica un número real. Para referirnos a estos conjuntos es útil introducir los símbolos más infinito, \(+ \infty\), y menos infinito, \(- \infty\), tales que, para todo número real \(x\) es \(-\infty < x < +\infty\). Siendo así, podemos escribir \[ \{ x \in \mathbb{R}: x \geq a \} = [a,+\infty) \quad \text{ y } \quad \{ x \in \mathbb{R}: x \leq a \} = (-\infty,a] \] Definición: Recta real ampliada.

Llamamos recta real ampliada, \(\overline{\mathbb{R}}\) al conjunto resultante de añadir los símbolos \(-\infty\) y \(+\infty\) al conjunto de los números reales, es decir

\[ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -\infty,+\infty \} \]

Obsérvese que, con la introducción de estos símbolos, podemos escribir:

\[ \mathbb{R}=(-\infty,+\infty) \quad \text{ y } \quad \overline{\mathbb{R}} = [-\infty,+\infty] \] También es posible extender las operaciones aritméticas a \(- \infty\) y \(+\infty\). Lo hacemos en la forma que indican las tablas siguientes:

• això és un element
• això és un altre

\[\int_0^1 x\ dx 4\]

## Expression : sin(x)/x

## Limit of the expression tends to 0 : 1